2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 word版含答案

这是一份2021高考数学（文）大一轮复习习题 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 word版含答案，共53页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，共线向量定理等内容，欢迎下载使用。
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算



1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的 单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律




加法
求两个向量和的运算
三角形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
平行四边形法则
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa．

1．下列四个命题中，正确的命题是(　　)
A．若a∥b，则a＝b　　　　 B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥b D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案：D
2．(教材习题改编)化简：
(1)( ＋)＋＋＝________．
(2) ＋＋－＝________．
答案：(1)　(2)0
3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．
答案：－

1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．


1．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2．
答案：2
2．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的________条件．
解析：若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q．
若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，
即a＝λb，且λ>0，故q⇒/ p．
∴p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要




1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．假命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．
2．(易错题)给出下列命题：
①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
④若a∥b，b∥c，则a∥c．
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则∥且||＝||，因此，＝．
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是①②．
答案：①②

向量有关概念的5个关键点
(1)向量：方向、长度．
(2)非零共线向量：方向相同或相反．
(3)单位向量：长度是一个单位长度．
(4)零向量：方向没有限制，长度是0．
(5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第2题易混淆有关概念．



1．(2017·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A． 　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选D　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4．
2．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
解析：选B　因为＝－2，所以＝2．又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋．
3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝．
答案：

1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．



设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，
∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5．
∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向，
∴存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb．∴(k－λ)a＝(λk－1)b．
∵a，b是不共线的两个非零向量，
解得或
又∵λ>0，∴k＝1．

共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．


如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b．
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．6
解析：选B　根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2．
2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．c＝2b－a B．c＝2a－b
C．c＝a－b D．c＝b－a
解析：选D　依题意得－＝2(－)，
即＝－＝b－a．
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
解析：选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥．又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．
4．(2017·扬州模拟)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值是________．
解析：如图，因为＝，P是BN―→上一点．所以＝，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝．
答案：
5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．
答案：b－a　－a－b
二保高考，全练题型做到高考达标
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b, 则等于(　　)
A．b－a B．a－b
C．－a＋b D．b＋a
解析：选C　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故选C．
2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－．
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－．
3．下列四个结论：
①＋＋＝0；②＋＋＋＝0；③－＋－＝0；④＋＋－＝0，
其中一定正确的结论个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．
4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A　由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．
5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B　∵D为AB的中点，
则＝(＋)，
又＋＋2＝0，
∴＝－，∴O为CD的中点，
又∵D为AB中点，
∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，
则＝4．
6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：由＝3，得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b．
答案：－a＋b
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________．
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，||＝||＝2．
答案：2
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0．
其中正确命题的个数为________．
解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
∴正确命题为②③④．
答案：3
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，．
解：＝(＋)＝a＋b．
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b．
10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
解：(1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵＝2e1－8e2，
∴＝2．
又∵与有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)由(1)可知＝e1－4e2，
∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
∴＝λ (λ∈R)，
即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得
解得k＝12．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2．
∵点E在线段CD上，
∴＝λ (0≤λ≤1)．
∵＝＋，
又＝＋μ＝＋2μ＝＋，
∴＝1，即μ＝．∵0≤λ≤1，
∴0≤μ≤．
即μ的取值范围是．
答案：
2．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1．
证明：(1)若m＋n＝1，
则＝m＋(1－m)
＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n．
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0．
∵O，A，B不共线，∴，不共线，
∴∴m＋n＝1．

第二节平面向量的基本定理及坐标表示




1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．


1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3
2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝________．
答案：(－6,19)
3．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b．
解析：由题意，设e1＋e2＝m a＋n b．
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2．
由平面向量基本定理，得所以
答案：　－

1．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0．


1．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________．
答案：0
2．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3．
答案：－3





1．如图，在三角形ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　　 B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选D　∵在三角形ABC中，
BE是AC边上的中线，
∴＝．
∵O是BE边的中点，
∴＝(＋)＝＋＝a＋b．
2．(易错题)如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，．

解：∵＝－＝a－b，
＝＝a－b，
∴＝＋＝a＋b．
∵＝a＋b，
∴＝＋
＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b．
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b．

用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理，如“题组练透”第2题．




1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)
A．(－3,4)　　　　　　 B．(3,4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
解析：选A　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)，故选A．
2．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2,0)　　　　　　　　 B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
解析：选A　＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，
设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，
所以即
3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴
解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．

平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．



已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，
∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－．
(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，
＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝．

向量共线的充要条件
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)；
(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．

1．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－　　　　B．　　　　C．　　　　D．
解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－．
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，则λ＝________．
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0．
答案：0


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)
A．(－2，－4)　　　　　　 B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
解析：选B　由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)，
＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0，
∴m＝1．故选A．
3．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
解析：选A　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝．
4．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．
解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又∵θ为锐角，∴θ＝．
答案：
5．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________．
解析：―→＝－＝(－3,2)，
∴＝2＝(－6,4)．
＝＋＝(－2,7)，
∴＝3＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
解析：选A　由题意可得3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．
2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
解析：选D　由题意可得c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，即解得k＝－1．c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故c与d反向．
3．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：选D　∵a－b＝(3,1)，
∴a－(3,1)＝b，则b＝(－4,2)．∴2a＋b＝(－2,6)．
又(2a＋b)∥c，∴－6＝6x，x＝－1．故选D．
4．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B　设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，∴x＝5λ＋4，y＝7λ＋5．
又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－．故选B．
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：选C　如图，∵＝a，＝b，
∴＝＋＝＋＝a＋b．
∵E是OD的中点，
∴＝，
∴|DF|＝|AB|．∴＝＝(－)＝×＝－＝a－b，
∴＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b，故选C．
6．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________．
解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1．
答案：－1
7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1．
答案：k≠1
8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．

解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，

则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4．
答案：4
9．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k．
解：(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以解得
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－．
10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，．
解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋＝b－a，
＝＋＝－b－＝a－b．



三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．设＝x，＝y，则＋＝________．
解析：∵点P，G，Q在一条直线上，∴＝λ．
∴＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)x＋λy，①
又∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)
＝＋．②
而，不共线，∴由①②，得
解得∴＋＝3．
答案：3
2．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0．
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
解：(1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，
解得
故a＝2，b＝2．
(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，即2(a＋b)＝ab，
因为a>0，b>0，
所以2(a＋b)＝ab≤2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0．
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8．
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．


第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例




1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤


1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
答案：D
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则a·b＝_____．
答案：－10
3．(2016·山东高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，
∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．
又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，
即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5．
答案：－5

1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b0，则a和b的夹角为锐角，若a·b