最新华师大版七年级下册数学 期中考试数学试卷

这是一份最新华师大版七年级下册数学 期中考试数学试卷，共25页。试卷主要包含了下列是二元一次方程的是，如图，若干相同正五边形排成环状等内容，欢迎下载使用。
最新华师大版七年级下册数学 期中考试数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列是二元一次方程的是（　　）
A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．x﹣y2＝0 D．2x﹣3y＝xy
3．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2
4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
6．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
7．如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（　　）个五边形完成这一圆环．

A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．42 B．96 C．84 D．48
9．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
10．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．18
二．填空题（共6小题）
11．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　 　．
12．若不等式组有解，则a的取值范围是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　 　．

14．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　 　．

15．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）＝1；
②（2x）＝2（x）；
③若（﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；
其中正确的结论有　 　（填写所有正确的序号）．
16．如图，长方形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，E在CD边上，且CD＝3CE，点P、Q为BC边上两个动点，且线段PQ＝2，当BP＝　 　时，四边形APQE的周长最小．

三．解答题（共9小题）
17．用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）
（2）（加减法）
18．解不等式，并把它们的解集表示在数轴上．
19．如图1，每个小正方形边长均为1的网格内有一个△ABC，数轴x⊥数轴y，垂足为原点O．

（1）画出△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺吋针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）连结BA2、BB2，在图中存在格点P（不同于B点），且△PA2B2与△BA2B2面积相等，请在图2中标出所有符合条件的格点P．
20．如图所示的是一个运算程序．

例如：根据所给的运算程序可知，当x＝5时，5×5+2＝27＜37，再把x＝27代入，得5×27+2＝137＞37，则输出的值为137．
（1）填空：当x＝10时，输出的值为　 　；当x＝2时，输出的值为　 　．
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围．
21．阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”．
例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C．
请运用上述知识，解决问题：
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F．
（1）若∠ABC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）若AE＝AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程．

22．已知方程组中x为负数，y为非正数．
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+3x＞2a+3的解集为x＜1．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
24．某电器经营业主计划购进一批同种型号的空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金23600元；若购进10台空调和30台电风扇，需要资金31000元．
（1）空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）由于国家大力推行家电下乡政策，每台空调可以比采购价下调15%，每台电风扇可以比采购价打七折．该业主计划用29930元购进两种电器共20台，其中空调不少于13台，该业主能否实现购买计划？如能实现，请帮他列出购买计划；如不能，请说明理由．
（3）该业主计划增加购买单价为每台600元的空调扇，且三种电器的总数量共50台，空调扇总数10至20台之间（不包含10、20），恰好投入55000元．若最终实际利润为，每台空调300元，每台电扇30元，每台空调扇100元．该业主决定将本次购买计划的全部利润对口捐给某医院，助益抵抗新冠肺炎疫情，现医院有7500元资金缺口．该业主能否实现日标？如果能，请直接写出进货方案和获得的利润总额．
25．如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连结BB′、CC′，交于点O．

（1）如图（1），若∠BAC＝30°，
①求∠B'AC'的度数；
②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；
（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
2．下列是二元一次方程的是（　　）
A．3x﹣6＝x B．3x＝2y C．x﹣y2＝0 D．2x﹣3y＝xy
【分析】二元一次方程就是含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方程，依据定义即可判断．
【解答】解：A、是一元一次方程，故错误；
B、正确；
C、未知数的项的最高次数是2，故错误；
D、未知数的项的最高次数是2，故错误．
故选：B．
3．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（　　）
A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞ D．m2＞n2
【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D．
【解答】解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；
故选：D．
4．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
5．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【分析】将k看做已知数求出x与y，代入2x+3y＝6中计算即可得到k的值．
【解答】解：，
①+②得：2x＝14k，即x＝7k，
将x＝7k代入①得：7k+y＝5k，即y＝﹣2k，
将x＝7k，y＝﹣2k代入2x+3y＝6得：14k﹣6k＝6，
解得：k＝．
故选：B．
6．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
【解答】解：不等式整理得：，
由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，
解得：m≤0，
故选：D．
7．如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（　　）个五边形完成这一圆环．

