高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：2.3 函数的奇偶性与周期性 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：2.3 函数的奇偶性与周期性 word版含答案，共13页。
结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．
知识点一 函数的奇偶性
易误提醒
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．
必记结论
1．函数奇偶性的几个重要结论：
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
2．有关对称性的结论：
(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．
若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称．
若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
[自测练习]
1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0,x－1>0))知x>1，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．
答案：C
2．(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－eq \r(2))＝( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．2 D．－2
解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(－eq \r(2))＝f(eq \r(2))＝lg2eq \r(2)＝eq \f(1,2)，故选B.
答案：B
3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析：∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.
答案：0
知识点二 函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
必记结论 定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.
若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．
对称性与周期的关系：
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．
[自测练习]
4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.
解：f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，∴f(x＋4)＝eq \f(1,fx＋2)＝f(x)，
∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝eq \f(1,f1)＝－eq \f(1,5).
答案：－eq \f(1,5)
考点一 函数奇偶性的判断|
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(2)f(x)＝eq \r(3－2x)＋eq \r(2x－3)；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；
(5)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x0时，f(x)＝x2＋x，
则当x0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x0时，－xf(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪(1，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
解析：函数f(x)＝ln(1＋|x|)－eq \f(1,1＋x2)，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,1＋x2)，f(x)是单调递增的，故f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)，∴|x|>|2x－1|，解得eq \f(1,3)