高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.7 抛物线 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.7 抛物线 word版含答案，共14页。

掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程．
2．抛物线的几何性质
掌握抛物线的简单性质．
知识点一 抛物线定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内．
(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离相等．
(3)定点不在定直线上．
易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
[自测练习]
1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.eq \f(17,16) B.eq \f(15,16)
C.eq \f(7,8) D．0
解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－eq \f(1,16)，设M(x，y)，则y＋eq \f(1,16)＝1，∴y＝eq \f(15,16).
答案：B
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质
易误提醒 抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2 α)(α为弦AB的倾斜角)．
(3)eq \f(1,|FA|)＋eq \f(1,|FB|)＝eq \f(2,p).
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
[自测练习]
2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是( )
A．y＝4x2 B．y＝8x2
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋eq \f(p,2)＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，故选D.
答案：D
3．(2016·成都质检)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2×3＝6，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2＝8，故选B.
答案：B
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析：双曲线eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以eq \f(p,2)＝3，p＝6.
答案：6
考点一 抛物线的标准方程及几何性质|
1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是( )
A．(0，a) B．(a,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16a))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16a)，0))
解析：抛物线方程化标准方程为x2＝eq \f(1,4a)y，焦点在y轴上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16a))).
答案：C
2．(2016·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P(－4，－2)的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P(－4，－2)的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.
答案：D
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：AB的中点到抛物线准线的距离为eq \f(|AB|,2)＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.
答案：D
求抛物线方程的三个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

考点二 抛物线的定义及应用|
抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：
1．到焦点与动点的距离之和最小问题．
2．到准线与动点的距离之和最小问题．
3．到两定直线距离之和最小问题．
4．到焦点与定点距离之和最小问题．
探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题
1．(2016·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
解析：抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所以|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.
答案：5
探究二 到准线与动点的距离之和最小问题
2．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为( )
A.eq \r(41) B．7
C．6 D．9
解析：由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，
圆心C的坐标为(－3，－4)．
由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，
即d＋|PC|＝eq \r(－3－22＋－42)＝eq \r(41).
答案：A
探究三 到两定直线距离之和最小问题
3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为( )
A.eq \f(37,16) B.eq \f(11,5)
C．3 D．2
解析：直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则点P到直线l2：x＝－1的距离等于PF，过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为eq \f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故选D.
答案：D
探究四 到焦点与定点距离之和最小问题
4．(2016·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A．(0,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(2,2)
解析：本题考查抛物线的定义，过M点作左准线的垂线(图略)，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．
答案：D
求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．


考点三 直线与抛物线的位置关系|
(2016·保定模拟)已知：过抛物线x2＝4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过点A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C.
(1)求证：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0；
(2)求△ABC的面积的最小值．
[解] (1)证明：设lAB：y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2－4kx－4＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，则xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.∵y＝eq \f(1,4)x2，∴y′＝eq \f(1,2)x，∴lAC：y－eq \f(1,4)xeq \\al(2,A)＝eq \f(1,2)xA(x－xA)，
lBC：y－eq \f(1,4)xeq \\al(2,B)＝eq \f(1,2)xB(x－xB)，∴xC＝2k，yC＝－1.
①若k≠0，则kCF＝－eq \f(1,k)，∴kAB·kCF＝－1，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
②若k＝0，显然eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0(或∵eq \(CF,\s\up6(→))＝(－2k,2)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(xB－xA，k(xB－xA))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－2k(xB－xA)＋2k(xB－xA)＝0.
(2)由(1)知，点C到AB的距离d＝|CF|＝2eq \r(1＋k2).
∵|AB|＝|AF|＋|FB|＝yA＋yB＋2＝k(xA＋xB)＋4＝4k2＋4，
∴S＝eq \f(1,2)|AB|d＝4(k2＋1)eq \f(3,2)，
∴当k＝0时，△ABC的面积取最小值，为4.
