高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：1.1 集合 word版含答案

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第一节　集合

1．集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．集合间的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算．


知识点一　集合的基本概念
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
3．集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
易误提醒　在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
[自测练习]
1．已知a∈R，若{－1,0,1}＝，则a＝________.
解析：≠0，a≠0，a2≠－1，只有a2＝1.
当a＝1时，＝1，不满足互异性，∴a＝－1.
答案：－1
知识点二　集合间的基本关系
描述
关系　　
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
子集
A中任意一元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有
AB或BA
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
必记结论　若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
易误提醒　易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
[自测练习]
2．已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a＝(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．0
解析：A⊆R，∴a2－1＝0，a＝±1.
答案：C
3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则集合B的所有真子集的个数为(　　)
A．512 B．256
C．255 D．254
解析：由题意知当x＝1时，y可取1,2,3,4；当x＝2时，y可取1,2；当x＝3时，y可取1；当x＝4时，y可取1.综上，B中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.
答案：C
知识点三　集合的基本运算及性质

并集
交集
补集
图形表示



符号表示
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
性质
A∪∅＝A
A∪A＝A
A∪B＝B∪A
A∪B＝A
⇔B⊆A
A∩∅＝∅
A∩A＝A
A∩B＝B∩A
A∩B＝A
⇔A⊆B
A∪(∁UA)＝U
A∩(∁UA)＝∅
∁U(∁UA)＝A

易误提醒　运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
必记结论　∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
[自测练习]
4．(2015·广州一模)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示(　　)
A．M∩N B．(∁UM)∩N
C．M∩(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)
解析：M∩N＝{5}，A错误；∁UM＝{1,2}，(∁UM)∩N＝{1,2}，B正确；∁UN＝{3,4}，M∩(∁UN)＝{3,4}，C错误；(∁UM)∩(∁UN)＝∅，D错误．故选B.
答案：B
5．(2015·长春二模)已知集合P＝{x|x≥0}，Q＝，则P∩(∁RQ)＝(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，－1]
C．(－1,0) D．[0,2]
解析：由题意可知Q＝{x|x≤－1或x>2}，则∁RQ＝{x|－1 答案：D


考点一　集合的基本概念|

1．已知集合S＝{x|3x＋a＝0}，如果1∈S，那么a的值为(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：∵1∈S，∴3＋a＝0，a＝－3.
答案：A
2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C.
答案：C
3．(2015·贵阳期末)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)
解析：若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，则a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．
答案：{a2，a3}

判断一个元素是某个集合元素的三种方法：列举法、特征元素法、数形结合法．
　　
考点二　集合间的基本关系及应用|

　(1)已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
[解析]　依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.
[答案]　C
(2)已知集合M＝{x|－1 A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]
[解析]　依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞)，选B.
[答案]　B

1．判断两集合的关系常有两种方法
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．
(2)用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．已知两集合间的关系求参数时的两个关键点
(1)将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．
(2)合理利用数轴、Venn图帮助分析．


1．(2015·辽宁五校联考)设集合P＝{x|x>1}，Q＝{x|x2－x>0}，则下列结论正确的是(　　)
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．P＝Q D．P∪Q＝R
解析：由集合Q＝{x|x2－x>0}，知Q＝{x|x<0或x>1}，所以选A.
答案：A
考点三　集合的基本运算|

　(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝(　　)
A．{－1,0}　　　　　　　 B．{0,1}
C．{－1,0,1} D．{0,1,2}
[解析]　由于B＝{x|－2 [答案]　A
(2)(2015·郑州期末)已知函数f(x)＝，集合A为函数f(x)的定义域，集合B为函数f(x)的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．

[解析]　本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．
要使函数f(x)＝有意义，
则2－x－1≥0，解得x≤0，
所以A＝(－∞，0]．
又函数f(x)＝的值域B＝[0，＋∞)．
阴影部分用集合表示为∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．
[答案]　(－∞，0)∪(0，＋∞)

