高考数学一轮复习总教案：18.1　绝对值型不等式

第十八章　不等式选讲

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18.1　绝对值型不等式

典例精析

题型一　解绝对值不等式

【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.

(1)解不等式f(x)＞3；

(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝

所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；

当1≤x≤2时，f(x)＞3无解；

当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.

所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).

(2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1.

因为f(x)＞a恒成立，

所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).

【变式训练1】设函数f(x)＝.

(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.

【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).

(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，

所以－a≤3，即a≥－3.

题型二　解绝对值三角不等式

【例2】已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)对a≠0，a、b∈R恒成立，求实数x的范围.

【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得≥f(x).

又因为≥＝2，则有2≥f(x).

解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得≤x≤.

【变式训练2】(2013深圳模拟)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　.

【解析】(－∞，0)∪{2}.

题型三　利用绝对值不等式求参数范围

【例3】(2012辽宁质检)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.

(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围.

【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.

由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，

①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3，

不等式组的解集为(－∞，－]；

②当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立，

不等式组的解集为∅；

③当x＞1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，

不等式组的解集为[，＋∞).

综上得f(x)≥3的解集为(－∞，－]∪[，＋∞).

(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|不满足题设条件.

若a＜1，f(x)＝

f(x)的最小值为1－a.由题意有1－a≥2，即a≤－1.

若a＞1，f(x)＝

f(x)的最小值为a－1，由题意有a－1≥2，故a≥3.[来源:www.shulihua.net]

综上可知a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).

【变式训练3】关于实数x的不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2与x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (a∈R)的解集分别为A，B.求使A⊆B的a的取值范围.

【解析】由不等式|x－(a＋1)2|≤(a－1)2⇒－(a－1)2≤x－(a＋1)2≤(a－1)2，

解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}.

由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0⇒(x－2)[x－(3a＋1)]≤0，

①当3a＋1≥2，即a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}，

因为A⊆B，所以必有解得1≤a≤3；

②当3a＋1＜2，即a＜时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}，

因为A⊆B，所以解得a＝－1.

综上使A⊆B的a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3.

总结提高

1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.

2.绝对值不等式的解法中，＜a的解集是(－a，a)；＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式≤c，≥c的解法，还可以推广到右边含未知数x的不等式，如≤x－1⇒1－x≤3x＋1≤x－1.

3.含有两个绝对值符号的不等式，如＋≥c和＋≤c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.

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