高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案

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(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
知识点一 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形．
必备方法 求圆的弦长的常用方法：
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式．
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
[自测练习]
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．与m的取值有关
解析：圆心到直线的距离d＝eq \f(|－1－m＋1|,\r(m2＋1))＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))<1＝r，故选A.
答案：A
2．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq \f(|c|,\r(a2＋b2))＝eq \f(|c|,\r(2)|c|)＝eq \f(\r(2),2)，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，所以弦长为eq \r(2).
答案：D
3．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．
解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k＝eq \f(4,3)，所以切线方程为4x－3y＋1＝0，又直线x＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
答案：x＝2或4x－3y＋1＝0
知识点二 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)
易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[自测练习]
4．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r2＝2，故两圆的圆心距d＝eq \r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则r2－r1答案：B
考点一 直线与圆的位置关系|
1．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上三个选项均有可能
解析：直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为eq \r(3)，而|AC|＝eq \r(2)答案：C
2．(2015·皖南八校联考)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )
A.eq \f(1,2)，－4 B．－eq \f(1,2)，4
C.eq \f(1,2)，4 D．－eq \f(1,2)，－4
解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,2×2＋0＋b＝0，))解得k＝eq \f(1,2)，b＝－4.
答案：A
3．若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为( )
A．1 B．±1
C．±eq \r(3) D.eq \r(3)
解析：由x2＋y2－2x＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即eq \f(|1－0＋1|,\r(1＋m2))＝1，解得m＝±eq \r(3).
答案：C
判断直线与圆的位置关系常见的两种方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

考点二 切线、弦长问题|
(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4eq \r(2)
C．6 D．2eq \r(10)
(2)(2016·太原一模)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．3eq \r(5) B．6eq \r(5)
C．4eq \r(15) D．2eq \r(15)
[解析] (1)由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.
(2)将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝eq \r(5)，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2eq \r(5)，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝eq \r(2－12＋－1－02)＝eq \r(2)，|BD|＝2eq \r(r2－|EF|2)＝2eq \r(3)，∴S四边形ABCD＝eq \f(1,2)|AC|×|BD|＝2eq \r(15).
[答案] (1)C (2)D
处理切线、弦长问题的策略
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．