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，减去3后即可得到本题答案．
【解答】解：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5＝72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴360°÷36°＝10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故排成圆环还需7个五边形．
故选：B．

8．如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　）

A．42 B．96 C．84 D．48
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故选：D．
9．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
【分析】根据题意得出不等式组解答即可．
【解答】解：根据题意可得：，
可得：12＜x＜15，
∴12＜x＜15
故选：B．
10．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．18
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．
【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．


∵S△OMN＝•MN•OH＝12，MN＝6，
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　2　．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程中，那么可以得到一个含有未知数a，b的二元一次方程2a+b＝0，然后把6a+3b+2适当变形，可以求出6a+3b+2的值．
【解答】解：把代入方程2x+y＝0，得2a+b＝0，
∴6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝2．
故答案为：2．
12．若不等式组有解，则a的取值范围是　a＞﹣1　．
【分析】先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵由①得x≥﹣a，
由②得x＜1，
故其解集为﹣a≤x＜1，
∴﹣a＜1，即a＞﹣1，
∴a的取值范围是a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
13．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　70°　．

【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝70°．
故答案为：70°．

14．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　1.6　．

【分析】由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD＝AB，又由∠B＝60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD＝AB＝2，则可求得答案．
【解答】解：由旋转的性质可得：AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB，
∵AB＝2，BC＝3.6，
∴CD＝BC﹣BD＝3.6﹣2＝1.6．
故答案为：1.6．
15．新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论：
①（1.493）＝1；
②（2x）＝2（x）；
③若（﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11；
④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）；
其中正确的结论有　①③④　（填写所有正确的序号）．
【分析】对于①可直接判断，②、④可用举反例法判断，③我们可以根据题意所述利用不等式判断．
【解答】解：①（1.493）＝1，故①符合题意；
②（2x）≠2（x），例如当x＝0.3时，（2x）＝1，2（x）＝0，故②不符合题意；
③若（x﹣1）＝4，则4﹣≤x﹣1＜4+，解得：9≤x＜11，故③符合题意；
④m为非负整数，故（m+2013x）＝m+（2013x），故④符合题意；
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④．
16．如图，长方形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，E在CD边上，且CD＝3CE，点P、Q为BC边上两个动点，且线段PQ＝2，当BP＝　4　时，四边形APQE的周长最小．

【分析】四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；在AD上截取AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G连接GE与BC交于点Q，过点A作AP∥FQ，过G作GH∥BC交DC延长线于点H，根据题意可得＝，即可求出CQ，则BP＝BC﹣PQ﹣CQ即可求解；
【解答】解：∵四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；
在AD上截取AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G连接GE与BC交于点Q，过点A作AP∥FQ，过G作GH∥BC交CD于点H，

∴GQ＝FQ＝AP，
∵AB＝6，BC＝10，PQ＝2，CD＝3CE，
∴EC＝2，CH＝6，GH＝8，
∴EH＝8，
∴＝，
∴＝，
∴CQ＝2，
∴BP＝10﹣2﹣2＝4；
故答案为4．
三．解答题（共9小题）
17．用指定的方法解下列方程组：
（1）（代入法）
（2）（加减法）
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组．
【解答】解：（1），
由②得：x＝4+y③，
把③代入①得3（4+y）+4y＝19，
解得：y＝1，
将y＝1代入①得：x＝5，
则方程组的解为：；
（2），
①﹣②×2得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣1，
方程组的解为：．
18．解不等式，并把它们的解集表示在数轴上．
【分析】分别解两个不等式得到x＜2和x≥﹣1，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，再利用数轴表示其解集．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
用数轴表示为：．
19．如图1，每个小正方形边长均为1的网格内有一个△ABC，数轴x⊥数轴y，垂足为原点O．

