高考数学一轮复习总教案：12.10　离散型随机变量的期望与方差

这是一份高考数学一轮复习总教案：12.10　离散型随机变量的期望与方差，共3页。教案主要包含了变式训练1，变式训练2，变式训练3等内容，欢迎下载使用。

典例精析
题型一 期望与方差的性质的应用
【例1】设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq \f(1,6)(k＝1,2,3,4,5,6)，求E(ξ)，E(2ξ＋3)和D(ξ)，D(2ξ＋3).
【解析】E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x6p6＝3.5，
E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝10，
D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(x6－E(ξ))2p6＝eq \f(35,12)，D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝eq \f(35,3).
【点拨】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征及分布列，再准确运用公式，特别是利用性质解题.
【变式训练1】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值.
【解析】(1)ξ的分布列为：
所以E(ξ)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝1.5，[来源:数理化网]
D(ξ)＝(0－1.5)2×eq \f(1,2)＋(1－1.5)2×eq \f(1,20)＋(2－1.5)2×eq \f(1,10)＋(3－1.5)2×eq \f(3,20)＋(4－1.5)2×eq \f(1,5)＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
题型二 期望与方差在风险决策中的应用
【例2】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ和η的分布列如下：
试对这两名工人的技术水平进行比较.
【解析】工人甲生产出的次品数ξ的期望和方差分别为：
E(ξ)＝0×eq \f(6,10)＋1×eq \f(1,10)＋2×eq \f(3,10)＝0.7，
D(ξ)＝(0－0.7)2×eq \f(6,10)＋(1－0.7)2×eq \f(1,10)＋(2－0.7)2×eq \f(3,10)＝0.81.
工人乙生产出的次品数η的期望和方差分别为：
E(η)＝0×eq \f(5,10)＋1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(2,10)＝0.7，D(η)＝(0－0.7)2×eq \f(5,10)＋(1－0.7)2×eq \f(3,10)＋(2－0.7)2×eq \f(2,10)＝0.61.
由E(ξ)＝E(η)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(ξ)＞D(η)，可见乙的技术比较稳定.
【点拨】期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定.
【变式训练2】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 .
【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分别是：
50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6.故选A3.
题型三 离散型随机变量分布列综合问题
【例3】(2013浙江模拟)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落入A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖.
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ)；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2).
【解析】(1)由题意得ξ的分布列为
则E(ξ)＝eq \f(3,16)×50%＋eq \f(3,8)×70%＋eq \f(7,16)×90%＝eq \f(3,4).
(2)由(1)可知，获得1等奖或2等奖的概率为eq \f(3,16)＋eq \f(3,8)＝eq \f(9,16).由题意得η～(3，eq \f(9,16))，则P(η＝2)＝Ceq \\al(2,3)(eq \f(9,16))2(1－eq \f(9,16))＝eq \f(1 701,4 096).
【变式训练3】(2012北京市东城区模拟)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为eq \f(1,27).
(1)求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
(2)抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ).
【解析】(1)设抛掷一次这样的硬币，正面朝上的概率为P，依题意有Ceq \\al(3,3)·P3＝eq \f(1,27)，解得
P＝eq \f(1,3).
所以抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率为P3(2)＝Ceq \\al(2,3)×(eq \f(1,3))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9).
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,3)×(eq \f(2,3))3×eq \f(1,2)＝eq \f(4,27)；
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(0,3)×(eq \f(2,3))3×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,3)×(eq \f(2,3))2×eq \f(1,2)＝eq \f(10,27)；
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,3)×(eq \f(2,3))2×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(2,3)×(eq \f(1,3))2×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)；
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(2,3)×(eq \f(1,3))2×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(3,3)×(eq \f(1,3))3×eq \f(1,2)＝eq \f(7,54)；
P(ξ＝4)＝Ceq \\al(3,3)×(eq \f(1,3))3×eq \f(1,2)＝eq \f(1,54).
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×eq \f(4,27)＋1×eq \f(10,27)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(7,54)＋4×eq \f(1,54)＝eq \f(3,2).
总结提高
1.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均； E(ξ)是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而E(ξ)是不变的，它描述ξ取值的平均状态.
2.方差D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度，统计中常用标准差eq \r(D(ξ))描述ξ的分散程度.
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ
0
1
2
P
η
0
1
2
P
ξ
50%
70%
90%
p
ξ
0
1
2
3
4
P