2021高考数学（文）大一轮复习习题 第五章 数列 课时跟踪检测 （三十）　等比数列及其前n项和 word版含答案

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1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D 由等比数列的性质得，a3·a9＝aeq \\al(2,6)≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D．
2．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为( )
A．125 B．126 C．127 D．128
解析：选C 设{an}的公比为q，则2a2＝a4－a3，又a1＝1，∴2q＝q3－q2，解得q＝2或q＝－1，∵an>0，∴q>0，∴q＝2，∴S7＝eq \f(1－27,1－2)＝127．
3．(2016·石家庄质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
解析：选A 依题意，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，则an＋1＝2an，令n＝1，则S1＝2a1－4，即a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A．
4．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________．
解析：由题意得，a2·a4＝a1·a5＝16，
∴a2＝2，∴q2＝eq \f(a4,a2)＝4，∴a6＝a4q2＝32．
答案：32
5．在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．
解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q4－a1＝15，,a1q3－a1q＝6))(q≠1)
两式相除得eq \f(q2＋1q2－1,q·q2－1)＝eq \f(15,6)，即2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝eq \f(1,2)，
当q＝2时，a1＝1；
当q＝eq \f(1,2)时，a1＝－16(舍去)．
∴a3＝1×22＝4．
答案：4
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1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为( )
A．10 B．20
C．100 D．200
解析：选C a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝aeq \\al(2,4)＋2a4a6＋aeq \\al(2,6)＝(a4＋a6)2＝102＝100．
2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A．eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8)
C．eq \f(57,8) D．eq \f(55,8)
解析：选A 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝eq \f(1,8)．所以a7＋a8＋a9＝eq \f(1,8)．
3．已知数列{an}满足lg3an＋1＝lg3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－eq \f(1,5)
C．5 D．eq \f(1,5)
解析：选A ∵lg3an＋1＝lg3an＋1，∴an＋1＝3an．
∴数列{an}是以公比q＝3的等比数列．
∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，
∴lgeq \f(1,3)(a5＋a7＋a9)＝lgeq \f(1,3)(9×33)＝lgeq \f(1,3)35＝－5．
4．(2016·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选B 设该女子第一天织布x尺，则eq \f(x1－25,1－2)＝5，得x＝eq \f(5,31)，∴前n天所织布的尺数为eq \f(5,31)(2n－1)．由eq \f(5,31)(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8．
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，则数列{an}的公比为( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析：选B 设公比为q，若q＝1，则eq \f(S2m,Sm)＝2，与题中条件矛盾，故q≠1．∵eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，∴qm＝8．
∴eq \f(a2m,am)＝eq \f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq \f(5m＋1,m－1)，
∴m＝3，∴q3＝8，
∴q＝2．
6．(2015·湖南高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________．
解析：因为3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3．化简，得eq \f(a3,a2)＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1．
答案：3n－1
7．(2017·海口调研)设数列{an}的前n项和为Sn．且a1＝1，an＋an＋1＝eq \f(1,2n)(n＝1,2,3，…)，则S2n＋3＝________．
解析：依题意得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,16)＋…＋eq \f(1,4n＋1)＝eq \f(1－\f(1,4n＋2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n＋2)))．
答案：eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4n＋2)))
8．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为________．
解析：由题可知a1a2a3·…·a2 016＝a2 016，
故a1a2a3·…·a2 015＝1，
由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，
所以a1 008＝1，公比0＜q＜1，
所以a1 007＞1且0＜a1 009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时n的值为1 007或1 008．
答案：1 007或1 008
9．(2017·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a1＋3d2＝a1＋da1＋7d，))
解得d＝1或d＝0(舍去)，
∴an＝1＋(n－1)＝n．
(2)由(1)得an＝n，
∴bn＝2n，
∴eq \f(bn＋1,bn)＝2，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴Tn＝eq \f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2．
10．(2016·云南统测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝26，S6＝728．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：Seq \\al(2,n＋1)－SnSn＋2＝4×3n．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由728≠2×26得，S6≠2S3，∴q≠1．
由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S3＝\f(a11－q3,1－q)＝26，,S6＝\f(a11－q6,1－q)＝728，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,q＝3.))
∴an＝2×3n－1．
(2)证明：由(1)可得Sn＝eq \f(2×1－3n,1－3)＝3n－1．
∴Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1．
∴Seq \\al(2,n＋1)－SnSn＋2＝(3n＋1－1)2－(3n－1)(3n＋2－1)＝4×3n．
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1．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
解析：选D ∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则eq \f(An＋1,An)＝eq \f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq \f(an＋2,an)为常数，即eq \f(A2,A1)＝eq \f(a3,a1)，eq \f(A3,A2)＝eq \f(a4,a2)，…．∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则eq \f(An＋1,An)＝eq \f(an＋2,an)＝q，从而{An}为等比数列．
2．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴eq \f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，
∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
则an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n．