2021高考数学（文）大一轮复习习题 第三章 三角函数、解三角形 课时跟踪检测 （二十二）　正弦定理和余弦定理 word版含答案

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1．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs B,b)，则B的值为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选B 由正弦定理知：eq \f(sin A,sin A)＝eq \f(cs B,sin B)，∴sin B＝cs B，∴B＝45°．
2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3，cs B＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A．14 B．6
C．eq \r(14) D．eq \r(6)
解析：选D bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，
∴b2＝a2＋c2－2accs B＝9＋1－2×3×1×eq \f(2,3)＝6，b＝eq \r(6)，故选D．
3．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq \r(13)，AC＝4，则边AC上的高为( )
A．eq \f(3\r(2),2) B．eq \f(3\r(3),2)
C．eq \f(3,2) D．3eq \r(3)
解析：选B 由题意得cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq \f(1,2)，
∴sin A＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(3),2)，
∴边AC上的高h＝ABsin A＝eq \f(3\r(3),2)．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b＝2asin B，则角A的大小为________．
解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，因为sin B≠0，所以sin A＝eq \f(1,2)，所以A＝30°或150°．
答案：30°或150°
5．(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝eq \r(6)，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．
解析：∠C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，
即eq \f(\r(6),sin 60°)＝eq \f(AC,sin 45°)，
解得AC＝2．
答案：2
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1．在△ABC中，2acs A＋bcs C＋ccs B＝0，则角A为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
解析：选C 由余弦定理得2acs A＋b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝0，即2acs A＋a＝0，
∴cs A＝－eq \f(1,2)，A＝eq \f(2π,3)．故选C．
2．(2017·重庆适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝eq \r(3)，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(\r(3),4) B．eq \f(3,4)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(3,2)
解析：选B 依题意得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，即C＝60°，因此△ABC的面积等于eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3,4)，选B．
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
∴sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(40×\f(\r(3),2),20)＝eq \r(3)>1．
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－eq \r(3)c)sin A，则角B的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选A 由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－eq \r(3)c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－eq \r(3)c)a，即b2－c2＝a2－eq \r(3)ac，所以a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，又因为cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，所以cs B＝eq \f(\r(3),2)，所以B＝30°．
5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,3)，b＝2acs B，c＝1，则△ABC的面积等于( )
A．eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(\r(3),6) D．eq \f(\r(3),8)
解析：选B 由正弦定理得sin B＝2sin Acs B，
故tan B＝2sin A＝2sineq \f(π,3)＝eq \r(3)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3)．
故A＝B＝eq \f(π,3)，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)．
6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cs C＝－eq \f(1,4)，3sin A＝2sin B，则c＝________．
解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b．
又a＝2，∴b＝3．
由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcs C，
∴c2＝22＋32－2×2×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝16，
∴c＝4．
答案：4
7．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则eq \f(sin 2A,sin C)＝________．
解析：由正弦定理得eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(a,c)，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴eq \f(sin 2A,sin C)＝eq \f(2sin Acs A,sin C)＝2·eq \f(sin A,sin C)·cs A
＝2×eq \f(4,6)×eq \f(52＋62－42,2×5×6)＝1．
答案：1
8．(2017·云南统检)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－eq \f(4,3)，那么eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝________．
解析：∵tan B＝－eq \f(4,3)，
∴sin B＝eq \f(4,5)，cs B＝－eq \f(3,5)，又S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝2c＝8，∴c＝4，∴b＝eq \r(a2＋c2－2accs B)＝eq \r(65)，
∴eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(5\r(65),4)．
答案：eq \f(5\r(65),4)
9．(2017·海口调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)cs C＝c(3cs B－cs A)．
(1)求eq \f(sin B,sin A)的值；
(2)若c＝eq \r(7)a，求角C的大小．
解：(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cs C＝sin C(3cs B－cs A)，
∴sin Acs C＋cs Asin C＝3sin Ccs B＋3cs Csin B，
即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A，∴eq \f(sin B,sin A)＝3．
(2)由(1)知b＝3a，∵c＝eq \r(7)a，
∴cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋9a2－7a2,2×a×3a)＝eq \f(3a2,6a2)＝eq \f(1,2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3)．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acs2eq \f(C,2)＋2ccs2eq \f(A,2)＝eq \f(5,2)b．
(1)求证：2(a＋c)＝3b；
(2)若cs B＝eq \f(1,4)，S＝eq \r(15)，求b．
解：(1)证明：由条件得a(1＋cs C)＋c(1＋cs A)＝eq \f(5,2)b，
由于acs C＋ccs A＝b，所以a＋c＝eq \f(3,2)b，
即2(a＋c)＝3b．
(2)在△ABC中，因为cs B＝eq \f(1,4)，所以sin B＝eq \f(\r(15),4)．
由S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,8)eq \r(15)ac＝eq \r(15)，得ac＝8，
又b2＝a2＋c2－2accs B＝(a＋c)2－2ac(1＋cs B)，
2(a＋c)＝3b，
所以eq \f(5b2,4)＝16×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))，所以b＝4．
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1．(2017·衡水中学模拟)已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A－cs2A＝eq \f(1,2)，则下列各式正确的是( )
A．b＋c＝2a B．b＋c