高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 word版含答案

这是一份高三数学人教版a版数学（理）高考一轮复习教案：8.1 直线的倾斜角与斜率、直线方程 word版含答案，共12页。

(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
知识点一 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tan α叫作这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α.
(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
易误提醒 任意一条直线都有倾斜角，但只有与x轴不垂直的直线才有斜率(当直线与x轴垂直，即倾斜角为eq \f(π,2)时，斜率不存在)
[自测练习]
1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为eq \f(3π,4)，则y等于( )
A．－1 B．－3
C．0 D．2
解析：由k＝eq \f(－3－2y－1,2－4)＝tan eq \f(3π,4)＝－1.得－4－2y＝2.∴y＝－3.
答案：B
2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k1解析：由题图可知k1<0，k2>0，k3>0，且k2>k3，∴k1答案：D
知识点二 直线方程
易误提醒 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况．
(2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．
(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B).
[自测练习]
3．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( )
A.eq \r(3)x－3y－6＋eq \r(3)＝0
B.eq \r(3)x－3y＋6＋eq \r(3)＝0
C.eq \r(3)x＋3y＋6＋eq \r(3)＝0
D.eq \r(3)x＋3y－6＋eq \r(3)＝0
解析：直线斜率k＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
直线的点斜式方程为y－2＝eq \f(\r(3),3)(x＋1)，
整理得eq \r(3)x－3y＋eq \r(3)＋6＝0，故选B.
答案：B
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.
当y＝0时，x＝eq \f(a＋2,a).
∴eq \f(a＋2,a)＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
答案：D
考点一 直线的倾斜角与斜率|
1．直线x＋eq \r(3)y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析：∵直线的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，∴tan α＝－eq \f(\r(3),3).
又0≤α<180°，∴α＝150°.故选C.
答案：C
2．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．
解析：当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求：当a≠－1时，直线l的斜率为－eq \f(a,a＋1)，
则有－eq \f(a,a＋1)>1或－eq \f(a,a＋1)<0，
解得－10.
综上可知，实数a的取值范围是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)．
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)
3．(2016·太原模拟)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．
解析：如图，kPA＝eq \f(1＋3,1－2)＝－4，kPB＝eq \f(1＋2,1＋3)＝eq \f(3,4).
要使直线l与线段AB有交点，则有k≥eq \f(3,4)或k≤－4.
答案：(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
求倾斜角α的取值范围的一般步骤
(1)求出tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．
注意已知倾斜角θ的范围，求斜率k的范围时注意下列图象的应用：
当k＝tan α，α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时的图象如图：

考点二 直线的方程|
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(10),10)(0<α<π)，
从而cs α＝±eq \f(3\r(10),10)，则k＝tan α＝±eq \f(1,3).
故所求直线方程为y＝±eq \f(1,3)(x＋4)，
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1，又直线过点(－3,4)，
从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．

求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．
解：当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，适合题意，当斜率存在时，设斜率为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4).
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
考点三 直线方程的综合应用|
直线方程的综合应用是高考常考内容之一，它经常与不等式、导数、平面向量、数列等有关知识进行交汇，考查学生综合运用直线知识解决问题的能力．
归纳起来常见的命题探究角度有：
1．与最值相结合问题．
2．与导数的几何意义相结合问题．
3．与平面向量相结合问题．
4．与数列相结合问题．
探究一 与最值相结合问题
1．(2015·高考福建卷)若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：法一：因为直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以1＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(1,a)·\f(1,b))＝eq \f(2,\r(ab))(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以eq \r(ab)≥2.又a＋b≥2eq \r(ab)(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以a＋b≥4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.
法二：因为直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故选C.
答案：C
探究二 与导数的几何意义相结合问题
2．已知函数f(x)＝x－4ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．
解析：由f ′(x)＝1－eq \f(4,x)，则k＝f ′(1)＝－3，又f(1)＝1，故切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
答案：3x＋y－4＝0
探究三 与平面向量相结合问题
3．在平面直角坐标平面上，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,1)，且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))在直线的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为( )
A．－eq \f(1,4) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(2,5)或－eq \f(4,3) D.eq \f(5,2)
解析：直线l的一个方向向量可设为h＝(1，k)，由题eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(OA,\s\up6(→))·h,|h|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(OB,\s\up6(→))·h,|h|)))⇒|1＋4k|＝|－3＋k|，解得k＝eq \f(2,5)或k＝－eq \f(4,3)，故选C.
答案：C
探究四 与数列相结合问题
4．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,nn＋1)(n∈N*)，其前n项和Sn＝eq \f(9,10)，则直线eq \f(x,n＋1)＋eq \f(y,n)＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )
A．36 B．45
C．50 D．55
解析：由an＝eq \f(1,nn＋1)可知an＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，
∴Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq \f(1,n＋1)，
又知Sn＝eq \f(9,10)，
∴1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(9,10)，∴n＝9.
∴直线方程为eq \f(x,10)＋eq \f(y,9)＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，
∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×10×9＝45，故选B.
答案：B
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．

