2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时跟踪检测 （二十四）　平面向量的概念及其线性运算 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时跟踪检测 （二十四）　平面向量的概念及其线性运算 word版含答案，共7页。
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝λeq \(AO,\s\up7(―→))，则λ＝( )
A．1 B．2
C．4 D．6
解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(AO,\s\up7(―→))，故λ＝2．
2．在△ABC中，eq \(AD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，eq \(BA,\s\up7(―→))＝a，eq \(BD,\s\up7(―→))＝b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝c，则下列等式成立的是( )
A．c＝2b－a B．c＝2a－b
C．c＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b D．c＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a
解析：选D 依题意得eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(BA,\s\up7(―→))＝2(eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(BD,\s\up7(―→)))，
即eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a．
3．在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选C 由已知，得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq \(BC,\s\up7(―→))，故eq \(AD,\s\up7(―→))∥eq \(BC,\s\up7(―→))．又因为eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))不平行，所以四边形ABCD是梯形．
4．(2017·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up7(―→))，P是BN上一点，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up7(―→))，则实数m的值是________．
解析：如图，因为eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up7(―→))，P是BN―→上一点．所以eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))，eq \(AP,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up7(―→))，因为B，P，N三点共线，所以m＋eq \f(2,3)＝1，则m＝eq \f(1,3)．
答案：eq \f(1,3)
5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则eq \(DC,\s\up7(―→))＝________，eq \(BC,\s\up7(―→))＝________．(用a，b表示)
解析：如图，eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝b－a，eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝－eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝－a－b．
答案：b－a －a－b
二保高考，全练题型做到高考达标
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b, 则eq \(BE,\s\up7(―→))等于( )
A．eq \f(1,2)b－a B．eq \f(1,2)a－b
C．－eq \f(1,2)a＋b D．eq \f(1,2)b＋a
解析：选C eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up7(―→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝b－eq \f(1,2)a，故选C．
2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,2)
C．1或－eq \f(1,2) D．－1或－eq \f(1,2)
解析：选B 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝keq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a＋2λ－1b))．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．
由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2λk－k＝1，))
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2)．
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq \f(1,2)．
3．下列四个结论：
①eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0；②eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝0；③eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))＝0；④eq \(NQ,\s\up7(―→))＋eq \(QP,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))－eq \(MP,\s\up7(―→))＝0，
其中一定正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→))＝0，①正确；②eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MB,\s\up7(―→))＋eq \(BO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(MO,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，②错；③eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))－eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝0，③正确；④eq \(NQ,\s\up7(―→))＋eq \(QP,\s\up7(―→))＋eq \(MN,\s\up7(―→))－eq \(MP,\s\up7(―→))＝eq \(NP,\s\up7(―→))＋eq \(PN,\s\up7(―→))＝0，④正确．故①③④正确．
4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且eq \(DC,\s\up7(―→))＝2eq \(BD,\s\up7(―→))，eq \(CE,\s\up7(―→))＝2eq \(EA,\s\up7(―→))，eq \(AF,\s\up7(―→))＝2eq \(FB,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→)) ( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A 由题意得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，
eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))，
eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BF,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up7(―→))，
因此eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，
故eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))反向平行．
5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋2eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B ∵D为AB的中点，
则eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))，
又eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋2eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，
∴eq \(OD,\s\up7(―→))＝－eq \(OC,\s\up7(―→))，∴O为CD的中点，
又∵D为AB中点，
∴S△AOC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,4)S△ABC，
则eq \f(S△ABC,S△AOC)＝4．
6．在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，eq \(AN,\s\up7(―→))＝3eq \(NC,\s\up7(―→))，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up7(―→))＝________(用a，b表示)．
解析：由eq \(AN,\s\up7(―→))＝3eq \(NC,\s\up7(―→))，得eq \(AN,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)(a＋b)，eq \(AM,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)b，所以eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \(AN,\s\up7(―→))－eq \(AM,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)(a＋b)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))＝－eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b．
答案：－eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，eq \(BC,\s\up7(―→))2＝16，|eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|，则|eq \(AM,\s\up7(―→))|＝________．
解析：由|eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))|＝|eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))|可知，eq \(AB,\s\up7(―→))⊥eq \(AC,\s\up7(―→))，
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，|eq \(AM,\s\up7(―→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up7(―→))|＝2．
答案：2
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，给出下列命题：①eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \(BE,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \(CF,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝0．
其中正确命题的个数为________．
解析：eq \(BC,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)a－b，故①错；
eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(―→))＝a＋eq \f(1,2)b，故②正确；
eq \(CF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故③正确；
eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＋eq \(CF,\s\up7(―→))＝－b－eq \f(1,2)a＋a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＝0，故④正确．
∴正确命题为②③④．
答案：3
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，试用a，b表示eq \(AD,\s\up7(―→))，eq \(AG,\s\up7(―→))．
解：eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b．
eq \(AG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BG,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b．
10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝2e1－8e2，eq \(CB,\s\up7(―→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up7(―→))＝2e1－e2．
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若eq \(BF,\s\up7(―→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(CD,\s\up7(―→))－eq \(CB,\s\up7(―→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝2e1－8e2，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝2eq \(BD,\s\up7(―→))．
又∵eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(BD,\s\up7(―→))有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知eq \(BD,\s\up7(―→))＝e1－4e2，
∵eq \(BF,\s\up7(―→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴eq \(BF,\s\up7(―→))＝λeq \(BD,\s\up7(―→)) (λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,－k＝－4λ.))
解得k＝12．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq \r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋μeq \(AB,\s\up7(―→))，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq \r(3)，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))．
∵点E在线段CD上，
∴eq \(DE,\s\up7(―→))＝λeq \(DC,\s\up7(―→)) (0≤λ≤1)．
∵eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DE,\s\up7(―→))，
又eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋μeq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋2μeq \(DC,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \f(2μ,λ)eq \(DE,\s\up7(―→))，
∴eq \f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq \f(λ,2)．∵0≤λ≤1，
∴0≤μ≤eq \f(1,2)．
即μ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))．
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
2．已知O，A，B是不共线的三点，且eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→)) (m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1．
证明：(1)若m＋n＝1，
则eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up7(―→))
＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋m(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))，
∴eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝m(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))，
即eq \(BP,\s\up7(―→))＝meq \(BA,\s\up7(―→))，∴eq \(BP,\s\up7(―→))与eq \(BA,\s\up7(―→))共线．
又∵eq \(BP,\s\up7(―→))与eq \(BA,\s\up7(―→))有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使eq \(BP,\s\up7(―→))＝λeq \(BA,\s\up7(―→))，
∴eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝λ(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))．
又eq \(OP,\s\up7(―→))＝meq \(OA,\s\up7(―→))＋neq \(OB,\s\up7(―→))．
故有meq \(OA,\s\up7(―→))＋(n－1)eq \(OB,\s\up7(―→))＝λeq \(OA,\s\up7(―→))－λeq \(OB,\s\up7(―→))，
即(m－λ)eq \(OA,\s\up7(―→))＋(n＋λ－1)eq \(OB,\s\up7(―→))＝0．
∵O，A，B不共线，∴eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1．