2021高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（十） word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（十） word版含答案，共4页。试卷主要包含了观察分析下表中的数据，观察下列等式等内容，欢迎下载使用。
1．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2．
答案：F＋V－E＝2
2．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
3．(2015·陕西高考)观察下列等式：
1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，
1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)，
1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,6)，
…
据此规律，第n个等式可为_________________________________________．
解析：等式的左边的通项为eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)，前n项和为1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)；右边的每个式子的第一项为eq \f(1,n＋1)，共有n项，故为eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n＋n)．
答案：1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)－eq \f(1,2n)＝eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,2n)
1．(2014·江西高考)已知数列{an} 的前 n项和 Sn＝eq \f(3n2－n,2)，n∈N*．
(1)求数列{an} 的通项公式；
(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N* ，使得 a1，an，am成等比数列．
解：(1)由Sn＝eq \f(3n2－n,2)，得a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合．
所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2．
(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，
只需要aeq \\al(2,n)＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，
即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n．
所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
2．(2015·北京高考节选)已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an，an≤18，,2an－36，an＞18))(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N*}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3 的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．
解：(1)6,12,24．
(2)证明：因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．
由an＋1＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2an，an≤18，,2an－36，an>18))可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．
如果k>1，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数．
从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．
(2015·陕西高考)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
(1)证明：函数Fn(x)＝fn(x)－2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)xeq \\al(n＋1,n)；
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明．
解：(1)证明：Fn(x)＝fn(x)－2＝1＋x＋x2＋…＋xn－2，
则Fn(1)＝n－1＞0，
Fneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1＋eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－2
＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＋1,1－\f(1,2))－2＝－eq \f(1,2n)＜0，
所以Fn(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内至少存在一个零点．
又Fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，
故Fn(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内单调递增，所以Fn(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内有且仅有一个零点xn．
因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)＝0，
即eq \f(1－x\\al(n＋1,n),1－xn)－2＝0，故xn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)xeq \\al(n＋1,n)．
(2)由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，
gn(x)＝eq \f(n＋1xn＋1,2)，x＞0．
当x＝1时，fn(x)＝gn(x)．
当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)．
①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－eq \f(1,2)(1－x)2＜0，
所以f2(x)＜g2(x)成立．
②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)．
那么，当n＝k＋1时，
fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝eq \f(k＋11＋xk,2)＋xk＋1＝eq \f(2xk＋1＋k＋1xk＋k＋1,2)．
又gk＋1(x)－eq \f(2xk＋1＋k＋1xk＋k＋1,2)
＝eq \f(kxk＋1－k＋1xk＋1,2)，
令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，
则hk′(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1
＝k(k＋1)xk－1·(x－1)．
所以当0＜x＜1时，hk′(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；
当x＞1时，hk′(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．
所以hk(x)＞hk(1)＝0，
从而gk＋1(x)＞eq \f(2xk＋1＋k＋1xk＋k＋1,2)．
故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．
由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．
命题点一 合情推理与演绎推理
命题指数：☆☆☆
难度：中、低
题型：选择题、填空题
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
命题点二 直接证明与间接证明
命题指数：☆☆☆☆
难度：高、中
题型：解答题
命题点三 数学归纳法
命题指数：☆☆
难度：高
题型：解答题