高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：2.13 定积分与微积分基本定理 word版含答案

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(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
(2)了解微积分基本定理的含义．
知识点一 定积分
1．定积分的性质
(1)eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))kf(x)dx＝eq \a\vs4\al(k\i\in(a,b,))f(x)dx(k为常数)．
(2)eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))[f(x)±g(x)]dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx±eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))g(x)dx.
(3)eq \a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(a,c,))f(x)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(c,b,))f(x)dx(其中aa>c
C．a>c>b D．b>c>a
解析：a＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))x－eq \f(1,3)dx＝eq \f(3,2)xeq \f(2,3)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(3,2)，
b＝1－eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq \f(1,2)dx＝1－eq \f(2,3)xeq \f(3,2)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,3)，
c＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx＝eq \f(1,4)x4eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,4)，因此a>b>c，故选A.
答案：A
4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(7,12)
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝x3))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))
结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为
eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x2－x3)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＝eq \f(1,12)，故选A.
答案：A
考点一 定积分的计算|
1．定积分eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))eq \r(9－x2)dx的值为( )
A．9π B．3π
C.eq \f(9,4)π D.eq \f(9,2)π
解析：由定积分的几何意义知，eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))eq \r(9－x2)dx是由曲线y＝eq \r(9－x2)，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积，故eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))eq \r(9－x2)dx＝eq \f(π·32,4)＝eq \f(9π,4)，故选C.
答案：C
2．(2016·临沂模拟)若eq \a\vs4\al(∫\f(π,2)0)(sin x＋acs x)dx＝2，则实数a等于( )
A．－1 B．1
C.eq \r(3) D．－eq \r(3)
解析：∵(asin x－cs x)′＝sin x＋acs x.
∴eq \a\vs4\al(∫\f(π,2)0)(sin x＋acs x)dx＝(asin x－cs x)eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2)0))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(asin \f(π,2)－cs \f(π,2)))－(asin 0－cs 0)＝a＋1＝2.
∴a＝1.
答案：B
3．(2015·西安模拟)已知A＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))|x2－1|dx，则A＝________.
解析：A＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,3,))|x2－1|dx＝eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(1－x2)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(1,3,))(x2－1)dx＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)x3))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－x))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(3,1)))＝eq \f(22,3).
答案：eq \f(22,3)
定积分计算的三种方法
定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．


考点二 利用定积分求平面图形的面积|
设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于( )
A．1 B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,3)
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝1，))得x＝±1.如图，由对称性可知，
S＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×1－\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×1－\f(1,3)x3\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))))＝eq \f(4,3)，选D.
[答案] D
利用定积分求平面图形面积的三个步骤
(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．
(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限．
(3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．

1．(2015·衡中三模)由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．
解析：把阴影部分分成两部分求面积．
S＝S1＋S2＝eq \a\vs4\al(\i\in(,0,)－\r(2))(2－x2)dx＋eq \a\vs4\al(\i\in(0,1,))(2－x2－x)dx
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(x3,3)))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(0,－\r(2))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(x3,3)－\f(x2,2)))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\\al(1,0)))
＝2eq \r(2)－eq \f(\r(2)3,3)＋2－eq \f(1,3)－eq \f(1,2)
＝eq \f(4\r(2),3)＋eq \f(7,6).
答案：eq \f(4\r(2),3)＋eq \f(7,6)
考点三 定积分物理意义的应用|
一物体做变速直线运动，其v ­t曲线如图所示，则该物体在eq \f(1,2) s～6 s间的运动路程为________．
[解析] 由图象可知，v(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2t，0≤t0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝eq \f(25,4)，抛物线方程为x2＝eq \f(25,2)y，所以当前最大流量对应的截面面积为2eq \a\vs4\al(\i\in(0,5,))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(2,25)x2))dx＝eq \f(40,3)，原始的最大流量对应的截面面积为eq \f(2×6＋10,2)＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为eq \f(16,\f(40,3))＝1.2.
答案：1.2