2021高考数学（文）大一轮复习习题 第七章 立体几何 课时跟踪检测 （四十一）　直线、平面平行的判定及其性质 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第七章 立体几何 课时跟踪检测 （四十一）　直线、平面平行的判定及其性质 word版含答案，共8页。

1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为( )
A．平行 B．相交
C．直线b在平面α内 D．平行或直线b在平面α内
解析：选D 依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．
2．(2017·合肥模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
解析：选A 如图，由eq \f(AE,EB)＝eq \f(CF,FB)得AC∥EF．又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF．
3．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
解析：选A 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A．
4．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________．
解析：∵α∥β，∴CD∥AB，
则eq \f(PC,PA)＝eq \f(CD,AB)，∴AB＝eq \f(PA×CD,PC)＝eq \f(5×1,2)＝eq \f(5,2)．
答案：eq \f(5,2)
5．如图所示，在四面体ABCD中，点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
解析：连接AM并延长，交CD于点E，连接BN，并延长交CD于点F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由eq \f(EM,MA)＝eq \f(EN,NB)＝eq \f(1,2)，得MN∥AB．因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD．
答案：平面ABC、平面ABD
二保高考，全练题型做到高考达标
1．在空间中，已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
2．设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
解析：选B 因为m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，所以α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．所以α∥β的一个充分而不必要条件是B．
3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析：选C 对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．
4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH(水面)．
∴③是正确的；
对于④，∵水是定量的(定体积V)，
∴S△BEF·BC＝V，即eq \f(1,2)BE·BF·BC＝V．
∴BE·BF＝eq \f(2V,BC)(定值)，即④是正确的，故选C．
5．在三棱锥S ­ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A．eq \f(45,2) B．eq \f(45\r(3),2)
C．45 D．45eq \r(3)
解析：选A 取AC的中点G，连接SG，BG．
易知SG⊥AC，BG⊥AC，
故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB．
因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD．同理SB∥FE．
又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊eq \f(1,2)AC綊DE，
所以四边形DEFH为平行四边形．
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，
所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，
其面积S＝HF·HD＝eq \f(1,2)AC·eq \f(1,2)SB＝eq \f(45,2)．
6．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ．
如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③．
答案：①或③
7．正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2．
解析：如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，
∴E为DD1的中点，
∴S△ACE＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(6),4) (cm2)．
答案：eq \f(\r(6),4)
8．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq \f(π,3)，AC＝4，M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则PQ的长度为________．
解析：由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ，则D为AM中点，PD＝eq \f(1,2)AB＝4．
又∵eq \f(A1Q,QC)＝eq \f(A1D,AD)＝3，
∴DQ∥AC，∠PDQ＝eq \f(π,3)，DQ＝eq \f(3,4)AC＝3，
在△PDQ中，
PQ＝eq \r(42＋32－2×4×3×cs \f(π,3))
＝eq \r(13)．
答案：eq \r(13)
9．(2017·长春质检)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D1为棱PD的中点，过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于点A1，B1，C1，∠BAD＝60°．
(1)求证：B1为PB的中点；
(2)已知棱锥的高为3，且AB＝2，AC，BD的交点为O，连接B1O．求三棱锥B1­ABO外接球的体积．
解：(1)证明：连接B1D1．
由题意知，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面PBD∩平面ABCD＝BD，
平面PBD∩平面A1B1C1D1＝B1D1，则BD∥B1D1，
即B1D1为△PBD的中位线，即B1为PB的中点．
(2)由(1)可得，OB1＝eq \f(3,2)，AO＝eq \r(3)，BO＝1，且OA⊥OB，OA⊥OB1，OB⊥OB1，
即三棱锥B1­ABO的外接球为以OA，OB，OB1为长，宽，高的长方体的外接球，则该长方体的体对角线长d＝eq \r(12＋\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝eq \f(5,2)，即外接球半径R＝eq \f(5,4)．
则三棱锥B1­ABO外接球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))3＝eq \f(125π,48)．
10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H．
证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
∴HD1∥MC1．
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．
(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE綊eq \f(1,2)DC，又D1G綊eq \f(1,2)DC，∴OE綊D1G，
∴四边形OEGD1是平行四边形，
∴GE∥D1O．
又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D．
(3)由(1)知BF∥HD1，
又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图所示，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝eq \f(a,3)，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．
解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥PQ．
又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ，
设PQ∩AB＝M，
∵AB∥CD，
∴△APM∽△DPQ．
∴eq \f(PQ,PM)＝eq \f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM．
又知△APM∽△ADB，
∴eq \f(PM,BD)＝eq \f(AP,AD)＝eq \f(1,3)，
∴PM＝eq \f(1,3)BD，又BD＝eq \r(2)a，
∴PQ＝eq \f(2\r(2),3)a．
答案：eq \f(2\r(2),3)a
2．如图，四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD．
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝eq \f(1,2)AB，
又AB∥CD，CD＝eq \f(1,2)AB，
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH是平行四边形，
所以CE∥DH，
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
因此CE∥平面PAD．
(2)存在点F为AB的中点，使平面PAD∥平面CEF，
证明如下：
取AB的中点F，连接CF，EF，
所以AF＝eq \f(1,2)AB，
又CD＝eq \f(1,2)AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD，
又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．