2021高考数学（文）大一轮复习习题 第七章 立体几何 课时跟踪检测 （三十九）　空间几何体的表面积与体积 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第七章 立体几何 课时跟踪检测 （三十九）　空间几何体的表面积与体积 word版含答案，共6页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。

1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．eq \f(16,3)π B．eq \f(32,3)π
C．16π D．24π
解析：选B 设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2．所以体积为eq \f(4,3)πR3＝eq \f(32π,3)．
2．(2016·长春市质量检测(二))几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．eq \f(32,3) B．16－eq \f(2π,3)
C．eq \f(40,3) D．16－eq \f(8π,3)
解析：选C 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，所以其体积为2×2×4－eq \f(1,3)×2×2×2＝eq \f(40,3)．故选C．
3．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是eq \f(28π,3)，则它的表面积是( )
A．17π B．18π
C．20π D．28π
解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的eq \f(1,4)，得到的几何体如图．设球的半径为R，则eq \f(4,3)πR3－eq \f(1,8)×eq \f(4,3)πR3＝eq \f(28,3)π，解得R＝2．因此它的表面积为eq \f(7,8)×4πR2＋eq \f(3,4)πR2＝17π．故选A．
4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝eq \f(1＋2×1,2)×1＝eq \f(3,2)．
答案：eq \f(3,2)
5．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3．
解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为
V＝eq \f(1,3)π×12×1×2＋π×12×2＝eq \f(8,3)π．
答案：eq \f(8,3)π
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1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
解析：选A 设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r．
由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7．
2．一个六棱锥的体积为2eq \r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为( )
A．6 B．8
C．12 D．24
解析：选C 由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′．
由题意，得eq \f(1,3)×6×eq \f(\r(3),4)×22×h＝2eq \r(3)，
∴h＝1，
∴斜高h′＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，
∴S侧＝6×eq \f(1,2)×2×2＝12．故选C．
3．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．eq \f(1,3)＋2π B．eq \f(13π,6)
C．eq \f(7π,3) D．eq \f(5π,2)
解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)π×12×1＝eq \f(13,6)π．
4．(2017·兰州市实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为( )
A．eq \f(\r(3),2)π B．eq \f(\r(3),2)
C．3π D．3
解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为eq \f(\r(3),2)，故体积为eq \f(4,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))3＝eq \f(\r(3),2)π，故选A．
5．(2016·山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3eq \r(7)，则侧视图中线段的长度x的值是( )
A．eq \r(7) B．2eq \r(7)
C．4 D．5
解析：选C 分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P­ABCD，故其体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(\f(3,2)＋3,2)×4×CP＝3eq \r(7)，∴CP＝eq \r(7)，∴x＝eq \r(32＋\r(7)2)＝4，故选C．
6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1∶V2＝________．
解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V1＝8π－eq \f(8π,3)＝eq \f(16π,3)，V2＝eq \f(4π,3)×23＝eq \f(32π,3)，V1∶V2＝1∶2．
答案：1∶2
7．(2016·合肥市第二次质量检测)已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为________．
解析：由题意可得，球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径R＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，该球的表面积为4πR2＝8π．
答案：8π
8．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2eq \r(3)，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD．
又OC＝eq \r(CD2－OD2)＝1，
∴V三棱锥A­BCD＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2\r(3)×1))×1＝eq \f(\r(3),3)．
答案：eq \f(\r(3),3)
9．(2017·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2eq \r(2)，则该球的表面积为________．
解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2eq \r(2)，所以AC＝4．在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝eq \f(5,2)，所以球的表面积S＝4πR2＝25π．
答案：25π
10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq \r(2)＝(60＋4eq \r(2))π，V＝V圆台－V圆锥＝eq \f(1,3)(π·22＋π·52＋eq \r(22·52π2))×4－eq \f(1,3)π×22×2＝eq \f(148,3)π．
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1．(2017·广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,8)
解析：选C 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为eq \f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4．易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为eq \f(1,2)，故选C．
2．(2017·唐山统考)三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为eq \r(3)的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A．eq \f(4π,3) B．4π
C．8π D．20π
解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)×eq \f(2,3)＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝eq \r(r2＋d2)＝eq \r(2)，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π，故选C．
3．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：
(1)该几何体的体积．
(2)截面ABC的面积．
解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2．
由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，
则该几何体的体积V＝VA1B1C1­A2B2C＋VC­ABB2A2
＝eq \f(1,2)×2×2×2＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6．
(2)在△ABC中，AB＝eq \r(22＋4－32)＝eq \r(5)，
BC＝eq \r(22＋3－22)＝eq \r(5)，
AC＝eq \r(2\r(2)2＋4－22)＝2eq \r(3)．
则S△ABC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×eq \r(\r(5)2－\r(3)2)＝eq \r(6)．