2021高考数学（理）大一轮复习习题：第六章 数列 课时达标检测（二十九） 数列的概念与简单表示 word版含答案

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1．数列1，eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，eq \f(4,7)，eq \f(5,9)，…的一个通项公式an＝( )
A.eq \f(n,2n＋1) B.eq \f(n,2n－1)
C.eq \f(n,2n－3) D.eq \f(n,2n＋3)
解析：选B 由已知得，数列可写成eq \f(1,1)，eq \f(2,3)，eq \f(3,5)，…，故该数列的一个通项公式为eq \f(n,2n－1).
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则a4的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
解析：选C a4＝S4－S3＝20－12＝8.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝( )
A．64 B．32 C．16 D．8
解析：选B ∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得eq \f(an＋2,an)＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.
则eq \f(a10,a8)·eq \f(a8,a6)·eq \f(a6,a4)·eq \f(a4,a2)＝24，即a10＝25＝32.
4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则eq \f(a3,a5)的值是( )
A.eq \f(15,16) B.eq \f(15,8) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,8)
解析：选C 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1,2)a4＝eq \f(1,2)＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝eq \f(2,3)，∴eq \f(a3,a5)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)＝eq \f(3,4).
5．现定义an＝5n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))n，其中n∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)，\f(1,5)，\f(1,2)，1))，则an取最小值时，n的值为________．
解析：令5n＝t>0，考虑函数y＝t＋eq \f(1,t)，易知其在(0,1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且当t＝1时，y的值最小，再考虑函数t＝5x，当0答案：eq \f(1,10)

一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝( )
A．36 B．35 C．34 D．33
解析：选C 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝2n－3(n∈N*)，所以a2＋a18＝34.
2．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝( )
A.eq \f(61,16) B.eq \f(25,9) C.eq \f(25,16) D.eq \f(31,15)
解析：选A 令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝eq \f(9,4)，a5＝eq \f(25,16)，∴a3＋a5＝eq \f(61,16).
3．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( )
A．256 B．510
C．512 D．1 024
解析：选C 在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.∴a6＝a3·a3＝64，a3＝8.
∴a9＝a6·a3＝64×8＝512.
4．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C 由3an＋1＝3an－2得an＋1＝an－eq \f(2,3)，则{an}是等差数列，又a1＝15，∴an＝eq \f(47,3)－eq \f(2,3)n.∵ak·ak＋1<0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(47,3)－\f(2,3)k))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(45,3)－\f(2,3)k))<0，∴eq \f(45,2)5．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 015＝( )
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选D 由题意得：a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8；所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2 015＝a335×6＋5＝a5＝2.
6．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且eq \f(an－1－an,an－1)＝eq \f(an－an＋1,an＋1)(n≥2)，则这个数列的第10项等于( )
A.eq \f(1,210) B.eq \f(1,29)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,10)
解析：选C ∵eq \f(an－1－an,an－1)＝eq \f(an－an＋1,an＋1)，∴1－eq \f(an,an－1)＝eq \f(an,an＋1)－1，即eq \f(an,an－1)＋eq \f(an,an＋1)＝2，∴eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)，故eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列．又∵d＝eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(1,a10)＝eq \f(1,2)＋9×eq \f(1,2)＝5，故a10＝eq \f(1,5).
二、填空题
7．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是________．
解析：∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴eq \f(an＋1,an－1＋1)＝2，又a1＝1，∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＋1＝2×2n－1＝2n，∴a5＋1＝25，即a5＝31.
答案：31
8．在数列－1,0，eq \f(1,9)，eq \f(1,8)，…，eq \f(n－2,n2)，…中，0.08是它的第________项．
解析：令eq \f(n－2,n2)＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
即(2n－5)(n－10)＝0.
解得n＝10或n＝eq \f(5,2)(舍去)．即0.08是该数列的第10项．
答案：10
9．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1(an＋2)＝an(n∈N*)，若bn＋1＝(n－p)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))，b1＝－p，且数列{bn}是单调递增数列，则实数p的取值范围为________．
解析：由题中条件，可得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)＋1，则eq \f(1,an＋1)＋1＝2eq \f(1,an)＋1，易知eq \f(1,a1)＋1＝2≠0，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋1))是等比数列，所以eq \f(1,an)＋1＝2n，可得bn＋1＝2n(n－p)，则bn＝2n－1(n－1－p)(n∈N*)，由数列{bn}是单调递增数列，得2n(n－p)>2n－1(n－1－p)，则p答案：(－∞，2)
10．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)aeq \\al(2,n＋1)－naeq \\al(2,n)＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.
解析：∵(n＋1)aeq \\al(2,n＋1)＋an＋1·an－naeq \\al(2,n)＝0，
∴(an＋1＋an)＝0，
又an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n,n＋1)，
∴eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·eq \f(a4,a3)·eq \f(a5,a4)·…·eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(4,5)×…×eq \f(n－1,n)，∵a1＝1，∴an＝eq \f(1,n).
答案：eq \f(1,n)
三、解答题
11．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an(n∈N*)，可得
a1＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)a1，解得a1＝1；
S2＝a1＋a2＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,2)＋eq \f(1,2)a2，解得a2＝2；
同理，a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n)＋eq \f(1,2)an，①
当n≥2时，Sn－1＝eq \f(1,2)aeq \\al(2,n－1)＋eq \f(1,2)an－1，②
①－②，整理得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，
又由(1)知a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.
12．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1因为n∈N*，所以n＝2,3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.
因为an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2－eq \f(9,4)，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由对于n∈N*，都有an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－eq \f(k,2)－3.
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．