2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练 第2章 函数、导数及其应用 2-10 word版含答案
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这是一份2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练 第2章 函数、导数及其应用 2-10 word版含答案,共5页。试卷主要包含了已知函数f=x-1+eq \f等内容,欢迎下载使用。
(时间:40分钟)1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )A.-e B.-1 C.1 D.e答案 B解析 ∵f′(x)=2f′(1)+,∴f′(1)=2f′(1)+1,∴f′(1)=-1.故选B.2.曲线f(x)=在点(1,f(1))处切线的倾斜角为,则实数a=( )A.1 B.-1 C.7 D.-7答案 C解析 f′(x)==,又∵f′(1)=tan=-1,∴a=7.3.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k的值是( )A.e B.-e C. D.-答案 C解析 依题意,设直线y=kx与曲线y=ln x切于点(x0,kx0),则有由此得ln x0=1,x0=e,k=,选C.4.曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为( )A.y=3x-1 B.y=-3x-1C.y=3x+1 D.y=-2x-1答案 A解析 依题意得y′=(x+1)ex+2,则曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线的斜率为(0+1)e0+2=3,故曲线y=xex+2x-1在点(0,-1)处的切线方程为y+1=3x,即y=3x-1,故选A.5.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小值为( )A.1 B. C. D.答案 B解析 因为定义域为(0,+∞),所以y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.6.直线x-2y+m=0与曲线y=相切,则切点的坐标为________.答案 (1,1)解析 7.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是________.答案 -3解析 由曲线y=ax2+过点P(2,-5),得4a+=-5.①又y′=2ax-,所以当x=2时,4a-=-,②由①②得所以a+b=-3.8.函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)在R上的导函数f′(x)>,则不等式f(x)<的解集为__________.答案 (-∞,1)解析 据已知f′(x)>,可得′=f′(x)->0,即函数F(x)=f(x)-x在R上为单调递增函数,又由f(1)=1可得F(1)=,故f(x)<=+x,化简得f(x)-x<,即F(x)<F(1),由函数的单调性可得不等式的解集为(-∞,1).9.已知曲线y=x3+.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.解 (1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y′=4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为y′|x=x0=x.所以切线方程为y-=x(x-x0),即y=x·x-x+.因为点P(2,4)在切线上,所以4=2x-x+,即x-3x+4=0,所以x+x-4x+4=0,所以x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.10.已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求l的直线方程.解 (1)f′(x)=1-,因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以f′(1)=1-=0,解得a=e.(2)当a=1时,f(x)=x-1+,f′(x)=1-.设切点为(x0,y0),①+②得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.若k=1,则②式无解,∴x0=-1,k=1-e.∴l的直线方程为y=(1-e)x-1.(时间:20分钟)11.若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1 B.0 C.1 D.2答案 C解析 依题意得,f′(x)=-asinx,g′(x)=2x+b,于是有f′(0)=g′(0),即-asin0=2×0+b,则b=0,又m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1,选C.12.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sinx B.y=ln x C.y=ex D.y=x3答案 A解析 设两切点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).选项A中,y′=cosx,cosx1cosx2=-1,当x1=0,x2=π时满足,故选项A中的函数具有T性质;选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值,故两点处的导数之积不可能为-1,故选A.13.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.答案 (-∞,0)解析 由题意,可知f′(x)=3ax2+,又存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+=0,即a=-(x>0),故a∈(-∞,0).14.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解 (1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上的任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.
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