2021高考数学（理）大一轮复习习题：第八章 立体几何 课时达标检测（三十八） 直线、平面平行的判定与性质 word版含答案

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1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )
A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α
解析：选A 由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．
2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β ”是“m∥β且n∥β ”的充分不必要条件．
3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
解析：选C 对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．
4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.
解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．
答案：①②④
5.如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是________．
解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由eq \f(EM,MA)＝eq \f(EN,NB)＝eq \f(1,2)，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
答案：平面ABC、平面ABD
一、选择题
1．下列命题中，错误的是( )
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线
解析：选D A中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A正确；B是两个平面平行的一种判定定理，B正确；C中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β(这是面面垂直的判定定理)，故C正确；D是错误的，事实上，直线l不平行平面α，可能有l⊂α，则α内有无数条直线与l平行．
2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；
②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选A 对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
3．已知直线a，b异面，给出以下命题：
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；
②一定存在平行于a的平面α使b∥α；
③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．
则其中正确的是( )
A．①④ B．②③
C．①②③ D．②③④
解析：选D 对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确．
4．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列三个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
③若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C ①正确；②中三条直线也可能相交于一点，故错误；③正确，所以正确的命题有2个．
5．(2017·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
解析：选D 如图所示，连接AC，C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A、C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．
6.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是( )
①|BM|是定值；
②点M在圆上运动；
③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
解析：选B 取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝eq \f(1,2)A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cs ∠MNB，所以MB是定值．①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．
二、填空题
7．过三棱柱ABC ­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有________条．
解析：过三棱柱ABC ­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
答案：6
8．正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于体对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.
解析：如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，∴S△ACE＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(6),4) (cm2)．
答案：eq \f(\r(6),4)
9．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：
①α∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.
如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)．
解析：①α∥γ，α∩β＝a，β∩γ＝b⇒a∥b(面面平行的性质)．
②如图所示，在正方体中，α∩β＝a，b⊂γ，a∥γ，b∥β，而a，b异面，故②错．③b∥β，b⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．
答案：①③
10.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．
解析：设eq \f(DH,DA)＝eq \f(GH,AC)＝k(0∴eq \f(AH,DA)＝eq \f(EH,BD)＝1－k，
∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.
又∵0∴周长的范围为(8,10)．
答案：(8,10)
三、解答题
11.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
12.如图所示，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)设BC＝3，求四棱锥B ­DAA1C1的体积．
解：(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，如图所示．
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1.
∵OD⊂平面BC1D，
AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D.
(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C.
∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
连接A1B，作BE⊥AC，垂足为E，
则BE⊥平面AA1C1C.
∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，
∴在Rt△ABC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(4＋9)＝eq \r(13)，
∴BE＝eq \f(AB·BC,AC)＝eq \f(6,\r(13))，
∴四棱锥B ­AA1C1D的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)(A1C1＋AD)·AA1·BE＝eq \f(1,6)×eq \f(3,2)eq \r(13)×2×eq \f(6,\r(13))＝3.