2021高考数学（理）大一轮复习习题：第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测（二十三） 三角恒等变换 word版含答案

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1．计算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选B eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin 70°sin 20°,cs 310°)
＝eq \f(cs 20°sin 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2).
2．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，－eq \f(π,2)＜α＜0，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(1,2) D．1
解析：选C 由已知得cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝－eq \f(1,2).
3．(2017·江西新余三校联考)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝－eq \f(7,8)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(7,8)
C．±eq \f(1,4) D．±eq \f(7,8)
解析：选C 因为cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))＝eq \f(7,8)，所以有sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,8)))＝eq \f(1,16)，从而求得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的值为±eq \f(1,4)，故选C.
4．已知sineq \f(π,6)－α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))的值是( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(7,9)
解析：选D ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝cs2eq \f(π,6)－α
＝1－2sin2eq \f(π,6)－α＝eq \f(7,9)，
∴cs2eq \f(π,3)＋α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))
＝csπ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝－cseq \f(π,3)－2α＝－eq \f(7,9).
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值是________．
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
∴sineq \f(π,3)cs α＋cs eq \f(π,3)sin α＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
∴eq \f(3,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝eq \f(4,5)，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝sin αcseq \f(7π,6)＋cs αsineq \f(7π,6)
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝－eq \f(4,5).
答案：－eq \f(4,5)
一、选择题
1．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
解析：选D 依题意得cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝cs αcseq \f(π,4)＋sin αsineq \f(π,4)2＝eq \f(1,2)(cs α＋sin α)2＝eq \f(1,2)(1＋sin 2α)＝eq \f(2,3).
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
解析：选C ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，
∴cs x＋csx－eq \f(π,3)＝cs x＋cs xcseq \f(π,3)＋sin xsineq \f(π,3)＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))＝－1.
3．若tan α＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))
＝eq \f(sin αcs\f(π,5)＋cs αsin\f(π,5),sin αcs\f(π,5)－cs αsin\f(π,5))＝eq \f(\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))
＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故选C.
4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，cs 2α＝eq \f(7,25)，则sin α＝( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)
解析：选C 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)得sin α－cs α＝eq \f(7,5)， ①
由cs 2α＝eq \f(7,25)得cs2α－sin2α＝eq \f(7,25)，
所以(cs α－sin α)·(cs α＋sin α)＝eq \f(7,25)， ②
由①②可得cs α＋sin α＝－eq \f(1,5)， ③
由①③可得sin α＝eq \f(3,5).
5．在斜三角形ABC中，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C，且tan B·tan C＝1－eq \r(2)，则角A的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,4)
解析：选A 由题意知，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C＝sin(B＋C)＝sin B·cs C＋cs B·sin C，
在等式－eq \r(2)cs B·cs C＝sin B·cs C＋cs B·sin C两边同除以cs B·cs C得tan B＋tan C＝－eq \r(2)，
又tan B·tan C＝1－eq \r(2)，
所以tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,1－tan Btan C)＝－1.
由已知，有tan A＝－tan(B＋C)，
则tan A＝1，所以A＝eq \f(π,4).
6．已知锐角α，β满足sin α－cs α＝eq \f(1,6)，tan α＋tan β＋eq \r(3)·tan αtan β＝eq \r(3)，则α，β的大小关系是( )
A．α