2021高考数学（理）大一轮复习习题：选修4－4 坐标系与参数方程课时达标检测（六十四）参数方程 word版含答案

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这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：选修4－4 坐标系与参数方程课时达标检测（六十四）参数方程 word版含答案，共4页。试卷主要包含了在平面直角坐标系xOy中，C1，已知动点P，Q都在曲线C等内容，欢迎下载使用。

1．(2017·郑州模拟)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))曲线C2的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)csθ－eq \f(π,4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
解：(1)ρ＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2(cs θ＋sin θ)，
即ρ2＝2(ρcs θ＋ρsin θ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)C1的普通方程为x＋eq \r(3)y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以eq \r(2)为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝eq \f(|1＋\r(3)＋2|,\r(12＋\r(3)2))＝eq \f(3＋\r(3),2)，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为eq \f(3＋\r(3)＋2\r(2),2).
2．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ))(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
解：(1)O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
(2)圆C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ))(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为eq \r(2)，所以当圆C1与圆C2外切时，有eq \r(2)＋|a|＝eq \r(－1－12＋－1－12)，解得a＝±eq \r(2).
3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ.))
(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝eq \f(8,3)，求点M轨迹的直角坐标方程．
解：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，曲线C的普通方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋\f(\r(2),2)t，y＝y0＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，由直线l1与曲线C相交可得：eq \f(3t2,2)＋eq \r(2)tx0＋2eq \r(2)ty0＋xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)－2＝0，由|MA|·|MB|＝eq \f(8,3)，得t1t2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0)＋2y\\al(2,0)－2,\f(3,2))))＝eq \f(8,3)，即xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝6，x2＋2y2＝6表示一椭圆，设直线l1为y＝x＋m，将y＝x＋m代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得，3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ>0得－eq \r(3)故点M的轨迹是椭圆x2＋2y2＝6夹在平行直线y＝x±eq \r(3)之间的两段椭圆弧．
4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy中，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1))(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33＝0.
(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1))可得其普通方程为y＝k(x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线．
由ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．
(2)因为圆心(－5,3)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq \f(|－6k－3|,\r(1＋k2))＝eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))，故|PQ|的最小值为eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1，故eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－eq \f(4,3).
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l过点P且与曲线C相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若|AB|＝8，求直线l的直角坐标方程．
解：(1)由ρ＝5 知ρ2＝25，所以x2＋y2＝25，
即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝25.
(2)设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3＋tcs α，,y＝－\f(3,2)＋tsin α))(t为参数)，①
将参数方程①代入圆的方程x2＋y2＝25，
得4t2－12(2cs α＋sin α)t－55＝0，
∴Δ＝16>0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，
∴|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(92cs α＋sin α2＋55)＝8，
化简有3cs2α＋4sin αcs α＝0，
解得cs α＝0或tan α＝－eq \f(3,4)，
从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
6．已知动点P，Q都在曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝2sin t))(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cs α，2sin α)，Q(2cs 2α，2sin 2α), 因此M(cs α＋cs 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋cs 2α，,y＝sin α＋sin 2α))(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2＋2cs α)(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3))(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)，得ρ2sin2θ＝2ρcs θ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x(x≠0)．由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3，))得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝eq \r(2)|t1－t2|＝eq \r(2)×eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(2)×eq \r(82－4×7)＝6eq \r(2)，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝eq \f(|－4|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，所以△AOB的面积是eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×6eq \r(2)×2eq \r(2)＝12.
8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cs θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)的值．
解：(1)由ρsin2θ＝8cs θ得，ρ2sin2θ＝8ρcs θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.
(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcs α)，整理得sin2α·t2－8cs α·t－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cs α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，∴t1＋t2＝eq \f(8cs α,sin2α)，t1t2＝－eq \f(16,sin2α)＜0，故eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,|t1|)＋eq \f(1,|t2|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,t1)－\f(1,t2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1－t2,t1t2)))＝eq \f(\r(t1＋t22－4t1t2),|t1t2|)＝ eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8cs α,sin2α)))2＋\f(64,sin2α)),\f(16,sin2α))＝eq \f(1,2).