集合运算问题的四种常见类型及解题策略
(1)离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．
(2)连续型数集的运算．常借助数轴求解．
(3)已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．
(4)根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．(2015·高考陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
解析：∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0 答案：A
考点四　集合的创新问题|

　设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是(　　)
A．7　　　　　　　　　 B．10
C．25 D．52
[解析]　A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.
[答案]　B

解决集合创新问题的三个策略
(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．
(2)按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
　　　　　　　　　　　　

3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝(　　)
A．{x|0 C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}
解析：由log2x<1，
得0 所以P＝{x|0 由|x－2|<1，
得1 所以Q＝{x|1 由题意，得P－Q＝{x|0 答案：B


　　1.遗忘空集致误
【典例】　设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．若(∁RA)∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
[解析]　∵A＝，∴∁RA＝，当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即a<0时，
B＝{x|－ 要使B⊆∁RA，需≤，
解得－≤a<0.
综上可得，实数a的取值范围是a≥－.
[答案]　a≥－
[易误点评]　由∁RA∩B＝B知B⊆∁RA，即A∩B＝∅，又集合B中元素属性满足x2＋a<0，当a≥0时B＝∅易忽视导致漏解．
[防范措施]　(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论．
[跟踪练习]　已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁UA)＝∅，则m＝________.
解析：A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－.
答案：0,1，－

A组　考点能力演练
1．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}，则∁U(A∪B)＝(　　)
A．{0,1,3,4}　　　　　　 B．{1,2,3}
C．{0,4} D．{0}
解析：因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,4}．所以选C.
答案：C
2．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝，n∈A}，则A∩B的真子集个数为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由题意，得B＝{0,1，，，2}，所以A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.
答案：C
3．(2015·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是(　　)
A．[－1,1)
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)
D．(－3，－1)
解析：由题意可知，M＝，N＝，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝.
答案：D
4．集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：由题意，得A＝{x|x<2}．又因为A∩B＝A，所以a≥2，故选D.
答案：D
5．(2015·山西质检)集合A，B满足A∪B＝{1,2}，则不同的有序集合对(A，B)共有(　　)
A．4个 B．7个
C．8个 D．9个
解析：由题意可按集合A中的元素个数分类．易知集合{1,2}的子集有4个：∅，{1}，{2}，{1,2}．若A＝∅，则B＝{1,2}；若A＝{1}，则B＝{2}或B＝{1,2}；若A＝{2}，则B＝{1}或B＝{1,2}；若A＝{1,2}；则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．综上所述，不同的有序集合对(A，B)共有9个，故选D.
答案：D
6．(2015·广州模拟)设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝4}，满足C⊆(A∩B)的集合C的个数为________．
解析：依题意得，A∩B＝{(8，－10)}，因此满足C⊆(A∩B)的集合C的个数是2.
答案：2
7．设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________．
解析：∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.
答案：7
8．已知集合P＝{－1，m}，Q＝，若P∩Q≠∅，则整数m＝________.
解析：由{－1，m}∩≠∅，可得－1 答案：0
9．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴m＝2.
(2)∁RB＝{x|xm＋2}，∴A⊆∁RB，
∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<－3}．
10．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(∁IM)∩N；
(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴(∁IM)∩N＝{2}．
(2)由(1)知A＝(∁IM)∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}，
当B＝∅时，a－1>5－a，∴a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3，
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥3}．
B组　高考题型专练
1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝(　　)
A．[－2，－1] B．[－1,2)
C．[－1,1] D．[1,2)
解析：由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.
答案：A
2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝(　　)
A．{1} B．{2}
C．{0,1} D．{1,2}
解析：由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.
答案：D
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.
答案：D
4．(2015·高考福建卷)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　　)
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．∅
解析：因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.
答案：C
5．(2015·高考浙江卷)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1 A．[0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．[1,2]
解析：∁RP＝{x|0 答案：C
6．(2015·高考重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(　　)
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．AB D．BA
解析：由真子集的概念知BA，故选D.
答案：D