（1）画出△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺吋针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）连结BA2、BB2，在图中存在格点P（不同于B点），且△PA2B2与△BA2B2面积相等，请在图2中标出所有符合条件的格点P．
【分析】（1）根据平移的性质画出△ABC向下平移5个单位后的△A1B1C1即可；
（2）根据旋转的性质即可画出△A1B1C1绕原点O顺吋针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）根据网格即可在图2中标出所有符合条件的格点P．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为平移后的图形；

（2）如图，△A2B2C2即为旋转后的图形；
（3）因为△PA2B2与△BA2B2面积相等，
所以图2中符合条件的格点有4个，分别为P1、P2、P3、P4．
20．如图所示的是一个运算程序．

例如：根据所给的运算程序可知，当x＝5时，5×5+2＝27＜37，再把x＝27代入，得5×27+2＝137＞37，则输出的值为137．
（1）填空：当x＝10时，输出的值为　52　；当x＝2时，输出的值为　62　．
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，求x的取值范围．
【分析】（1）根据运算流程分别代入x＝10、x＝2，求出输出y值即可得出结论；
（2）根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：（1）当x＝10时，5×10+2＝52＞37，所以输出52；
当x＝2时，5×2+2＝12＜37，把x＝12代入，
得5×12+2＝62＞37，所以输出62．
故答案为：52；62；

（2）由题意得：，
解得：1≤x＜7．
答：x的取值范围是1≤x＜7．
21．阅读：在同一个三角形中，相等的边所对的角相等，简称为“等边对等角”．
例如，在△ABC中，如果AB＝AC，依据“等边对等角”可得∠B＝∠C．
请运用上述知识，解决问题：
已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE是三角形的角平分线，交AD于F．
（1）若∠ABC＝40°，求∠AFE的度数．
（2）若AE＝AF，试判断△ABC的形状，并写出证明过程．

【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠DBF，再根据三角形内角和定理求出∠BFD即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和多了即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝40°，BE平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABC＝20°，
∴∠BFD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠AFE＝∠BFD＝70°；
（2）∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵∠ABE＝∠DBE，∠AFE＝∠BFD，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB，∠BDF＝180°﹣∠DBF﹣∠BFD，
∴∠BAE＝∠BDF＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
22．已知方程组中x为负数，y为非正数．
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+3x＞2a+3的解集为x＜1．
【分析】（1）解方程组求得x、y的值，结合条件可得到关于a的不等式组，解不等式组可求得a的取值范围；
（2）根据不等式的解集求出a的范围，即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程组得，，
∵x为负数，y为非正数，
∴，解得﹣2≤a＜3；
（2）2ax+3x＞2a+3，
（2a+3）x＞2a+3，
∵要使不等式2ax+3x＞2a+3的解集为x＜1，
必须2a+3＜0，
解得：a＜﹣，
∵﹣2≤a＜3，a为整数，
∴a＝﹣2，
所以当a为﹣2时，不等式2ax+3x＞2a+3的解集为x＜1．
23．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．

