人教版高三数学一轮复习备考教学设计：中点弦与差点法微专题教学设计 黄州西湖中学

这是一份人教版高三数学一轮复习备考教学设计：中点弦与差点法微专题教学设计 黄州西湖中学，共6页。教案主要包含了考情分析，复习本专题的意义，教学内容，课后练习，参考答案，教学反思等内容，欢迎下载使用。
———教学设计说明
湖北省黄冈市黄州西湖中学
【考情分析】
1、高考要求
（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；
（3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；
（4）了解曲线与方程的对应关系；
（5）理解数形结合的思想；
（6）了解圆锥曲线的简单应用。
从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。
2、历届高考文科数学（全国卷1）调研
（1）考察形式、难度、分值情况
（2）文科数学（全国卷1）命题趋向
从以上近7年全国高考在解析几何部分的命题分布看：都是两小题一道大题（即两小一大）的题型设置；圆锥曲线由2010年，2011年的设置的第一题在8题和11题位置，到2012至2015年第一题基本稳定在4、5两道题的位置。我们可以看到总体上全国卷在解析几何部分的命题，难度在降低，更注重比如定义、标准方程、离心率、渐进线方程等基础知识的考察。基本上是椭圆、双曲线、抛物线、圆中四选三各一道题目，直线与圆很少单独考察，而是与圆锥曲线结合。
在近7年的解析几何大题部分，椭圆考查了3次、抛物线和圆各考查2次，没有考过双曲线。实际上全国卷在近十年高考中也只有08年考过一次双曲线的大题。这与《考试说明》对三者的要求是一致的。
【复习本专题的意义】
解析几何是高考的重点，也是难点。一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点， 把交点代入圆锥曲线的方程， 得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。
本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2017年高考取胜作充分准备。
【教学内容】
直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题
例1、过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：
又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是
，
又M为AB的中点，所以，
解得， 故所求直线方程为。
解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，
所以，，又A、B两点在椭圆上，则，，两式相减得，
所以，即，故所求直线方程为。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），
则另一个交点为B(4-)，
因为A、B两点在椭圆上，所以有，
两式相减得，由于过A、B的直线只有一条，
故所求直线方程为。
二、求弦中点的轨迹方程问题
例2、过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。
解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），
则有，两式相减得，
又因为，，所以，
所以，而，故。
化简可得 （）。
解法二：设弦中点M（），Q（），
由，可得，，
又因为Q在椭圆上，所以，
即，
所以PQ中点M的轨迹方程为 （）。
三、弦中点的坐标问题
例3、求直线被抛物线截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，
消去y得，即，
所以，，即中点坐标为。
解法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，两式相减得，
所以，
所以，即，，即中点坐标为。
【课后练习】
1、求直线 QUOTE 被抛物线 QUOTE 截得线段的中点坐标为______________。
2、已知直线l与椭圆 QUOTE 相交P1，P2两点，线段P1P2的中点是点P，设直线的斜率为k（k≠0），OP 的斜率为k′，求证：kk′是一个定值。
3、已知椭圆 QUOTE ，求斜率为2 的平行弦中点的轨迹方程。（平行弦中点轨迹方程）
4、请收集高考题、平时考试题、训练题中能用点差法解答的中点弦试题。
5、阅读思考题
前面面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论：
引理 设A、B是二次曲线C：上的两点，P为弦AB的中点，则
。
设A、B则……（1）
……（2）
得。
∴。
∴。
∵，∴。
∴，即。（说明：当时，上面的结论就是过二次曲线C上的点P的切线斜率公式，即）。
推论1 设圆的弦AB的中点为P（，则 QUOTE ）。（假设点P在圆上时，则过点P的切线斜率为 QUOTE 。）

推论2 设椭圆的弦AB的中点为P（，则。（注：对a≤b也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）
推论3 设双曲线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）
推论4 设抛物线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为
我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，并用数学语言小结你的收获。
【问题1】求椭圆斜率为3的弦的中点轨迹方程为_____________________。
【问题2】已知抛物线C：，直线要使抛物线C上存在关于对称的两点，的取值范围是___________________。
【问题3】已知椭圆A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于P，求证：。
【参考答案】
1、设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，则有，故所示的轨迹方程为16x+75y=0
2、设C上两点A、B两点关于对称，AB的中点为P（
∴ ∴∵P∈∴
∴ ∴ , ∴.
∵P在抛物线内 ，∴ . ∴
∴ ∴
3、证明：设AB的中点为T，由题设可知AB与x轴不垂直，∴，
∴ ∵l⊥AB ∴
∴l的方程为：。令y=0 得
∴ 。 ∵ ， ∴。
∴。
【教学反思】
本专题约一课时，用“引入——探究——实践——体会——自主学习——合作归纳——课后笔记与反思——强化训练”的模式，让学生在《中点弦与点差法》的学习中激发求知欲，展现乐于探究，自信备考，在高考真题中实战演练，在实践再次分享合作学习的快乐和独立思考的成就感。既体现了源于课本而高于课本的重点知识和解题技巧的运用，也感悟到高考出题者与应考者的交集的存在性。老师的教与学生的学，老师的引导与学生的跟进，课堂上的识读、探索、归纳、总结与课后的强化训练、得失反思，环环相扣，层层深入，充分体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生是学习的主体，通过动手探索、动脑思考，层层递进，对知识的理解逐步,对重点的知识深入理解和解题技法精准归纳，直至成为众多考生中的佼佼者、高考的最终获胜者。全国卷
题型
赋分
2013
2014
2015
2016
小题
5分
5分
4（简单）
10（中档）
4（简单）
10（简单）
5（简单）
16 (中档)
5（简单）
10 (简单)
大题
12分
20（较难）
20（中档）
20 (简单)
20（中档）
全
国
卷
题型
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
小
题
8双曲线：双曲线方程与焦点三角形
11圆：圆与圆的位置关系和圆心距
4椭圆：椭圆离心率与焦点三角形
4双曲线：渐近线方程
4双曲线：离心率与参数的取值范围
5椭圆与抛物线：求准线与弦长
5椭圆：椭圆的离心率
16椭圆：椭圆与离心率
16双曲线：焦点三角形的角平分线
10等轴双曲线与抛物线：双曲线实轴长
8抛物线：焦点三角形的面积
10抛物线：焦半径的长
16双曲线：焦点三角形面积
15 圆：直线和圆的位置关系
大
题
22.抛物线：直线与抛物线的位置关系
22椭圆：点在椭圆上与四点共圆
20.圆锥曲线：抛物线与圆方程，点线距离
20圆与椭圆：圆与圆的位置关系和直线与椭圆的位置关系
20圆锥曲线：椭圆方程，圆的弦长与三角形面积
20 圆：直线与圆的位置关系及求弦长
20 抛物线：直线和抛物线的位置关系