2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十五） 椭圆 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十五） 椭圆 word版含答案，共6页。试卷主要包含了已知F1，F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( )
A．2 B．3 C．4 D．9
解析：选B 由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，所以25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m＞0，故m＝3.
2．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为eq \f(1,2).则动点P的轨迹C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1
解析：选B 设点P(x，y)，由题意知eq \f(\r(x＋12＋y2),|x＋4|)＝eq \f(1,2)，化简得3x2＋4y2＝12，所以动点P的轨迹C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故选B.
3．已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，过点F2的直线交椭圆C于M，N两点，且△MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为( )
A．4 B．2 C．2eq \r(3) D．2eq \r(2)
解析：选C 由题意得|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝(|MF1|＋|MF2|)＋(|NF1|＋|NF2|)＝2a＋2a＝8，解得a＝2，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，故c＝eq \r(3)，即椭圆C的焦距为2eq \r(3)，故选C.
4．如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：选B 由题可知b2＝2，则c＝eq \r(a2－2)，故|F1F2|＝2eq \r(a2－2)，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cs 120°＝eq \f(42＋2a－42－2\r(a2－2)2,2×4×2a－4)＝－eq \f(1,2)，化简得8a＝24，即a＝3，故选B.
5．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆的方程为________．
解析：由题意可知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2\r(3)，))
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
一、选择题
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,3)，则椭圆C的方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
解析：选D 依题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
2．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(1,4) D.eq \r(5)－2
解析：选A 由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
3．已知圆C1：x2＋2cx＋y2＝0，圆C2：x2－2cx＋y2＝0，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，若圆C1，C2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
解析：选B 圆C1，C2都在椭圆内等价于圆C2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，∴只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2c≤a，,\f(c2,a2)＋\f(c2,b2)≤1，))又b2＝a2－c2，∴0＜eq \f(c,a)≤eq \f(1,2).即椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
4．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为eq \r(2)－1.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq \r(2)＝0相切，则椭圆C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1
解析：选C 由题意知a－c＝eq \r(2)－1，又b＝eq \f(\r(2),\r(1＋1))＝1，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝1，,a2－c2＝b2，,a－c＝\r(2)－1))得a2＝2，b2＝1，故c2＝1，椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1，故选C.
5．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝eq \f(|3×0－4×b|,\r(32＋－42))≥eq \f(4,5)，所以1≤b＜2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \r(1－\f(b2,4)).因为1≤b＜2，所以0＜e≤eq \f(\r(3),2).
6．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点， ·的最大值、最小值分别为( )
A．9,7 B．8,7
C．9,8 D．17,8
解析：选B 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1,0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－eq \f(8,9)x2＝eq \f(1,9)x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.
二、填空题
7．若椭圆的方程为eq \f(x2,10－a)＋eq \f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
解析：由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.故实数a＝4或8.
答案：4或8
8．点P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为______．
解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝10，|F1F2|＝6，S△PF1F2＝eq \f(1,2)(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)×1＝eq \f(1,2)|F1F2|·yP＝3yP＝8，所以yP＝eq \f(8,3).
答案：eq \f(8,3)
9．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率等于eq \f(1,3)，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，eq \f(sin A＋sin B,sin C)的值等于________．
解析：在△ABC中，由正弦定理得eq \f(sin A＋sin B,sin C)＝eq \f(|CB|＋|CA|,|AB|)，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以eq \f(sin A＋sin B,sin C)＝eq \f(2a,2c)＝eq \f(1,e)＝3.
答案：3
10.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2＋eq \f(c,a)－1＞0，即e2＋e－1＞0，e＞eq \f(\r(5)－1,2)或e＜eq \f(－\r(5)－1,2)，又0＜e＜1，所以eq \f(\r(5)－1,2)＜e＜1.
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))
三、解答题
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))，且BF2＝eq \r(2)，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解：设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以BF2＝eq \r(b2＋c2)＝a.
又BF2＝eq \r(2)，故a＝eq \r(2)，即a2＝2.
因为点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))在椭圆上，所以eq \f(\f(16,9),2)＋eq \f(\f(1,9),b2)＝1，解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(2a2c,a2＋c2)，,y1＝\f(bc2－a2,a2＋c2)，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝0，,y2＝b.))
所以点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2c,a2＋c2)，\f(bc2－a2,a2＋c2))).
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2c,a2＋c2)，\f(ba2－c2,a2＋c2))).
因为直线F1C的斜率为eq \f(\f(ba2－c2,a2＋c2)－0,\f(2a2c,a2＋c2)－－c)＝eq \f(ba2－c2,3a2c＋c3)，直线AB的斜率为－eq \f(b,c)，且F1C⊥AB，所以eq \f(ba2－c2,3a2c＋c3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,c)))＝－1.结合b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝eq \f(1,5).因此e＝eq \f(\r(5),5)(负值舍去)．
12.已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为eq \f(1,2)c.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝eq \f(5,2)的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
解：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝eq \f(bc,\r(b2＋c2))＝eq \f(bc,a)，
由d＝eq \f(1,2)c，得a＝2b＝2eq \r(a2－c2)，解得离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
(2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝eq \r(10).
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(8k2k＋1,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(42k＋12－4b2,1＋4k2).
由x1＋x2＝－4，得－eq \f(8k2k＋1,1＋4k2)＝－4，解得k＝eq \f(1,2).
从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)|x1－x2|
＝eq \f(\r(5),2) eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(10b2－2.)
由|AB|＝eq \r(10)，得eq \r(10b2－2)＝eq \r(10)，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为x2＋4y2＝12，即eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.