高考数学一轮细讲精练【第十二篇】推理与证明、算法、复数

这是一份高考数学一轮细讲精练【第十二篇】推理与证明、算法、复数，共75页。
第十二篇　推理与证明、算法、复数A






第1讲　合情推理与演绎推理
[最新考纲]
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

知 识 梳 理
1．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
2．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
辨 析 感 悟
1．对合情推理的认识
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)
(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．(×)
(5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)
2．对演绎推理的认识
(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)
(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)
[感悟·提升]
三点提醒　一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．
二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．
三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)．

学生用书第200页

考点一　归纳推理

【例1】 (2013·湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　　　 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
解析　由N(n,3)＝n2＋n，
N(n,4)＝n2＋n，
N(n,5)＝n2＋n，
N(n,6)＝n2＋n，
推测N(n，k)＝n2＋n，k≥3.
从而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1 000.
答案　1 000
规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
【训练1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式：
①＜1；②＋＜；③＋＋＜.
则第5个不等式为________．
(2)(2013·陕西卷)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
……
照此规律，第n个等式可为________．
解析　(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×5×…×(2n－1)．
答案　(1)＋＋＋＋＜
(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
考点二　类比推理
【例2】 在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A－BCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．
审题路线　三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中类比为三维图形中的⇒得出结论．
答案　V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r
规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的四维测度W＝2πr4，猜想其三维测度V＝________.
解析　由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3.
答案　8πr3
考点三　演绎推理
【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·，又＝1≠0， (小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)， (小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
学生用书第201页
规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
【训练3】 “因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”，以上推理的错误是(　　)．
A．大前提错误导致结论错误
B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误
D．大前提和小前提错误导致结论错误
解析　当a＞1时，函数y＝logax是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝logax是减函数．故大前提错误导致结论错误．
答案　A


1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．
3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

创新突破12——新定义下的归纳推理

【典例】 (2013·湖南卷)对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.❶例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0.❷
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于______；
(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．
突破1：读懂信息❶，对于集合X＝{ai1，ai2，…，aik}来说，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100是一个新的数列，该数列的xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.
突破2：通过例子❷：“子集{a2，a3}的特征数列为0,1,1,0，0，…，0”来理解“特征数列”的特征；第2项，第3项为1，其余项为0.
突破3：根据p1＝1，pi＋pi＋1＝1可写出子集P的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，…，1,0，归纳出子集P；同理，子集Q的特征数列为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0，归纳出子集Q.
突破4：由P与Q的前几项的规律，找出子集P与子集Q的公共元素即可．
解析　(1)根据题意可知子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前3项和为2.
(2)根据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，…，1,0，则P＝{a1，a3，…，a2n－1，…，a99}(1≤n≤50)，
子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则Q＝{a1，a4，…，a3k－2，…，a100}(1≤k≤34)，则P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有17项．
答案　(1)2　(2)17
[反思感悟] 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．
【自主体验】
若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析　已知[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤
f， (大前提)
因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，(小前提)
所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f，(结论)
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝.
因此sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案　
对应学生用书P379
基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)．
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．
答案　C
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)．
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
解析　由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案　D
3．(2012·江西卷)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)．
A．28 B．76 C．123 D．199
解析　从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
答案　C
4．(2014·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是(　　)．
①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；
②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；
③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；
④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
解析　经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.
答案　B
5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　①②正确；③④⑤⑥错误．
答案　B
二、填空题
6．(2014·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出结论：________.
解析　各等式的左边是第n个自然数到第3n－2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则________．
答案　数列{}为等比数列，且通项为＝b1()n－1
8．(2014·揭阳一模)给出下列等式：＝2cos ，＝2cos ，＝2cos ，请从中归纳出第n个等式：＝________.
答案　2cos
三、解答题
9．给出下面的数表序列：
表1　　　　表2　　　　表3
1　　　　1　3　　　1　3　5
　　　　　4　　　　 4　8
　　　　　　　　　　　　12　　　…
其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．
解　表4为　　　　　　1　3　5　7
　　　　　　　　　 4　8　12
　　　　　　　　　　 12　20
　　　　　　　　　　　 32
它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
10．f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
解　f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.
证明：f(x)＋f(1－x)＝＋
＝＋＝＋
＝＝.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2012·江西卷)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为(　　)．
A．76 B．80 C．86 D．92
解析　由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.
答案　B
2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．
比如：


他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)．
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，
a2＝a1＋2，
a3＝a2＋3，
…
an＝an－1＋n.
∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.
答案　C
二、填空题
3．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.

