2021高考数学（理）大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案

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第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第一节
函数及其表示
本节主要包括3个知识点：
1.函数的定义域；　2.函数的表示方法；3.分段函数.

突破点(一)　函数的定义域
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


求给定解析式的函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y＝tan x的定义域为.
[例1]　y＝ －log2(4－x2)的定义域是(　　)
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
[解析]　要使函数有意义，必须
∴x∈(－2,0)∪[1,2)．
即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．
[答案]　C
[易错提醒]
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．


求抽象函数的定义域

对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
[例2]　若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
[解析]　由题意得，解得0≤x＜1，即g(x)的定义域是[0,1)．
[答案]　[0,1)

[易错提醒]
函数f[g(x)]的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围．


已知函数定义域求参数
[例3]　(2017·杭州模拟)若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　)
A．[0,4) B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
[解析]　由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则解得00，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．
2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1] B．[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
解析：选D　由题意得
解得即－1≤x≤1且x≠－，
所以函数的定义域为∪.故选D.
3．[考点一]函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．
解析：由题意得解得即00)．
答案：＋(x>0)
2．函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
解析：由题意知
解得f(x)＝2x.
答案：2x
3．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
解：设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1，x≥1.
4．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
5．已知f＝x2＋，求f(x)的解析式．
解：由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.
突破点(三)　分段函数
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
2．分段函数的相关结论
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”


分段函数求值
[例1]　(1)设f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)
A．－1 B.
C. D.
(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f(x)＝则f(1＋log25)的值为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　(1)因为f(－2)＝2－2＝，所以f(f(－2))＝f＝1－ ＝，故选C.
(2)因为2b D．b>a>c
[解析]　由f(x)的图象关于直线x＝1对称，可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)c.
[答案]　D
应用(二)　解函数不等式
[例3]　f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)
[解析]　2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
解析：选C　由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π，且0|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)．
3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则满足flogx>0的x的集合为________．
解析：由题意，y＝f(x)为奇函数且f＝0，
所以f＝－f＝0，
又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，
于是或
即或解得0