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2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十八） 双曲线 word版含答案
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这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （四十八） 双曲线 word版含答案，试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( )
A．4 B．eq \f(1,4)
C．－eq \f(1,4) D．－4
解析：选C 依题意得m＜0，双曲线方程是x2－eq \f(y2,－\f(1,m))＝1，于是有 eq \r(－\f(1,m))＝2×1，m＝－eq \f(1,4)．
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
解析：选B 由条件e＝eq \r(3)，即eq \f(c,a)＝eq \r(3)，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝3，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x．故选B．
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，|eq \(PF1,\s\up7(―→))|＝3，|eq \(PF2,\s\up7(―→))|＝4，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \f(\r(10),2) B．eq \r(5)
C．eq \f(5,2) D．5
解析：选D 依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝eq \r(|PF2|2＋|PF1|2)＝5，因此该双曲线的离心率e＝eq \f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝5．
4．(2017·西安质检)过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－eq \f(y2,3)＝0，将x＝2代入x2－eq \f(y2,3)＝0，得y2＝12，y＝±2eq \r(3)，∴|AB|＝4eq \r(3)．
答案：4eq \r(3)
5．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝3，))
∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1．
答案：x2－eq \f(y2,3)＝1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．“k＜9”是“方程eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵方程eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,k－9)＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
2．(2017·合肥质检)若双曲线C1：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1与C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq \r(5)，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 由题意得，eq \f(b,a)＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4eq \r(5)⇒c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5)⇒b＝4，故选B．
3．(2016·石家庄教学质量检测)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A．eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选C 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1－x2,2)))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1－x2,2)))2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)|eq \r(2)x1|·|eq \r(2)x2|＝x1x2＝2，故选C．
4．(2017·河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．4
C．eq \r(13) D．eq \r(15)
解析：选C 由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，∵|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(13)．
5．(2017·长春质检)过双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13
C．16 D．19
解析：选B 由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．
6．已知双曲线的一个焦点F(0，eq \r(5))，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________________．
解析：设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝\r(5)，,\f(a,b)＝2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝5，,a＝2b))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－x2＝1．
答案：eq \f(y2,4)－x2＝1
7．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2eq \r(5)的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|．因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2eq \r(5)， ①
又|PA|2＋|PB|2＝36， ②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2eq \r(13)．
答案：2eq \r(13)
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝eq \f(8,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a，
在△PF1F2中，由余弦定理得cs∠F1PF2＝eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2，要求e的最大值，
即求cs∠F1PF2的最小值，
∵cs∠F1PF2≥－1，∴cs∠F1PF2＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2≥－1，解得e≤eq \f(5,3)，即e的最大值为eq \f(5,3)．
答案：eq \f(5,3)
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝eq \r(2)，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ．
∵双曲线过点(4，－eq \r(10))，
∴16－10＝λ，即λ＝6．
∴双曲线方程为x2－y2＝6．
(2)证明：设eq \(MF1,\s\up7(―→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)，
eq \(MF2,\s\up7(―→))＝(2eq \r(3)－3，－m)．
∴eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0．
(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4eq \r(3)．
由(2)知m＝±eq \r(3)．
∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(3)，∴S△F1MF2＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×eq \r(3)＝6．
10．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，点(eq \r(3)，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．
解：(1)∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，点(eq \r(3)，0)是双曲线的一个顶点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq \r(6)，∴双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1．
(2)双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－3)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(6,5)，x1x2＝－eq \f(27,5)．
所以|AB|＝eq \r(1＋\f(1,3))× eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,5))))＝eq \f(16\r(3),5)．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2017·三明质检)已知P是双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的值是( )
A．－eq \f(3,8) B．eq \f(3,16)
C．－eq \f(\r(3),8) D．不能确定
解析：选A 令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是eq \f(x,\r(3))－y＝0，eq \f(x,\r(3))＋y＝0，所以可取|PA|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,\r(3))－y0)),\r(\f(1,3)＋1))，|PB|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,\r(3))＋y0)),\r(\f(1,3)＋1))，又cs∠APB＝－cs∠AOB＝－cs 2∠AOx＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)，所以eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝|eq \(PA,\s\up7(―→))|·|eq \(PB,\s\up7(―→))|·cs∠APB＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),3)－y\\al(2,0))),\f(4,3))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,8)．
2．已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＞2，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1．
(2)将y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0．
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2＞0，))
∴k2＜1且k2≠eq \f(1,3)．①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq \f(－9,1－3k2)．
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq \r(2))(kx2＋eq \r(2))
＝(k2＋1)x1x2＋eq \r(2)k(x1＋x2)＋2
＝eq \f(3k2＋7,3k2－1)．
又∵eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＞2，
即x1x2＋y1y2＞2，
∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)＞2，
即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)＞0，
解得eq \f(1,3)＜k2＜3．②
由①②得eq \f(1,3)＜k2＜1，
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))．
1．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是( )