(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．
解析　(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(＋2)××＝3，N＝1，L＝6.
(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.
S△ABC＝4b＋c＝1.
在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝.c＝－1.
∴S＝N＋L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋×18－1＝79.
答案　(1)3,1,6　(2)79
三、解答题
4．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解　(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
学生用书第202页
第2讲　直接证明与间接证明
[最新考纲]
1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．
2．了解反证法的思考过程和特点.

知 识 梳 理
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→
得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
2．间接证明
反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
辨 析 感 悟
对三种证明方法的认识
(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)
(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)
(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(√)
(4)证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法．(√)
[感悟·提升]
两点提醒　一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；
二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.

考点一　综合法的应用

【例1】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.
证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
学生用书第203页
规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．
【训练1】 (1)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋＞3.
证明　(1)∵a＋b＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋
＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
(2)∵a，b，c全不相等，且都大于0.
∴与，与，与全不相等，
∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，
三式相加得＋＋＋＋＋＞6，
∴＋＋＞3，
即＋＋＞3.
考点二　分析法的应用
【例2】 已知a＞0，求证：－≥a＋－2.
审题路线　从结论出发⇒观察不等式两边的符号⇒移项(把不等式两边都变为正项)⇒平方⇒移项整理⇒平方⇒移项整理可得显然成立的结论．
证明　(1)要证－≥a＋－2，
只需要证＋2≥a＋＋.
∵a＞0，故只需要证2≥2，
即a2＋＋4＋4
≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只需要证2≥，
只需要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
【训练2】 已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.
证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，
只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
考点三　反证法的应用
【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解　由已知得∴d＝2，
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
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规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．
【训练3】 已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根．
证明　假设三个方程都没有实数根，则
⇒
∴－＜a＜－1.
这与已知a≥－1矛盾，
所以假设不成立，故原结论成立．


1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
答题模板13——反证法在证明题中的应用
【典例】 (14分)(2013·北京卷)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
[规范解答]　(1)解　因为四边形OABC为菱形，
所以AC与OB相互垂直平分． (2分)
所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，
即t＝±.
所以|AC|＝2. (5分)
(2)证明　假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由消y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. (7分)
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则
＝－，
＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M. (9分)
因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，
所以直线OB的斜率为－.(11分)
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直． (13分)
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．(14分)
[反思感悟] (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．
(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．
(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．
答题模板　用反证法证明数学命题的答题模板：
第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；
第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；
第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.
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【自主体验】
设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明：l1与l2相交；
(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明　(1)假设l1与l2不相交，
则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，
代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.
这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，
即l1与l2相交．
(2)由方程组
解得交点P的坐标为.
从而2x2＋y2＝22＋2
＝＝＝1，
所以l1与l2的交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．

对应学生用书P381
基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是(　　)．
A.＜ B．a＋＞b＋
C．b＋＞a＋ D.＜
解析　(特值法)取a＝－2，b＝－1，验证C正确．
答案　C
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是(　　)．
A．a，b都不能被5整除
B．a，b都能被5整除
C．a，b中有一个不能被5整除
D．a，b中有一个能被5整除
解析　由反证法的定义得，反设即否定结论．
答案　A
3．(2014·上海模拟)“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当a＝时，x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等号；反之，显然不成立．
答案　A
4．(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)．
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析　由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2
⇐(a＋c)2－ac＜3a2
⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
⇐－2a2＋ac＋c2＜0
⇐2a2－ac－c2＞0
⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.
答案　C
5．(2014·天津模拟)p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为(　　)．
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不确定
解析　q＝ ≥＝＋＝p.
答案　B
二、填空题
6．下列条件：①ab>0，②ab0，b>0，④a0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．
答案　3
7．已知a，b，m均为正数，且a＞b，则与的大小关系是________．
解析　－＝＝，
∵a，b，m＞0，且a＞b，∴b－a＜0，∴＜.
答案　＜
8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填上序号)．
答案　①
三、解答题
9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg abc，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
10．(2014·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
(1)证明　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)解　当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2014·漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)．
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案　D
2．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)．
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析　∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数，∴f≤f()≤f.
答案　A
二、填空题
3．(2014·株洲模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．
解析　∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16，当且仅当a＝4，b＝12时，等号成立，∴a＋b的最小值为16.
∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
审题路线 观察前4个式子，左边的项数及分母的变化⇒不难发现一般的不等式为1＋＋＋…＋>(n∈N*)，并用数学归纳法证明．
解　一般结论：1＋＋＋…＋>(n∈N*)，证明如下：
(1)当n＝1时，由题设条件知命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，猜想正确．
即1＋＋＋…＋>.
当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋…＋>＋＋＋…＋
>＋＋＋…＋＝＋＝.
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
根据(1)、(2)可知，对n∈N*,1＋＋＋…＋>.
规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
【训练2】 若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xn＜xn＋1