高三数学第一轮复习 导数的应用（1）教案 文

这是一份高三数学第一轮复习 导数的应用（1）教案 文，共8页。教案主要包含了知识梳理，题型探究等内容，欢迎下载使用。

1.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:
求;确定在内符号;若在上恒成立，则在上是增函数；若在上恒成立，则在上是减函数
①为增函数（为减函数）.
②在区间上是增函数≥在上恒成立；
在区间上为减函数≤在上恒成立.
2.极值：
极大值： 一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作极大值，是极大值点.
极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有就说是函数的一个极小值，记作极小值，是极小值点.
极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：
（）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
（）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.
（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
判别是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.
求可导函数的极值的步骤:
确定函数的定义区间，求导数求方程的根
用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .
3.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．
说明：在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.
利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：
求在内的极值；
将的各极值与、比较得出函数在上的最值.
二、题型探究
【探究一】：讨论函数的单调性
例1：设 函数 ，试讨论函数的单调性
(解析:注意讨论K的范围,注意函数的定义域)
时，单调递增；时，单调递减；（，1）单调递增。
【探究二】：导数与函数的极值和最值
例2：设函数，其中求函数的极大值和极小值。
（极大值0；极小值）
例3：已知函数
(1)、求的最小值；)
（2）、若对所有的，都有 ，求实数a的取值范围。(a)
【探究三】：已知函数的极大值和最值，求参数的值或取值范围。
例4：函数
（Ⅰ）求的单调区间和极值；(增区间：(-),(,)减区间为:();极大值:5+4极小值：5-4.)
（Ⅱ）若关于的方程有个不同实根，求实数的取值范围.( 5-4)
（Ⅲ）已知当时，≥ 恒成立，求实数的取值范围.
（K5）
例5．（天津）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
【分析】(I)解：当时，又
所以，曲线在点处的切线方程为 即
(II)解：
由于以下分两种情况讨论.
(1)当时，令得到当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.
函数在处取得极小值且.
函数在处取得极大值且.
(2)当时，令得到.当变化时，的变化情况如下表：
所以在区间内为减函数，在区间内为增函数.
函数在处取得极大值且.
函数在处取得极小值且.
【考点】本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.
例6．已知定义在正实数集上的函数，
，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（Ⅰ）用表示，并求的最大值；（Ⅱ）求证：≥（）．
解析:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力
解：
（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x>0）在公共点（x0,y0）处的切线相同,
.
即
即有
令于是
当
当
故为减函数,
于是h（t）在
（Ⅱ）设
则
故F（x）在（0，a）为减函数，在（a,+）为增函数，于是函数
故当x>0时，有
【探究四】．利用导数求和：
例7：试求下列代数式的和
（, ）.
（）.
分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。
解：（1）当x=1时，
；当x≠1时，，
两边都是关于x的函数，求导得
即
（2）∵，
两边都是关于x的函数，求导得。
令x=1得
，
即。
方法提升：
1.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.
2.求函数单调性与极值，注意解题的一般步骤；
3.定积分注意几何意义。
12、（天津）已知函数在处取得极值.
讨论和是函数的的极大值还是极小值；(大,小)
过点作曲线的切线，求此切线方程.(y=9x+16)
(a=1,b=0)
13．f(x)=lnx-ax2,x∈(0,1]
(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a范围；
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
(1)∵y=f(x)在(0，1 ]上增在(0，1 ]上恒成立
即在(0，1 ]上恒成立得(2)
1)若a≤0时, ∴y=f(x)在(0，1 ]上单调递增 f(1)max=-a
14．设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)
(1)若定义域内存在x0，使得不等式f(x0)-m≤0成立，求实数m的最小值；
(2)g(x)=f(x)-x2-x-a在区间[0,3]上恰有两个不同的零点，求a范围.
解析：（1）存在x0使m≥f(x0)min

令
∴y=f(x)在（-1，0）上单减，在(0,+)单增
f(0)min=1 ∴m≥1 ∴mmin=1
（2）g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在[0,3]上两个零点
x+1-2ln(1+x)=a有两个交点
令h(x)=x+1-2ln(1+x)

∴y=f(x)在[0,1]上单减，(1,3]上单增, h(0)=1-2ln1=1, h(1)=2-2ln2
h(3)=4-2ln4 ∴2-ln2 15、已知函数（为常数，）.
（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；(a=2)
（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的（1，2），总存在，使不等式成立，求实数的取范围.
解析: （Ⅲ）,则（Ⅱ）可知, 在上是增函数,所以存在，使不等式成立,m<(),=+- ,设u(a)=+-,求出函数u(a)在（1，2）上的最小值, m< 即可.
u’ (a)= ,因为（1，2），所以u’ (a)，所以是u’ (a)减函数，=
，所以m .
0
0
极小值
极大值
0
0
极小值
极大值