A．4 B．eq \f(1,4)
C．－eq \f(1,4) D．－4
解析：选C 依题意得m＜0，双曲线方程是x2－eq \f(y2,－\f(1,m))＝1，于是有 eq \r(－\f(1,m))＝2×1，m＝－eq \f(1,4)．
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
解析：选B 由条件e＝eq \r(3)，即eq \f(c,a)＝eq \r(3)，得eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝3，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x．故选B．
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，|eq \(PF1,\s\up7(―→))|＝3，|eq \(PF2,\s\up7(―→))|＝4，则双曲线C的离心率为( )
A．eq \f(\r(10),2) B．eq \r(5)
C．eq \f(5,2) D．5
解析：选D 依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝eq \r(|PF2|2＋|PF1|2)＝5，因此该双曲线的离心率e＝eq \f(|F1F2|,|PF2|－|PF1|)＝5．
4．(2017·西安质检)过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－eq \f(y2,3)＝0，将x＝2代入x2－eq \f(y2,3)＝0，得y2＝12，y＝±2eq \r(3)，∴|AB|＝4eq \r(3)．
答案：4eq \r(3)
5．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝a2＋b2，,\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,b2＝3，))
∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1．
答案：x2－eq \f(y2,3)＝1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．“k＜9”是“方程eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵方程eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,k－9)＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,k－9)＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
2．(2017·合肥质检)若双曲线C1：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1与C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq \r(5)，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B 由题意得，eq \f(b,a)＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4eq \r(5)⇒c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(5)⇒b＝4，故选B．
3．(2016·石家庄教学质量检测)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为( )
A．eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选C 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1－x2,2)))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1－x2,2)))2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)|eq \r(2)x1|·|eq \r(2)x2|＝x1x2＝2，故选C．
4．(2017·河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．4
C．eq \r(13) D．eq \r(15)
解析：选C 由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，∵|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(13)．
5．(2017·长春质检)过双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13
C．16 D．19
解析：选B 由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．
6．已知双曲线的一个焦点F(0，eq \r(5))，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为________________．
解析：设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝\r(5)，,\f(a,b)＝2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝5，,a＝2b))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－x2＝1．
答案：eq \f(y2,4)－x2＝1
7．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2eq \r(5)的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|．因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2eq \r(5)， ①
又|PA|2＋|PB|2＝36， ②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2eq \r(13)．
答案：2eq \r(13)
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝eq \f(8,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a，
在△PF1F2中，由余弦定理得cs∠F1PF2＝eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2，要求e的最大值，
即求cs∠F1PF2的最小值，
∵cs∠F1PF2≥－1，∴cs∠F1PF2＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2≥－1，解得e≤eq \f(5,3)，即e的最大值为eq \f(5,3)．
答案：eq \f(5,3)
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，－eq \r(10))，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝eq \r(2)，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ．
∵双曲线过点(4，－eq \r(10))，
∴16－10＝λ，即λ＝6．
∴双曲线方程为x2－y2＝6．
(2)证明：设eq \(MF1,\s\up7(―→))＝(－2eq \r(3)－3，－m)，
eq \(MF2,\s\up7(―→))＝(2eq \r(3)－3，－m)．
∴eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝(3＋2eq \r(3))×(3－2eq \r(3))＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))＝0．
(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4eq \r(3)．
由(2)知m＝±eq \r(3)．
∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq \r(3)，∴S△F1MF2＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×eq \r(3)＝6．
10．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，点(eq \r(3)，0)是双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．
解：(1)∵双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，点(eq \r(3)，0)是双曲线的一个顶点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq \r(6)，∴双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1．
(2)双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3,0)，
∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－3)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－eq \f(6,5)，x1x2＝－eq \f(27,5)．
所以|AB|＝eq \r(1＋\f(1,3))× eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,5))))＝eq \f(16\r(3),5)．
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1．(2017·三明质检)已知P是双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的值是( )
A．－eq \f(3,8) B．eq \f(3,16)
C．－eq \f(\r(3),8) D．不能确定
解析：选A 令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是eq \f(x,\r(3))－y＝0，eq \f(x,\r(3))＋y＝0，所以可取|PA|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,\r(3))－y0)),\r(\f(1,3)＋1))，|PB|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x0,\r(3))＋y0)),\r(\f(1,3)＋1))，又cs∠APB＝－cs∠AOB＝－cs 2∠AOx＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)，所以eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))＝|eq \(PA,\s\up7(―→))|·|eq \(PB,\s\up7(―→))|·cs∠APB＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0),3)－y\\al(2,0))),\f(4,3))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,8)．
2．已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＞2，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1．
(2)将y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0．
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2＞0，))
∴k2＜1且k2≠eq \f(1,3)．①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq \f(－9,1－3k2)．
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq \r(2))(kx2＋eq \r(2))
＝(k2＋1)x1x2＋eq \r(2)k(x1＋x2)＋2
＝eq \f(3k2＋7,3k2－1)．
又∵eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＞2，
即x1x2＋y1y2＞2，
∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)＞2，
即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)＞0，
解得eq \f(1,3)＜k2＜3．②
由①②得eq \f(1,3)＜k2＜1，
故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1))．
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