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    高考数学一轮复习总教案:4.3 平面向量的数量积及向量的应用

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    高考数学一轮复习总教案:4.3 平面向量的数量积及向量的应用

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    这是一份高考数学一轮复习总教案:4.3 平面向量的数量积及向量的应用,共3页。教案主要包含了变式训练1,变式训练2,变式训练3等内容,欢迎下载使用。
    典例精析
    题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题
    【例1】 已知a,b夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:
    (1)|a+b|;
    (2)(a+2b) ·(a+b);
    (3)a与(a+b)的夹角θ.
    【解析】(1)(a+b)2=a2+b2+2a·b
    =16+4-2×4×2×eq \f(1,2)=12,
    所以|a+b|=2eq \r(3).
    (2)(a+2b) ·(a+b)=a2+3a·b+2b2
    =16-3×4×2×eq \f(1,2)+2×4=12.
    (3)a·(a+b)=a2+a·b=16-4×2×eq \f(1,2)=12.
    所以cs θ==eq \f(12,4×2\r(3))=eq \f(\r(3),2),所以θ=eq \f(π,6).
    【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.
    【变式训练1】已知向量a,b,c满足:|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则a与b的夹角大小是 .
    【解析】由c⊥a⇒c·a=0⇒a2+a·b=0,
    所以cs θ=-eq \f(1,2),所以θ=120°.
    题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题
    【例2】 在△ABC中,=(2,3), =(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.
    【解析】①当∠A=90°时,有·=0,
    所以2×1+3·k=0,所以k=-eq \f(2,3);
    ②当∠B=90°时,有·=0,
    又=-=(1-2,k-3)=(-1,k-3),
    所以2×(-1)+3×(k-3)=0⇒k=eq \f(11,3);
    ③当∠C=90°时,有·=0,
    所以-1+k·(k-3)=0,
    所以k2-3k-1=0⇒k=eq \f(3±\r(13),2).
    所以k的取值为-eq \f(2,3),eq \f(11,3)或eq \f(3±\r(13),2).
    【点拨】因为哪个角是直角尚未确定,故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积,应注意方向及两向量的夹角.
    【变式训练2】△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6,
    求·+·+·.
    【解析】因为2·+2·+2·
    =(·+·)+(·+·)+(·+·)
    =·(+)+·(+)+·(+)
    =·+·+·
    =-42-62-52=-77.[来源:数理化网]
    所以·+·+·=-eq \f(77,2).
    题型三 平面向量的数量积的综合问题
    【例3】数轴Ox,Oy交于点O,且∠xOy=eq \f(π,3),构成一个平面斜坐标系,e1,e2分别是与Ox,Oy同向的单位向量,设P为坐标平面内一点,且=xe1+ye2,则点P的坐标为(x,y),已知Q(-1,2).
    (1)求||的值及与Ox的夹角;
    (2)过点Q的直线l⊥OQ,求l的直线方程(在斜坐标系中).
    【解析】(1)依题意知,e1·e2=eq \f(1,2),
    且=-e1+2e2,
    所以2=(-e1+2e2)2=1+4-4e1·e2=3.
    所以||=eq \r(3).
    又·e1=(-e1+2e2) ·e1=-eeq \\al(2,1)+2e1e2=0.
    所以⊥e1,即与Ox成90°角.
    (2)设l上动点P(x,y),即=xe1+ye2,
    又⊥l,故⊥,
    即[(x+1)e1+(y-2)e2] ·(-e1+2e2)=0.
    所以-(x+1)+(x+1)-(y-2) ·eq \f(1,2)+2(y-2)=0,
    所以y=2,即为所求直线l的方程.
    【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算,并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇,体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.
    【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中,点A(5,0).对于某个正实数k,存在函数f(x)=ax2(a>0),使得=λ (+)(λ为常数),其中点P,Q的坐标分别为(1,f(1)),(k,f(k)),则k的取值范围为( )
    A.(2,+∞)B.(3,+∞)
    C.(4,+∞)D.(8,+∞)
    【解析】如图所示,设=,=,+=,则=λ.因为P(1,a),Q(k,ak2),=(1,0),=(eq \f(k,\r(k2+a2k4)),eq \f(ak2,\r(k2+a2k4))),=(eq \f(k,\r(k2+a2k4))+1,eq \f(ak2,\r(k2+a2k4))),则直线OG的方程为y=eq \f(ak2,k+\r(k2+a2k4))x,又=λ,所以P(1,a)在直线OG上,所以a=eq \f(ak2,k+\r(k2+a2k4)),所以a2=1-eq \f(2,k).
    因为||=eq \r(1+a2)>1,所以1-eq \f(2,k)>0,所以k>2. 故选A.
    总结提高
    1.本节是平面向量这一章的重要内容,要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义,熟练掌握向量数量积的性质及运算律;数量积不满足结合律,即(a·b) ·c≠a·(b·c);数量积不满足消去律,即a·b=a·c推不出b=c.
    2.通过向量的数量积,可以计算向量的长度,平面内两点间的距离,两个向量的夹角,判断两直线是否垂直.
    3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识,在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时,往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.

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