2021高考数学（理）大一轮复习习题：第六章 数列 课时达标检测（三十一） 等比数列及其前n项和 word版含答案

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1．(2017·湖北华师一附中月考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )
A．1 B．±1
C．2 D．±2
解析：选A 因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝aeq \\al(3,3)＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝eq \f(a3,q2)＝1，故选A.
2．(2017·安徽皖江名校联考)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝( )
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选C ∵a2·a4＝aeq \\al(2,3)＝16，∴a3＝4(负值舍去)①，又S3＝a1＋a2＋a3＝eq \f(a3,q2)＋eq \f(a3,q)＋a3＝7②，则联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－eq \f(2,3)或q＝2，∵an>0，∴q＝2，∴a1＝eq \f(a3,q2)＝1，∴a8＝27＝128.
3．等比数列{an}中，已知对任意正整数n，a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n－1，则aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3)＋…＋aeq \\al(2,n)等于( )
A.eq \f(1,3)(4n－1) B.eq \f(1,3)(2n－1)
C．4n－1 D．(2n－1)2
解析：选A 由题知a1＝1，公比q＝2，故数列{aeq \\al(2,n)}是首项为1，公比为4的等比数列，故aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3)＋…＋aeq \\al(2,n)＝eq \f(1×1－4n,1－4)＝eq \f(1,3)(4n－1)，故选A.
4．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝3，aeq \\al(2,4)＝4a3a7，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，则q>0.由aeq \\al(2,5)＝a3a7得aeq \\al(2,4)＝4a3a7＝4aeq \\al(2,5)＝4aeq \\al(2,4)q2，所以q2＝eq \f(1,4)，q＝eq \f(1,2).又a1＋2a2＝a1＋2a1q＝3，即2a1＝3，所以a1＝eq \f(3,2)，所以an＝a1qn－1＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝eq \f(3,2n).
答案：eq \f(3,2n)
5．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若eq \f(S4,S2)＝3，则eq \f(S6,S4)＝________.
解析：设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴eq \f(S6,S4)＝eq \f(7k,3k)＝eq \f(7,3).
答案：eq \f(7,3)
一、选择题
1．(2017·河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D．3
解析：选D 由a9＝a2a3a4得a1q8＝aeq \\al(3,1)q6，所以q2＝aeq \\al(2,1)，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.
2．(2016·杭州质检)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则eq \f(a15,a5)＝( )
A．3 B．－eq \f(1,3)
C．3或eq \f(1,3) D．－3或－eq \f(1,3)
解析：选C 根据等比数列的性质得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3q52＝3，,a31＋q10＝4，))化简得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或eq \f(1,3)，所以eq \f(a15,a5)＝eq \f(a5q10,a5)＝q10＝3或eq \f(1,3).
3．(2017·长沙模拟)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：选D 设等比数列{an}的公比为q，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＋a7＝2，,a5a6＝a4a7＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝－2，,a7＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝4，,a7＝－2，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q3＝－2，,a1＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q3＝－\f(1,2)，,a1＝－8，))所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
4．(2016·衡阳三模)在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝( )
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：选C 因为数列{an}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则an＝2qn－1，因为数列{an＋1}也是等比数列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，则an＋an＋2＝2an＋1，即an(1＋q2－2q)＝0，所以q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n，故选C.
5．(2017·福州质检)已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn，若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝( )
A．512 B．256
C．81 D．16
解析：选A 由题意知，a3a4a7q＝a3a7(a4q)＝a3a7a5＝aeq \\al(3,5)＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5＝aeq \\al(9,5)，所以Ⅱ9＝83＝512.
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A．192 里 B．96 里
C．48 里 D．24 里
解析：选B 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝eq \f(1,2)，依题意有eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，则a2＝192×eq \f(1,2)＝96，即第二天走了96 里，故选B.
二、填空题
7．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则eq \f(b2,a1＋a2)的值为________．
解析：因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以beq \\al(2,2)＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3，所以eq \f(b2,a1＋a2)＝eq \f(3,10).
答案：eq \f(3,10)
8．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得eq \f(a3,a2)＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.
答案：3n－1
9．在等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
解析：∵S99＝30，∴a1(299－1)＝30.又∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…a99＝eq \f(4a11－833,1－8)＝eq \f(4a1299－1,7)＝eq \f(4,7)×30＝eq \f(120,7).
答案：eq \f(120,7)
10．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．
解析：由题可知a1a2a3·…·a2 016＝a2 016，
故a1a2a3·…·a2 015＝1，
由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，
所以a1 008＝1，公比0＜q＜1，
所以a1 007＞1且0＜a1 009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 007或1 008.
答案：1 007或1 008
三、解答题
11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
解：(1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1.
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－2＝2n－2.
当n＝1时a1＝1，不适合上式．∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2n－2，n≥2.))
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝eq \f(21－4n,1－4)＝eq \f(24n－1,3).
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋eq \f(24n－1,3)＝eq \f(22n＋1＋1,3).
12．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
∵a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴eq \f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，
∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，
∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n.