初中数学北师大版九年级下册7 切线长定理优秀教学设计

第三章  圆

7  切线长定理

1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．

2.学会运用切线长定理解有关问题．

3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.

学会运用切线长定理解有关问题.

通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.

1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.

2.这样的切线能画出几条？

3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.

活动内容1：

探究1：如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？

思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,

连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?

探究2：切线长概念

切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？

比一比：切线与切线长

切线和切线长是两个不同的概念：

1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；

2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

折一折：

思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?

证一证：请证明你所发现的结论. PA=PB，∠OPA=∠OPB

证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，

∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，

∵ OA=OB，OP=OP，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)

∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.

探究2：切线长定理-过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.

几何语言：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.

反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法

试一试：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.

明确：OP垂直平分AB

证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，

∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.

∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.

∴OP垂直平分AB.

探究3：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.

（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB ⊥PB  AB⊥OP

（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC

（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.

（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP，△AOB.

活动2：探究归纳

反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.

（1）分别连接圆心和切点；

（2）连接两切点；

（3）连接圆心和圆外一点.

例1： △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.

解：设AF=x,则AE=x

∴CD=CE=AC-AE=13-x，

BD=BF=AB-AF=9-x.

由BD+CD=BC，可得

13-x+9-x=14，

解得x=4.

∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.

例2：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，求证：AD+BC=AB+CD.

证明：由切线长定理，得AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,

∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,

即AD+BC=AB+CD。

补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．

本节课应掌握：

（1）切线和圆只有一个公共点.

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.

（3）切线垂直于过切点的半径.

（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.

（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.

（6）切线长定理.