单元检测卷五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

单元检测卷五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间:45分钟　满分:100分)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题6分,共48分)

1.(2019福建漳州质检二,1)=(　　)

A B 

C D

2.(2019浙江嘉兴一中期中)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1).若,则实数m的值为(　　)

A B.- 

C.-3 D.-

3.(2019四川成都检测)已知向量a=(,1),b=(-3,),则向量b在向量a方向上的投影为(　　)

A.- B C.-1 D.1

4.已知菱形ABCD的边长为m,∠ABC=60°,则=(　　)

A.-m2 B.-m2 

Cm2 Dm2

5.(2019湖南长沙一中模拟一)已知i为虚数单位,复数z满足(1+2i)z=(1+i)(2-i),则|z|=(　　)

A B 

C D

6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则点P的坐标是(　　)

A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)

7.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=(　　)

A 

B 

C 

D

8.(2019天津高考模拟)在△ABC中,AB=2AC=6,,P是△ABC所在平面内的一点,当取得最小值时,=(　　)

A B.-9 

C.7 D.-

二、多项选择题(本题共4小题,每小题6分,共24分)

9.下面四个命题中的真命题为(　　)

A.若复数z满足R,则z∈R

B.若复数z满足z2∈R,则z∈R

C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=

D.若复数z∈R,则R

10.(2019山东日照期末)如图,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是(　　)

A.-6 B.1 

C.5 D.9

11.(2019福建泉州期末)△ABC中,=c,=a,=b,在下列命题中,是真命题的有(　　)

A.若a·b>0,则△ABC为锐角三角形

B.若a·b=0,则△ABC为直角三角形

C.若a·b=c·b,则△ABC为等腰三角形

D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则△ABC为直角三角形

12.已知向量e1,e2是平面α内的一组基向量,O为α内的定点,对于α内任意一点P,当=xe1+ye2时,则称有序实数对(x,y)为点P的广义坐标.若点A,B的广义坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),关于下列命题正确的是(　　)

A.线段AB的中点的广义坐标为

B.A,B两点间的距离为

C.向量平行于向量的充要条件是x1y2=x2y1

D.向量垂直于向量的充要条件是x1y2+x2y1=0

三、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.已知向量a=(sin 2α,1),b=(cos α,1),若a∥b,0<α<,则α=　　　　　. 

14.已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则c在a+b上的投影是　　　　　. 

15.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则的最大值为　　　　　. 

16.(2019浙江温州模拟)已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,).若|b|=2,且b∥a,则向量b的坐标为　　　　　　;若|c|=,且(a+c)⊥(2a-3c),则a·c=　　　　　. 

参考答案与解析

一、单项选择题(本题共8小题,每小题6分,共48分)

1.答案A

解析i.故选A.

2.答案C

解析因为=(3,1),=(2m,m+1),

所以3×(m+1)=2m,m=-3.故选C.

3.答案A

解析向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos<a,b>,

∴|b|·cos<a,b>==-,故选A.

4.答案D

解析如图,设=a,=b.

则=()=(a+b)·a=a2+a·b=m2+m·m·cos 60°=m2+m2=m2.

5.答案C

解析由题意得,z==1-i,|z|=故选C.

6.答案C

解析设点P坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).

=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.

当x=3时,有最小值1.故点P坐标为(3,0).

7.答案D

解析设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).

∵(c+a)∥b,∴2(y+2)=-3(x+1),①

∵c⊥(a+b),∴3x-y=0.②

联立①②两式,得x=-,y=-,故选D.

8.答案B

解析=||·||cos B=||2,

∴||·cos B=||,

,∠CAB=,以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,

则B(6,0),C(0,3).设P(x,y),则=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2

=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],

所以当x=2,y=1时取最小值,

此时=(2,1)·(-6,3)=-9.故选B.

二、多项选择题(本题共4小题,每小题6分,共24分)

9.答案AD

解析由复数z满足R,设z=a+bi(a,b∈R),

则R,所以b=0,则z=a∈R,故命题A为真命题;

复数z=i满足z2=-1∈R,则z∉R,故命题B为假命题;

若复数z1=i,z2=2i满足z1z2∈R,但z1,故命题C为假命题;

若复数z∈R,则=z∈R,故命题D为真命题.故选AD.

10.答案BC

解析设=a,=b,求x+y的最大值,只需考虑右图中6个顶点的向量即可,讨论如下:

(1)=a,

∴(x,y)=(1,0);

(2)=b+3a,

∴(x,y)=(3,1);

(3)=b+2a,

∴(x,y)=(2,1);

(4)=b+a+(b+2a)=3a+3b,

∴(x,y)=(3,3);

(5)=b+a,

∴(x,y)=(1,1);

(6)=b,∴(x,y)=(0,1)﹒

∴x+y的最大值为3+2=5﹒

根据其对称性,可知x+y的最小值为-5.故x+y的取值范围是[-5,5],观察选项,选项B、C均符合题意.

故选BC.

11.答案BCD

解析如图所示,△ABC中,=c,=a,=b,

①若a·b>0即>0,

即<0,则∠BCA是钝角,△ABC是钝角三角形,A错误;

②若a·b=0,则,△ABC为直角三角形,B正确;

③若a·b=c·b,b·(a-c)=0,

()=0,

()=0,取AC中点D,则=0,

所以BA=BC,即△ABC为等腰三角形,C正确;

④若(a+c-b)·(a+b-c)=0,则a2=(c-b)2,

即b2+c2-a2=2b·c,即=-cos A,

由余弦定理可得:cos A=-cos A,即cos A=0,即A=,即△ABC为直角三角形,所以D正确,综合①②③④可得真命题有BCD,故选BCD.

12.答案AC

解析根据题意得,由中点坐标公式知A正确;只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确,而点A,B未必在平面直角坐标系,因此B错误;由向量平行的充要条件得C正确;

垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0,因此D不正确.故选AC.

三、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)

13.答案

解析向量a=(sin 2α,1),b=(cos α,1),若a∥b,则sin 2α-cos α=0,即2sin αcos α=cos α.

又∵0<α<,∴cos α≠0,∴sin α=,∴α=

14.答案-

解析a+b=(-2,1),(a+b)·c=-1,所以,c在a+b上的投影是=-

15.答案

解析以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,

则E2,.设F(x,y),

则0≤x≤2,0≤y≤1,则=2x+y,

令z=2x+y,当z=2x+y过点(2,1)时,取最大值

16.答案(1,)或(-1,-)　2

解析令b=λa=(λ,),因为|b|=2,所以=2,解得λ=±1,所以b=(1,)或(-1,-);因为(a+c)⊥(2a-3c),所以(a+c)·(2a-3c)=0,即2|a|2-a·c-3|c|2=0,

所以a·c=2|a|2-3|c|2=2×4-3×2=2.