2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十二） 直线与方程 word版含答案

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1．直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k＝－eq \f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tan α＝－eq \f(\r(3),3)，所以α＝eq \f(5π,6).
2．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－eq \f(3,2) B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
解析：选D 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2＋m－3＝0，,m2－m＝0，))解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0.
4．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A.eq \f(17,10) B.eq \f(17,5) C．8 D．2
解析：选D ∵eq \f(6,3)＝eq \f(m,4)≠eq \f(14,－3)，∴m＝8，直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝eq \f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.
5．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
答案：－9
一、选择题
1．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：选D 由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.当y＝0时，x＝eq \f(a＋2,a).故eq \f(a＋2,a)＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A 由于直线ax＋by＋c＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).易知－eq \f(a,b)＜0且－eq \f(c,b)＞0，故ab＞0，bc＜0.
3．两直线eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a与eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
解析：选B 直线方程eq \f(x,m)－eq \f(y,n)＝a可化为y＝eq \f(n,m)x－na，直线eq \f(x,n)－eq \f(y,m)＝a可化为y＝eq \f(m,n)x－ma，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.
4．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
A.eq \f(5\r(2),2) B．5eq \r(2) C.eq \f(15\r(2),2) D．15eq \r(2)
解析：选B 由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝eq \f(|－10|,\r(2))＝5eq \r(2)，即P到原点距离的最小值为5eq \r(2).
5．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(10,a)))，则线段AB的长为( )
A．11 B．10 C．9 D．8
解析：选B 依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－2y,2)＝0，,\f(2x＋y,2)＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2，))所以A(4,8)，B(－4,2)，∴|AB|＝eq \r(4＋42＋8－22)＝10.
6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0
解析：选D 由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线PB上，所以直线PB的方程为x＋y－7＝0.
二、填空题
7．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为________．
解析：因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，即直线l2的斜率为eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是__________________．
解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝eq \f(－1－1,0－1)＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－eq \f(1,2)，所以直线l1的方程是y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是．
答案：
10.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，
∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
三、解答题
11．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝eq \f(|－1－5|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5).
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝eq \f(|－1＋m|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝eq \f(|－3＋n|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
12．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)由已知可得l2的斜率存在，
∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝eq \f(4,3)(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．
∵k2＝1－a，k1＝eq \f(a,b)，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，
即eq \f(a,b)(1－a)＝－1.①
又∵l1过点(－3，－1)，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即eq \f(a,b)＝1－a.③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b.④
联立③④，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))
∴a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2.