2021年高考数学二轮复习大题专项练五《解析几何》(含答案)

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2021年高考数学二轮复习大题专项练五《解析几何》1.已知点A(0，－2)，椭圆E：＋=1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.               2.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B(B位于第一象限)两点.(1)若直线AB的斜率为,过点A,B分别作直线y=6的垂线,垂足分别为P,Q,求四边形ABQP的面积;(2)若|BF|=4|AF|,求直线l的方程.                3.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C过点P(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)直线的l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求△PAB面积的最大值.               4.已知动直线l垂直于x轴，与椭圆交于A，B两点，点P在直线l上，．（1）求点P的轨迹C2的方程；（2）直线l1与椭圆C1相交于D，E与曲线C2相切于点M，O为坐标原点，求∣DE∣·∣OM∣的取值范围．                  5.在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在轴上，右顶点A(2,0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M,N是椭圆C上关于轴对称的任意两点，设P(-4,0)，连接PM交椭圆C于另一点E．求证：直线NE过定点B并求出点B的坐标；（3）在（2）的条件下，过点B的直线交椭圆C于S,T两点，求的取值范围．              6.已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．                 7.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q.求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．          8.已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，-1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．            
答案解析9.解：(1)设F(c,0)，由条件知，=，得c=.又=，所以a=2，b2=a2－c2=1.故E的方程为＋y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y=kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y=kx－2代入＋y2=1得(1＋4k2)x2－16kx＋12=0.当Δ=16(4k2－3)＞0，即k2＞时，x1,2=.从而|PQ|=|x1－x2|=.又点O到直线PQ的距离d=，所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t，则t＞0，S△OPQ==.因为t＋≥4，当且仅当t=2，即k=±时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y=x－2或y=－x－2. 10.解:(1)由题意可得F(0,1),又直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=x+1.与抛物线方程联立得x2-3x-4=0,解之得x1=-1,x2=4.所以点A,B的坐标分别为(-1,),(4,4).所以|PQ|=|4-(-1)|=5,|AP|=|6-|=,|BQ|=|6-4|=2,所以四边形ABQP的面积为S=(+2)×5=.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l:y=kx+1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由化简可得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.因为|BF|=4|AF|,所以-=4,所以=++2,即=-4k2=-,所以4k2=,即k2=,解得k=±.因为点B位于第一象限,所以k>0,则k=.所以l的方程为y=x+1.11.解:(1)因为e2===,所以a2=4b2,则椭圆方程为+=1,即x2+4y2=4b2.因为椭圆过点P(2,1),所以代入上式得b2=2,a2=8,所以椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,代入椭圆方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,Δ=4m2-4(2m2-4)>0⇒m2<4.则|AB|=×=.点P到直线l的距离d==.因此S△PAB=d|AB|=·=≤=2.当且仅当m2=2∈[0,4),即m=±时取得最大值2.12.解:（1）设，，则由题知，，，，，，由在椭圆上可得，所以，故点的轨迹的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，，；当直线的斜率存在时，设其方程为，，，，联立，消去y化简可得，令可得，则，，所以，，联立，消去y化简可得，，所以，则，令，则，所以，，所以当时，即时，取最大值3，当时，即k=0时，取最小值；综上，的取值范围为．13.解：(1)设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为；证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线PM的斜率存在,设直线PM的方程为,联立,消去得到,设点,则．所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点．当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去y,整理得,则．所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是．14.解:（1）由题意可得，解得，故椭圆的方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由消去整理得，直线与椭圆交于两点，．设点P，Q的坐标分别为，，则，，．直线，，的斜率成等比数列，，整理得，，又，，结合图形可知，故直线的斜率为定值．15.解:（1）由题意可知，椭圆的焦点在轴上，，，椭圆的离心率，则，，则椭圆的标准方程；（2）证明：设，，，当斜率不存在时，与椭圆只有一个交点，不合题意，由题意的方程，，则联立方程，整理得，，，由韦达定理可知，，则，则由，，∴直线AP,AQ的斜率之和为定值．16.解：(1)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.(2)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.