2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时跟踪检测 （二十五）　平面向量的基本定理及坐标表示 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时跟踪检测 （二十五）　平面向量的基本定理及坐标表示 word版含答案，共6页。试卷主要包含了已知向量a＝，b＝，c＝等内容，欢迎下载使用。
1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(1,3)，则eq \(BD,\s\up7(―→))＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B 由题意得eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))－2eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A eq \(AB,\s\up7(―→))＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，
eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(AC,\s\up7(―→))，
∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，
∴m＝1．故选A．
3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))，且eq \(BP,\s\up7(―→))＝2eq \(PA,\s\up7(―→))，则( )
A．x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)
B．x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)
C．x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4)
D．x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)
解析：选A 由题意知eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BP,\s\up7(―→))，又eq \(BP,\s\up7(―→))＝2eq \(PA,\s\up7(―→))，所以eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→))，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3)．
4．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1＋sin θ))，若a∥b，则锐角θ＝________．
解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×eq \f(1,2)＝0，得cs2θ＝eq \f(1,2)，所以cs θ＝±eq \f(\r(2),2)，又∵θ为锐角，∴θ＝eq \f(π,4)．
答案：eq \f(π,4)
5．在△ABC中，点P在BC上，且eq \(BP,\s\up7(―→))＝2eq \(PC,\s\up7(―→))，点Q是AC的中点，若 eq \(PA,\s\up7(―→))＝(4,3)，eq \(PQ,\s\up7(―→))＝(1,5)，则eq \(BC,\s\up7(―→))＝________．
解析：eq \(AQ,\s\up7(―→))―→＝eq \(PQ,\s\up7(―→))－eq \(PA,\s\up7(―→))＝(－3,2)，
∴eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(AQ,\s\up7(―→))＝(－6,4)．
eq \(PC,\s\up7(―→))＝eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝(－2,7)，
∴eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(PC,\s\up7(―→))＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
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1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A 由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(23＋x＝0，,12＋y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－23，,y＝－12，))所以c＝(－23，－12)．
2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析：选D 由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝λ，,1＝－λ，))解得k＝－1．c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．
3．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－eq \f(1,2)b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：选D ∵a－eq \f(1,2)b＝(3,1)，
∴a－(3,1)＝eq \f(1,2)b，则b＝(－4,2)．∴2a＋b＝(－2,6)．
又(2a＋b)∥c，∴－6＝6x，x＝－1．故选D．
4．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋λeq \(AC,\s\up7(―→)) (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为( )
A．eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
解析：选B 设P(x，y)，则由eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋λeq \(AC,\s\up7(―→))，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5．
又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq \f(2,3)．故选B．
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若eq \(AC,\s\up7(―→))＝a，eq \(BD,\s\up7(―→))＝b，则eq \(AF,\s\up7(―→))＝( )
A．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b
C．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b D．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
解析：选C 如图，∵eq \(AC,\s\up7(―→))＝a，eq \(BD,\s\up7(―→))＝b，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AO,\s\up7(―→))＋eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b．
∵E是OD的中点，
∴eq \f(|DE|,|EB|)＝eq \f(1,3)，
∴|DF|＝eq \f(1,3)|AB|．∴eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)BD―→－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)AC―→ ))))＝eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,6)eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b，
∴eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选C．
6．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________．
解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1．
答案：－1
7．已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))不共线．
∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1．
答案：k≠1
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝________．
解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up7(―→))＝(－1,1)，b＝eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6,2)，c＝eq \(BC,\s\up7(―→))＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(λ,μ)＝4．
答案：4
9．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k．
解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq \f(16,13)．
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq \f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设eq \(BA,\s\up7(―→))＝a，eq \(BC,\s\up7(―→))＝b，试用a，b为基底表示向量eq \(EF,\s\up7(―→))，eq \(DF,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))．
解：eq \(EF,\s\up7(―→))＝eq \(EA,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BF,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,6)b－a＋eq \f(1,2)b＝eq \f(1,3)b－a，
eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \(DE,\s\up7(―→))＋eq \(EF,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,6)b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b－a))＝eq \f(1,6)b－a，
eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CF,\s\up7(―→))＋eq \(FD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)b－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)b－a))＝a－eq \f(2,3)b．
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1．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OQ,\s\up7(―→))＝yeq \(OB,\s\up7(―→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝________．
解析：∵点P，G，Q在一条直线上，∴eq \(PG,\s\up7(―→))＝λeq \(PQ,\s\up7(―→))．
∴eq \(OG,\s\up7(―→))＝eq \(OP,\s\up7(―→))＋eq \(PG,\s\up7(―→))＝eq \(OP,\s\up7(―→))＋λeq \(PQ,\s\up7(―→))＝eq \(OP,\s\up7(―→))＋λ(eq \(OQ,\s\up7(―→))－eq \(OP,\s\up7(―→)))
＝(1－λ)eq \(OP,\s\up7(―→))＋λeq \(OQ,\s\up7(―→))
＝(1－λ)xeq \(OA,\s\up7(―→))＋λyeq \(OB,\s\up7(―→))，①
又∵G是△OAB的重心，
∴eq \(OG,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(―→))．②
而eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))不共线，∴由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－λx＝\f(1,3)，,λy＝\f(1,3).))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＝3－3λ，,\f(1,y)＝3λ.))∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3．
答案：3
2．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0．
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，即(a,0)＝(2,2－b)，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,2－b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝2.))
故a＝2，b＝2．
(2)因为eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－a，b)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(BC,\s\up7(―→))，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a>0，b>0，
所以2(a＋b)＝ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0．
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8．
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．