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．


(2015·高考四川卷)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
解析：当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以02，又yeq \\al(2,0)<4x0，即r2－4<12，所以02，所以2答案：D
8.直线与圆锥曲线问题的答题模板
【典例】 (13分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2eq \r(6).过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
[解题思路] (1)由抛物线的焦点坐标可求c，又由两曲线的公共弦长为2eq \r(6)得出a，b的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k的方程．
[规范解答] (1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1，①(2分)
又C1与C2的公共弦的长为2eq \r(6)，C1与C2都关于y轴对称，由C1的方程为x2＝4y，(4分)
由此易知C1与C2的公共点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\r(6)，\f(3,2)))，
所以eq \f(9,4a2)＋eq \f(6,b2)＝1，②(5分)
联立①②得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,8)＝1.(6分)
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因为eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))同向，且|AC|＝|BD|，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③(8分)
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.(9分)
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y))得x2－4kx－4＝0，
而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，④
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,8)＋\f(y2,9)＝1，))得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3＋x4＝－eq \f(16k,9＋8k2)，x3x4＝－eq \f(64,9＋8k2)，⑤(10分)
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝eq \f(162k2,9＋8k22)＋eq \f(4×64,9＋8k2)，
即16(k2＋1)＝eq \f(162×9k2＋1,9＋8k22)，(12分)
所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±eq \f(\r(6),4)，即直线l的斜率为±eq \f(\r(6),4).(13分)
[模板形成]
eq \x(特定系数法求曲线方程)
↓
eq \x(联立方程，得关于x或y的一元二次方程)
↓
eq \x(写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围或指出直线过曲线内一点；)
↓
eq \x(根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2或y1y2，y1＋y2的关系式，求得结果；)
↓
eq \x(反思回顾，查看有无忽略特殊情况.)
[跟踪练习] (2016·唐山模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),4p2)＝4.
因为eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)将(*)化为y2－4my＋8＝0.则y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
设AB的中点为M(xM，yM)，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又|AB|＝eq \r(1＋m2)|y1－y2|＝eq \r(1＋m216m2－32)，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±eq \r(3).
所以直线l的方程为x＋eq \r(3)y＋2＝0或x－eq \r(3)y＋2＝0.
A组 考点能力演练
1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C．2 D.eq \f(1,4)
解析：因为抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,a)y，所以其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4a)))，则有eq \f(1,4a)＝1，a＝eq \f(1,4)，故选D.
答案：D
2．(2016·襄阳调研)抛物线y2＝2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵外接圆的面积为9π，∴圆的半径为3.又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝3，∴p＝4.
答案：B
3．(2016·新余模拟)从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PMF的面积为( )
A．5 B．10
C．20 D.eq \r(15)
解析：根据题意得点P的坐标为(4，±4)，所以S△PMF＝eq \f(1,2)|yp|·|PM|＝eq \f(1,2)×4×5＝10，故选B.
答案：B
4．(2016·九江一模)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，eq \r(2)p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|＝( )
A．1∶eq \r(2) B．1∶eq \r(3)
C．1∶2 D．1∶3
解析：由题意得，直线l：y＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,4)，－\f(\r(2),2)p))，∴|NF|＝eq \f(p,4)＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)p，∴|MF|＝p＋eq \f(p,2)＝eq \f(3,2)p，∴|NF|∶|FM|＝1∶2，故选C.
答案：C
5．(2015·铜川一模)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为eq \f(3,2)，则|AB|的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
答案：D
6．抛物线y2＝x的焦点到准线的距离为________．
解析：由抛物线y2＝x，得2p＝1，∴p＝eq \f(1,2)，抛物线y2＝x的焦点到准线的距离为p＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
7．顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋2eq \r(2)y＝0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为________．
解析：圆的圆心坐标为(1，－eq \r(2))．设抛物线方程为y2＝ax，将圆心坐标代入得a＝2，所以所求抛物线的方程为y2＝2x.
答案：y2＝2x
8．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
9.已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2，－1)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；
(2)若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线C：x2＝eq \f(1,m)y相切，求直线l的方程和抛物线C的方程．
解：(1)依题意得点P的坐标为(－m,0)．
∵以点M(2，－1)为圆心的圆与直线l相切于点P，
∴MP⊥l.∴kMP·kl＝eq \f(0－－1,－m－2)·1＝－1，解得m＝－1.