1．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
解析：设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x2＋y2＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为eq \r(2)，所以eq \f(|－k－2＋2k＋3|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋5＝0，故选C.
答案：C
2．(2016·云南名校联考)已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．
解析：过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA(图略)，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝eq \f(|1×0－2×0＋5|,\r(1＋22))＝eq \r(5).又|OA|＝1，所以|PA|＝eq \r(|OP|2－|OA|2)＝2.
答案：2
考点三 圆与圆的位置关系|
1．(2016·惠州调研)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：两圆的圆心距离为eq \r(17)，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1答案：B
2．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
答案：C
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq \r(3)，则a＝________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝eq \f(1,a)，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知eq \f(1,a)＝ eq \r(22－\r(3)2)＝1⇒a＝1.
答案：1
求解两圆位置关系问题的两种方法
(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
19.直线与圆的位置关系中的易错问题
【典例】 对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．
[易错点析] 对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．
[解析] 由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．
又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，
所以，12＋b21.
[答案] a2－b2>1
[方法点评] 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
[跟踪练习] (2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析：法一：将直线方程代入圆方程，
得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，
直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝eq \f(2,\r(k2＋1))，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即eq \f(2,\r(k2＋1))>1，解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
答案：(－eq \r(3)，eq \r(3))
A组 考点能力演练
1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不能确定
解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝eq \f(4,\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)))，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)>4，∴d＝eq \f(4,\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)))<2，∴直线l与圆相交．
答案：C
2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
解析：C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x－y－1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
答案：B
3．(2015·长春二模)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
A．(－∞，2－2eq \r(2)]∪[2＋2eq \r(2)，＋∞)
B．(－∞，－2eq \r(2)]∪[2eq \r(2)，＋∞)
C．[2－2eq \r(2)，2＋2eq \r(2)]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：由直线与圆相切可知
|m＋n|＝eq \r(m＋12＋n＋12)，
整理得mn＝m＋n＋1，由mn≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2
可知m＋n＋1≤eq \f(1,4)(m＋n)2，
解得m＋n∈(－∞，2－2eq \r(2)]∪[2＋2eq \r(2)，＋∞)，故选A.
答案：A
4．过点(－2,3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心C(－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝eq \f(3－2,－2－－1)＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0，故选A.
答案：A
5．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2＝5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \r(5)
C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(6\r(5),5)
解析：设点Q(x，y)，则x＝2a，y＝a＋2，∴x－2y＋4＝0，∴点Q在直线x－2y＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋4|,\r(1＋4))＝eq \f(6\r(5),5)，所以PQ长度的最小值为d－eq \r(5)＝eq \f(6\r(5),5)－eq \r(5)＝eq \f(\r(5),5)，故选A.
答案：A
6．圆x2＋y2＋x－2y－20＝0与圆x2＋y2＝25相交所得的公共弦长为________．
解析：公共弦的方程为(x2＋y2＋x－2y－20)－(x2＋y2－25)＝0，即x－2y＋5＝0，圆x2＋y2＝25的圆心到公共弦的距离d＝eq \f(|0－2×0＋5|,\r(5))＝eq \r(5)，而半径为5，故公共弦长为2eq \r(52－\r(5)2)＝4eq \r(5).
答案：4eq \r(5)
7．(2016·泰安调研)已知直线eq \r(3)x－y＋2＝0及直线eq \r(3)x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．
解析：因为已知的两条直线平行且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两平行直线距离的一半，即d＝eq \f(1,2)×eq \f(|2＋10|,\r(3＋1))＝3.又直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径r＝eq \r(32＋42)＝5，所以圆C的面积是25π.
答案：25π
8．(2016·福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A、B两点，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为________．
解析：依题意得，点C的坐标为(3,3)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋2，,x－32＋y－32＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))
可令A(3,5)，B(1,3)，∴eq \(CA,\s\up6(→))＝(0,2)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(－2,0)，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0.
答案：0
9.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，
则圆C的半径为m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＝eq \f(25,4)，解得m＝eq \f(5,2)，所以圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
(2)由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋1)，,y1y2＝\f(－3,t2＋1)，))
则kAN＋kBN＝eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝eq \f(y1,ty1－3)＋eq \f(y2,ty2－3)＝eq \f(2ty1y2－3y1＋y2,ty1－3ty2－3)＝eq \f(\f(－6t,t2＋1)＋\f(6t,t2＋1),ty1－3ty2－3)＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．
10．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：y＝eq \f(4,3)x－eq \f(1,2)被圆M截得的弦长为eq \r(3)，且圆心M在直线l的下方．
(1)求圆M的方程；
(2)设A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．
解：(1)设圆心M(a,0)，由已知得点M到直线l：8x－6y－3＝0的距离为eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(|8a－3|,\r(82＋62))＝eq \f(1,2).又点M在直线l的下方，∴8a－3>0，∴8a－3＝5，a＝1，∴圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设直线AC的斜率为k1，直线BC的斜率为k2，则直线AC的方程为y＝k1x＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6.由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k1x＋t，,y＝k2x＋t＋6，))解得C点的横坐标为eq \f(6,k1－k2).
∵|AB|＝t＋6－t＝6，
∴S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,k1－k2)))×6＝eq \f(18,|k1－k2|).
∵圆M与AC相切，
∴1＝eq \f(|k1＋t|,\r(1＋k\\al(2,1)))，∴k1＝eq \f(1－t2,2t)；
同理，k2＝eq \f(1－t＋62,2t＋6).
∴k1－k2＝eq \f(3t2＋6t＋1,t2＋6t)，
∴S＝eq \f(6t2＋6t,t2＋6t＋1)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,t2＋6t＋1)))，
∵－5≤t≤－2，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，
∴Smax＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))＝eq \f(15,2)，Smin＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,8)))＝eq \f(27,4).
B组 高考题型专练
1．(2014·高考浙江卷)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝eq \r(2－a).圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq \f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq \r(2).由r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
答案：B
2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
解析：易知△ABC是边长为2的等边三角形，故圆心C(1，a)到直线AB的距离为eq \r(3)，即eq \f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq \r(3)，解得a＝4±eq \r(15).经检验均符合题意，则a＝4±eq \r(15).
答案：4±eq \r(15)
3．(2014·高考山东卷)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq \r(3)，则圆C的标准方程为________．
解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b>0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以2eq \r(4b2－b2)＝2eq \r(3)，b>0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
4．(2015·高考山东卷)过点P(1，eq \r(3))作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________.
解析：在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可得|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，∠APO＝∠BPO＝eq \f(π,6)，则eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,3)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))|·|eq \(PB,\s\up6(→))|·cs eq \f(π,3)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
5．(2015·高考重庆卷)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
解析：由题意，得kOP＝eq \f(2－0,1－0)＝2，则该圆在点P处的切线方程的斜率为－eq \f(1,2)，所以所求切线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.
答案：x＋2y－5＝0
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|