高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 word版含答案

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第三节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

简单的线性规划
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．


知识点一　二元一次不等式(组)表示的平面
区域

不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括
边界直线

Ax＋By＋C≥0
包括
边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分

易误提醒　画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
必备方法　确定二元一次不等式表示平面区域的方法：
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧．
[自测练习]
1．不等式组表示的平面区域是(　　)

解析：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分．
故不等式组表示的平面区域为选项B所示部分．
答案：B
2．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：平面区域如图所示．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
答案：C
知识点二　线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

易误提醒　线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[自测练习]
3．已知变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为(　　)
A．[7,23] B．[8,23]
C．[7,8] D．[7,25]
解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z＝2x＋3y得y＝－x＋，平移直线y＝－x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组得所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组得所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23，故选A.
答案：A

4．已知点P(x，y)满足目标函数z＝x＋ay(a<0)的最大值和最小值之和为0，则a的值为(　　)
A．－ B．－2
C．－1 D．－
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A(1,0)，B(2,1)，C(1,1)，当z＝x＋ay过点A，B，C时，z的值分别为1,2＋a,1＋a.∵a<0，∴zmin＝1＋a.
①当2＋a>1，即a>－1时，zmax＝2＋a，∴2＋a＋1＋a＝0，a＝－(舍去)；
②当2＋a≤1，即a≤－1时，zmax＝1，∴1＋1＋a＝0，a＝－2，符合条件，故选B.
答案：B



考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域|

1．(2016·济南模拟)不等式组表示的平面区域的面积为(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．1
C．5 D．无穷大
解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
答案：B
2．(2015·高考重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)
A．－3 B．1
C. D．3
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m>－1.
由
解得即A(1－m,1＋m)．由
解得即B.
因为S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)＝(m＋1)2＝，所以m＝1或m＝－3(舍去)，故选B.
答案：B
3．设集合A＝，B＝{(x，y)|3x－y－11＝0}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：由题意作出集合A表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合B表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故A∩B中的元素有无数个．

答案：D

确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(1,0)或(0,1)点．
　　
考点二　线性目标函数的最值及应用|
线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求线性目标函数的最值．
2．求非线性目标函数的最值．
3．求线性规划中的参数．
4．线性规划的实际应用．
探究一　求线性目标函数的最值
1．(2015·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A处，z取得最大值，且zmax＝.

答案：
探究二　求非线性目标函数的最值
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1,3)处，取得最大值3.

答案：3
探究三　求线性规划中的参数值或范围
3．(2015·高考山东卷)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)
A．3　　　　　　　　 B．2
C．－2 D．－3

解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有a×2＋0＝4，解得a＝2.
答案：B
4．已知实数x，y满足不等式组若目标函数z＝y－ax(a∈R)取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：如图所示，当a≤0时，直线y＝ax＋z知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a>0时，目标函数z＝y－ax要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a>1，故选A.

答案：A
探究四　线性规划的实际应用
5．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.
答案：D

1．求目标函数的最值的三个步骤：
一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
　　

　　20.转化思想在非线性目标函数最值问题中的应用
【典例】　变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
[思维点拨]　点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，＝·表示点(x，y)和连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．

[解]　(1)由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．
由
解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
∵z＝＝×
∴z的值即是可行域中的点与连线的斜率，观察图形可知zmin＝×＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.
∴2≤z≤29.
(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，
dmax＝＝8.
∴16≤z≤64.
[方法点评]　(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用转化思想与数形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义．
(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．
[跟踪练习]　(2016·湖州质检)已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A为(1,2)，B为(2,1)时，tan∠AOB取得最大值，此时由于tan α＝kBO＝，tan β＝kAO＝2，故tan∠AOB＝tan (β－α)＝＝＝，故选C.

答案：C

A组　考点能力演练
1．(2016·唐山期末)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)
A．7　　　　　　　　　　 B．8
C．22 D．23
解析：变量x，y满足的区域如图阴影部分所示：

目标函数z＝2x＋3y在点(2,1)处取得最小值7，故选A.
答案：A
2．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为(　　)
A．2 B.
C. D．1
解析：作出可行域如图所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max＝1，故选D.

答案：D
3．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)
A．2 B．1
C. D.
解析：不等式所表示的可行域如图所示，设a＝x＋y，b＝x－y，则此两目标函数的范围分别为a＝x＋y∈[0,1]，b＝x－y∈[－1,1]，又a＋b＝2x∈[0,2]，a－b＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x＋y，x－y)，即点(a，b)满足约束条件作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S＝×2×1＝1，故选B.

答案：B
4．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为4，则ab的取值范围是(　　)
A．(0,4) B．(0,4]
C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z＝ax＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时取最大值，∴a＋b＝4，ab≤2＝4，∵a>0，b>0，∴ab∈(0,4]，故选B.

答案：B
5．已知实数x，y满足：则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)
A.　B．[0,5]　C.　D.
解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.

答案：D

6．(2015·石家庄二检)已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k的值为________．
解析：由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan 120°＝－，所以k＝.
答案：
7．已知实数x，y满足则w＝x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________．
解析：目标函数w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x，y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x＋y－1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又＝，所以wmin＝.
答案：
8．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．
解析：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，
由题意知利润z＝5x＋3y，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．
答案：27
9．已知实数x，y满足求z＝的取值范围．
解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝＝2＋的取值范围可转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，－1)与(，1)所在直线的斜率为2＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，1]∪[2＋4，＋∞)．
10．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．

解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4 故所求a的取值范围为(－4,2)．
B组　高考题型专练
1．(2015·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)
A．3 B．4
C．18 D．40
解析：作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18.

答案：C
2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
解析：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．
当a＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．

由得交点A(－3，－2)，
则目标函数z＝x－5y过A点时取得最大值．
zmax＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A，C选项．
当a＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．

由得交点B(1,2)，则目标函数z＝x＋3y过B点时取得最小值．zmin＝1＋3×2＝7，满足题意．
答案：B
3．(2015·高考广东卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为(　　)
A．4 B.
C．6 D.
解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y＝－x＋经过点A时z取得最小值．由
得此时，zmin＝3×1＋2×＝.
答案：B
4．(2014·高考安徽卷)不等式组表示的平面区域的面积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝×2×(2＋2)＝4.

答案：4
5．(2015·高考北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．

解析：由题意，目标函数z＝2x＋3y的可行域为△ABC边界及其内部(如图所示)，令z＝0，即2x＋3y＝0，平移直线2x＋3y＝0至目标函数的可行域内，可知当2x＋3y＝z过点A(2,1)时，z取得最大值，即zmax＝2×2＋3×1＝7.
答案：7