17.忽视零截距致误
【典例】 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[解] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，
∴eq \f(a－2,a＋1)＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1>0，,a－2≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋1＝0，,a－2≤0.))∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.
[易误点评] 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．
[防范措施] (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．
[跟踪练习] 若直线过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．以上都有可能
解析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x＋y＝a，则a＝2＋1＝3，有一条．综上知，直线过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B.
答案：B
A组 考点能力演练
1．直线l：xsin 30°＋ycs 150°＋1＝0的斜率是( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3)
C．－eq \r(3) D．－eq \f(\r(3),3)
解析：设直线l的斜率为k，则k＝－eq \f(sin 30°,cs 150°)＝eq \f(\r(3),3).
答案：A
2．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
解析：因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．
答案：D
3．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－3))
解析：∵(2x＋1)－m(y＋3)＝0恒成立，
∴2x＋1＝0，y＋3＝0，∴x＝－eq \f(1,2)，y＝－3.
∴定点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－3)).
答案：D
4．(2016·海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cs α，sin α)，且|AB|＝eq \r(3)，则直线AB的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)或y＝－eq \r(3)x－eq \r(3)
B．y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)或y＝－eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),3)
C．y＝x＋1或y＝－x－1
D．y＝eq \r(2)x＋eq \r(2)或y＝－eq \r(2)x－eq \r(2)
解析：|AB|＝ eq \r(cs α＋12＋sin2α)
＝eq \r(2＋2cs α)＝eq \r(3)，所以cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝±eq \f(\r(3),2)，
所以kAB＝±eq \f(\r(3),3)，即直线AB的方程为y＝±eq \f(\r(3),3)(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)或y＝－eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),3)，选B.
答案：B
5．(2016·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－11或kC．k>eq \f(1,5)或k<1 D．k>eq \f(1,2)或k<－1
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，令－3<1－eq \f(2,k)<3，解不等式可得．也可以利用数形结合．选D.
答案：D
6．(2016·温州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析：令x＝0，得y＝eq \f(k,4)；令y＝0，得x＝－eq \f(k,3).
则有eq \f(k,4)－eq \f(k,3)＝2，所以k＝－24.
答案：－24
7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．
解析：设直线的斜率为k(k≠0)，
则直线方程为y－2＝k(x＋2)，
由x＝0知y＝2k＋2.
由y＝0知x＝eq \f(－2k－2,k).
由eq \f(1,2)|2k＋2|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－2k－2,k)))＝1.
得k＝－eq \f(1,2)或k＝－2.
故直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
9．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解：法一：设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
点P(3,2)代入得eq \f(3,a)＋eq \f(2,b)＝1≥2eq \r(\f(6,ab))，
得ab≥24，
从而S△ABO＝eq \f(1,2)ab≥12，当且仅当eq \f(3,a)＝eq \f(2,b)时等号成立，
这时k＝－eq \f(b,a)＝－eq \f(2,3)，
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
且有Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,k)，0))，B(0,2－3k)，
∴S△ABO＝eq \f(1,2)(2－3k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,k)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12＋－9k＋\f(4,－k)))
≥eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12＋2\r(－9k·\f(4,－k))))＝eq \f(1,2)×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝eq \f(4,－k)，即k＝－eq \f(2,3)时，等号成立，
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
10．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2，1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
由两点式得BC的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－2,－2－2)，
即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，
则x＝eq \f(2－2,2)＝0，y＝eq \f(1＋3,2)＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,2)＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－eq \f(1,2)，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由(2)知，点D的坐标为(0,2)．
由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
B组 高考题型专练
1．(2014·高考安徽卷)过点P(－eq \r(3)，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
解析：法一：如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知OP＝2，OA＝1，则sin α＝eq \f(1,2)，所以α＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).选D.
法二：设过点P的直线方程为y＝k(x＋eq \r(3))－1，则由直线和圆有公共点知eq \f(|\r(3)k－1|,\r(1＋k2))≤1.
解得0≤k≤eq \r(3).故直线l的倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
答案：D
2．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋eq \f(b,x)(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析：∵y＝ax2＋eq \f(b,x)，∴y′＝2ax－eq \f(b,x2)，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋\f(b,2)＝－5，,4a－\f(b,4)＝－\f(7,2)))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2.))
∴a＋b＝－3.
答案：－3
3．(2014·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|时取“＝”)．
答案：5
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与两坐标轴均不垂直的直线续表
截距式
纵、横截距
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线