2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 课时达标检测（五十四） 排列、组合 word版含答案

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1．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48
C．60 D．72
解析：选D 奇数的个数为Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(4,4)＝72.
2．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有( )
A．12种 B．10种
C．8种 D．6种
解析：选D 因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有Aeq \\al(3,3)种分配方法，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有Aeq \\al(3,3)＝6种．
3．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )
A．36个 B．24个
C．18个 D．6个
解析：选B 各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条作的三位数有Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝6＋18＝24(个)．
4.如图所示的几何体由一个正三棱锥P­ABC与正三棱柱ABC­A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
解析：先涂三棱锥P­ABC的三个侧面，然后涂三棱柱ABC­A1B1C1的三个侧面，共有3×2×1×2＝12种不同的涂色方案．
答案：12
一、选择题
1．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )
A．56 B．54
C．53 D．52
解析：选D 在8个数中任取2个不同的数可以组成Aeq \\al(2,8)＝56个对数值；但在这56个对数值中，lg24＝lg39，lg42＝lg93，lg23＝lg49，lg32＝lg94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．
2．如图所示，在A、B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )
A．9种 B．11种
C．13种 D．15种
解析：选C 按照焊接点脱落的个数进行分类．
若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；
若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种情况；
若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种情况；
若脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种情况．
综上共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．
3．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )
A．12 B．6
C．8 D．16
解析：选A 若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时共有Ceq \\al(1,2)×3＝6种安排方案；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时共有Ceq \\al(1,3)×2＝6种安排方案．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12(种)．
4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )
A．24 B．48
C．72 D．96
解析：选B 据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,4)种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,4)＋Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)＝48种摆放方法．
5．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为( )
A．13 B．24
C．18 D．72
解析：选D 可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有Ceq \\al(3,4)种不同的选法；第二步， 在调查时，“住房”安排的顺序有Aeq \\al(1,3)种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有Aeq \\al(3,3)种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝72.
6．将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )
A．12种 B．20种
C．40种 D．60种
解析：选C 五个元素没有限制全排列数为Aeq \\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列Aeq \\al(3,3)，可得这样的排列数有eq \f(A\\al(5,5),A\\al(3,3))×2＝40种．
二、填空题
7．某班组织文艺晚会，准备从A，B等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为________．
解析：当A，B节目中只选其中一个时，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,6)Aeq \\al(4,4)＝960 种演出顺序；当A，B节目都被选中时，由插空法得共有Ceq \\al(2,6)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝180 种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．
答案：1 140
8．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：选甲题答对得100分，答错得－100分，选乙题答对得90分，答错得－90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是________．
解析：由于4位同学的总分为0分，故4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况：①甲：4人，乙：0人；②甲：2人，乙：2人；③甲：0人，乙：4人．对于①，需2人答对，2人答错，共有Ceq \\al(2,4)＝6种情况；对于②，选甲题的需1人答对，1人答错，选乙题的也如此，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,2)＝24种情况；对于③，与①相同，有6种情况，故共有6＋24＋6＝36种不同的得分情况．
答案：36
9．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．
解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有Ceq \\al(3,4)＝4种情况，再对应到4个人，有Aeq \\al(4,4)＝24种情况，则共有4×24＝96种不同分法．
答案：96
10．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为________．
解析：所标数字互不相邻的取法有135,136,146,246，共4种.3个球颜色互不相同有Aeq \\al(3,4)＝4×3×2＝24种取法，所以这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法有4×24＝96(种)．
答案：96
三、解答题
11．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
解：(1)先选后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(1,3)种情况，后排有Aeq \\al(5,5)种情况，则符合条件的选法数为(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(1,3))·Aeq \\al(5,5)＝5 400.
(2)除去该女生后，先选后排，则符合条件的选法数为Ceq \\al(4,7)·Aeq \\al(4,4)＝840.
(3)先选后排，但先安排该男生，则符合条件的选法数为Ceq \\al(4,7)·Ceq \\al(1,4)·Aeq \\al(4,4)＝3 360.
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有Ceq \\al(3,6)种情况，再安排该男生有Ceq \\al(1,3)种情况，选出的3人全排有Aeq \\al(3,3)种情况，则符合条件的选法数为Ceq \\al(3,6)·Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝360.
12．用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)比21 034大的偶数；
(2)左起第二、四位是奇数的偶数．
解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝12个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有Aeq \\al(3,3)＝6个五位数；
故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数．
(2)可分为两类：
末位数是0，个数有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝4；
末位数是2或4，个数有Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)＝4；
故共有Aeq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＋Aeq \\al(2,2)·Ceq \\al(1,2)＝8个满足条件的五位数．