24．某电器经营业主计划购进一批同种型号的空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金23600元；若购进10台空调和30台电风扇，需要资金31000元．
（1）空调和电风扇每台的采购价各是多少元？
（2）由于国家大力推行家电下乡政策，每台空调可以比采购价下调15%，每台电风扇可以比采购价打七折．该业主计划用29930元购进两种电器共20台，其中空调不少于13台，该业主能否实现购买计划？如能实现，请帮他列出购买计划；如不能，请说明理由．
（3）该业主计划增加购买单价为每台600元的空调扇，且三种电器的总数量共50台，空调扇总数10至20台之间（不包含10、20），恰好投入55000元．若最终实际利润为，每台空调300元，每台电扇30元，每台空调扇100元．该业主决定将本次购买计划的全部利润对口捐给某医院，助益抵抗新冠肺炎疫情，现医院有7500元资金缺口．该业主能否实现日标？如果能，请直接写出进货方案和获得的利润总额．
【分析】（1）设空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，根据若购进8台空调和20台电风扇，需要资金23600元；若购进10台空调和30台电风扇，需要资金31000元，列出方程组，求解即可；
（2）首先根据每台空调可以比采购价下调15%，每台电风扇可以比采购价打七折，求出每台空调与每台电风扇的实际购买价，再设该业主购买空调a台，则购买电风扇（20﹣a）台，根据该业主计划用29930元购进两种电器，其中空调不少于13台，列出不等式组，求解即可；
（3）设该业主购买空调m台，电风扇n台，空调扇p台，则10＜p＜20，根据三种电器的总数量共50台，恰好投入55000元列出方程组，求出m、n，根据m、n均为正整数，10＜p＜20，得出p＝13，m＝19，n＝18，再计算出此时总利润，与7500元比较即可．
【解答】解：（1）设空调每台的采购价是x元，电风扇每台的采购价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：空调每台的采购价是2200元，电风扇每台的采购价是300元；

（2）由题意得，每台空调的采购价为2200×（1﹣15%）＝1870（元），每台电风扇的采购价为300×0.7＝210（元）．
设该业主购买空调a台，则购买电风扇（20﹣a）台，
根据题意得：，
解得：13≤a≤15.5，
∵a是整数，
∴a＝13，14，15．
故该业主能实现购买计划，购买计划有三种：
①购买空调13台，电风扇7台；
②购买空调14台，电风扇6台；
③购买空调15台，电风扇5台；

（3）设该业主购买空调m台，电风扇n台，空调扇p台，则10＜p＜20，
根据题意得：，
解得：，
∵m、n均为正整数，10＜p＜20，
∴p＝13时，m＝19，n＝18符合题意，
此时总利润为：300×19+30×18+100×13＝7540（元），
∵7540＞7500，
∴该业主能实现目标，进货方案是：购买空调19台，电风扇18台，空调扇13台，此时获得的利润总额是7540元．
25．如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连结BB′、CC′，交于点O．

（1）如图（1），若∠BAC＝30°，
①求∠B'AC'的度数；
②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；
（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①利用轴对称的性质求解即可．
②如图（1）中，设AC交BB′于J．利用“8字型”证明∠B′OC＝∠BAJ即可．
（2）如图（2）中，结论：β＝2α．首先证明四边形BCDC′是菱形，推出CD∥BC′，同法可证，BE∥CB′，推出∠FCB+∠CBC′＝180°，即∠FCB+2∠ABC＝180°，同法可得，∠FBC+2∠ACB＝180°，再根据∠BFD＝∠FBC+∠FCB转化可得结论．
【解答】解：（1）①∵C，C′关于AB对称，B，B′关于AC对称，
∴∠CAB＝∠BAC′＝∠CAB′＝30°，
∴∠B′AC′＝90°．
②如图（1）中，设AC交BB′于J．

△ABC'可以由△AB'C绕点A顺时针旋转60°得到．
∵AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴∠AB′A＝∠ACO＝60°，
∵∠AJB′＝∠OJC，
∴∠B′OC＝∠B′AJ＝30°．

（2）如图（2）中，结论：β＝2α．

理由：由对称的性质可知：BC＝BC′，DC′＝DC，∠ABC′＝∠ABC，
∵DC′∥BC，
∴∠C′DB＝∠ABC＝∠C′BD，
∴C′D＝C′B，
∴BC＝BC′＝C′D＝DC，
∴四边形BCDC′是菱形，
∴CD∥BC′，同法可证，BE∥CB′，
∴∠FCB+∠CBC′＝180°，即∠FCB+2∠ABC＝180°，
同法可得，∠FBC+2∠ACB＝180°，
∵∠BFD＝∠FBC+∠FCB，
∴∠DFB＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠BAC）＝2∠BAC，
∴β＝2α．