∴点P的坐标为(1,0)．
设所求圆的半径为r，则r2＝|PM|2＝1＋1＝2，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
(2)将直线l的方程y＝x＋m中的y换成－y，可得直线l′的方程为y＝－x－m.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝\f(1,m)y，,y＝－x－m，))得mx2＋x＋m＝0(m≠0)，Δ＝1－4m2，
∵直线l′与抛物线C：x2＝eq \f(1,m)y相切，
∴Δ＝0，解得m＝±eq \f(1,2).
当m＝eq \f(1,2)时，直线l的方程为y＝x＋eq \f(1,2)，抛物线C的方程为x2＝2y；
当m＝－eq \f(1,2)时，直线l的方程为y＝x－eq \f(1,2)，抛物线C的方程为x2＝－2y.
10．(2016·大连双基)已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p>0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.
(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；
(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝2，求抛物线C的方程．
解：(1)设直线l1的方程为：x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋2，,y2＝2px，))得y2－2pmy－4p＝0，y1＋y2＝2pm，y1·y2＝－4p.
k1＋k2＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(y1,my1＋4)＋eq \f(y2,my2＋4)＝eq \f(2my1y2＋4y1＋y2,my1＋4my2＋4)＝eq \f(－8mp＋8mp,my1＋4my2＋4)＝0.
(2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝eq \f(y1－y0,x1－x0)(x－x1)，当x＝－2时，yM＝eq \f(－4p＋y1y0,y1＋y0)，
同理yN＝eq \f(－4p＋y2y0,y2＋y0).
因为eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝2，所以4＋yNyM＝2，eq \f(－4p＋y2y0,y2＋y0)·eq \f(－4p＋y1y0,y1＋y0)＝－2.
eq \f(16p2－4py0y2＋y1＋y\\al(2,0)y1y2,y2y1＋y0y2＋y1＋y\\al(2,0))＝－2，
eq \f(16p2－8p2my0－4py\\al(2,0),－4p＋2pmy0＋y\\al(2,0))＝－2，
p＝eq \f(1,2)，抛物线C的方程为y2＝x.
B组 高考题型专练
1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq \f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：因为抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线l的方程为x＝－2①，设椭圆E的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以椭圆E的半焦距c＝2，又椭圆E的离心率为eq \f(1,2)，所以a＝4，b＝2eq \r(3)，椭圆E的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1②，联立①②，解得A(－2,3)，B(－2，－3)，或A(－2，－3)，B(－2,3)，所以|AB|＝6，选B.
答案：B
2．(2015·高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
解析：因为抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1，
∴eq \f(p,2)＝1，∴焦点坐标为(1,0)，选B.
答案：B
3.(2015·高考浙江卷)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.eq \f(|BF|－1,|AF|－1)
B.eq \f(|BF|2－1,|AF|2－1)
C.eq \f(|BF|＋1,|AF|＋1)
D.eq \f(|BF|2＋1,|AF|2＋1)
解析：由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2⊥y轴于点A2，过B作BB2⊥y轴于点B2，则eq \f(S△BCF,S△ACF)＝eq \f(|BC|,|AC|)＝eq \f(|BB2|,|AA2|)＝eq \f(|BF|－1,|AF|－1).
答案：A
4．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝eq \f(x2,4)与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2eq \r(a)，a)，N(－2eq \r(a)，a)，或M(－2eq \r(a)，a)，N(2eq \r(a)，a)．
又y′＝eq \f(x,2)，故y＝eq \f(x2,4)在x＝2eq \r(a)处的导数值为eq \r(a)，C在点(2eq \r(a)，a)处的切线方程为y－a＝eq \r(a)(x－2eq \r(a))，即eq \r(a)x－y－a＝0.
y＝eq \f(x2,4)在x＝－2eq \r(a)处的导数值为－eq \r(a)，C在点(－2eq \r(a)，a)处的切线方程为y－a＝－eq \r(a)(x＋2eq \r(a))，即eq \r(a)x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为eq \r(a)x－y－a＝0和eq \r(a)x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝eq \f(y1－b,x1)＋eq \f(y2－b,x2)
＝eq \f(2kx1x2＋a－bx1＋x2,x1x2)
＝eq \f(ka＋b,a).
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
,e＝1
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
,x＝eq \f(p,2)
,y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
,y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq \f(p,2)