2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十七） 抛物线 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十七） 抛物线 word版含答案，共5页。

1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
2．设抛物线y2＝－12x上一点P到y轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．3 B．4 C．7 D．13
解析：选B 依题意，点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x＝3的距离，即等于3＋1＝4.
3．若抛物线y2＝2x上一点M到它的焦点F的距离为eq \f(3,2)，O为坐标原点，则△MFO的面积为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
解析：选B 由题意知，抛物线的准线方程为x＝－eq \f(1,2).设M(a，b)，由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为eq \f(3,2)，所以a＝1，代入抛物线方程y2＝2x，解得b＝±eq \r(2)，所以S△MFO＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),4).
4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，所以x1＋x2＋x3＝3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，则||＋||＋||＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))＋x3＋eq \f(1,2)＝(x1＋x2＋x3)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.
5．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为x2＝8y.
答案：x2＝8y
一、选择题
1．抛物线y2＝2px(p>0)的准线截圆x2＋y2－2y－1＝0所得弦长为2，则p＝( )
A．1 B．2 C．4 D．6
解析：选B 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－eq \f(p,2)，而圆化成标准方程为x2＋(y－1)2＝2，圆心M(0,1)，半径r＝eq \r(2)，圆心到准线的距离为eq \f(p,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))2＝(eq \r(2))2，解得p＝2.
2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：选A 由题意知抛物线的准线为x＝－eq \f(1,4).因为|AF|＝eq \f(5,4)x0，根据抛物线的定义可得x0＋eq \f(1,4)＝|AF|＝eq \f(5,4)x0，解得x0＝1，故选A.
3．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
解析：选A 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知直线y＝k(x－2)过抛物线焦点(2,0)，所以|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)＝eq \f(1,x1＋2)＋eq \f(1,x2＋2)＝eq \f(x1＋x2＋4,x1x2＋2x1＋x2＋4).联立直线与抛物线方程消去y，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故eq \f(1,|FP|)＋eq \f(1,|FQ|)＝eq \f(x1＋x2＋4,x1x2＋2x1＋x2＋4)＝eq \f(x1＋x2＋4,2x1＋x2＋8)＝eq \f(1,2).
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，－2))，＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，·＝0，即yeq \\al(2,0)－8y0＋16＝0，因而y0＝4，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得，eq \f(8,p)＋eq \f(p,2)＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
5．(2017·长春模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则eq \f(|AF|,|BF|)的值等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
解析：选A 记抛物线y2＝2px的准线为l′，如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，则有cs∠ABB1＝eq \f(|BC|,|AB|)＝eq \f(|BB1|－|AA1|,|AF|＋|BF|)＝eq \f(|BF|－|AF|,|AF|＋|BF|)，即cs 60°＝eq \f(|BF|－|AF|,|AF|＋|BF|)＝eq \f(1,2)，由此得eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(1,3).
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)与圆(x－a)2＋y2＝r2(a>0)有且只有一个公共点，则( )
A．r＝a＝p B．r＝a≤p
C．ra时，易知圆与抛物线有两个公共点，与题意不符；当r＝a时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(x－a)2＋2px＝r2(x≥0)有且仅有一个解x＝0，可得a≤p.
二、填空题
7．抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．
解析：设抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)(p>0)，则根据抛物线的性质有eq \f(p,2)＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.
答案：8
8．(2017·邢台模拟)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．
解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1.则|MM1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2).|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，则|AA1|＋|BB1|≥6，即2|MM1|≥6，所以|MM1|≥3，故M到x轴的最短距离为3－1＝2.
答案：2
9．(2015·荆门质检)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是正三角形，则△AFB的边长为________．
解析：由题意可知A，B两点一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由于y2＝4x的焦点为(1,0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(\r(3),3)x－1，,y2＝4x，))化简得y2－4eq \r(3)y－4＝0，解得y＝2eq \r(3)＋4或y＝2eq \r(3)－4，所以△AFB的边长为8＋4eq \r(3)或8－4eq \r(3).
答案：8＋4eq \r(3)或8－4eq \r(3)
10．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1为________．
解析：由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝eq \f(1,2)×π＝eq \f(π,2)，即∠A1FB1＝eq \f(π,2).
答案：eq \f(π,2)
三、解答题
11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)，于是4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝eq \f(4,3).∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq \f(3,4).
∴FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)，MN的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x－1，,y＝－\f(3,4)x＋2，))解方程组得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(4,5)，
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
12.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．
(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；
(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．
解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，
则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设B(x3，y3)，N(x4，y4)．
由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.
又直线AB的斜率kAB＝eq \f(y3－y1,x3－x1)＝eq \f(2p,y1＋y3)，
直线MN的斜率kMN＝eq \f(y4－y2,x4－x2)＝eq \f(2p,y2＋y4)，
∴eq \f(kAB,kMN)＝eq \f(y2＋y4,y1＋y3)＝eq \f(\f(－2p2,y1)＋\f(－2p2,y3),y1＋y3)＝eq \f(\f(－2p2,y1y3)y1＋y3,y1＋y3)＝2.
故直线AB与直线MN斜率之比为定值．