高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 word版含答案

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(1)理解命题的概念．
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否
命题，会分析四种命题的相互关系．
2．充分条件与必要条件
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
知识点一 命题、四种命题及相互关系
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
易误提醒 易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
必备方法 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．
[自测练习]
1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.
答案：C
知识点二 充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
易误提醒 注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且Beq \a\vs4\al(⇒/ ) A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A且Aeq \a\vs4\al(⇒/ ) B)两者的不同．
必备方法 充分条件与必要条件判定的三种方法
1．定义法：
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)若p⇒q且q ⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
(5)若p ⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(6)若p ⇒/ q且q ⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．利用集合间的包含关系判断：
记条件p，q对应的集合分别是A，B，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．等价法：
利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系．
[自测练习]
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由(2x－1)x＝0可得x＝eq \f(1,2)或0，所以“x＝eq \f(1,2)或0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：B
3．已知条件p：x≤1，条件q：eq \f(1,x)1得eq \f(1,x)0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．
答案：D
2．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：A中逆命题为“若x>|y|，则x>y”是真命题；
B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；
C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；
D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
答案：A
3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若lg2a>0，则函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：对于①，若lg2a>0＝lg21，则a>1，所以函数f(x)＝lgax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：②④
命题真假的两种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．

考点二 充分条件和必要条件的判定|
(1)(2015·高考四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“lg2a>lg2b>0”的( )

A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0，lg2a>lg2b>lg21＝0，所以“a>b>1”是“lg2a>lg2b>0”的充要条件．
[答案] A
(2)(2015·高考北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.
[答案] A
判断充分条件与必要条件的两个注意点：
(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后尝试p⇒q，q⇒p.
(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．


1．(2015·高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：结合韦恩图(图略)可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，选C.
答案：C
考点三 充要条件的应用|
已知p：x2－2mx－15m2≤0(m>0)；q：x2－3x－10≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
[解析] 本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识．
若p真，则－3m≤x≤5m；
若q真，则－2≤x≤5；
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,－3m≥－2，,5m≤5，))
∴0