初中人教版18.1.2 平行四边形的判定优质第1课时学案

第十八章  平行四边形

18.1.2  平行四边形的判定

第1课时  平行四边形的判定（1）

学习目标：1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程, 体会类比思想及探究图形判定的一般思路；

2.掌握平行四边形的三个判定定理, 能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.

重点：经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程, 体会类比思想及探究图形判定的一般思路.

难点：掌握平行四边形的三个判定定理, 能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.

一、知识回顾

1.平行四边形的定义是什么？有什么作用？

2.除了两组对边分别平行, 平行四边形还有哪些性质？

3.平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？

一、要点探究

探究点1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

猜一猜  将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动, 所得的四边形是平行四边形吗?

证一证 

已知： 四边形ABCD中, AB=DC, AD=BC.

求证： 四边形ABCD是平行四边形.

证明：连接AC,

在△ABC和△CDA中,

        AB=CD ,

        AC=CA,  ∴△ABC_____△CDA(________).

        BC=DA,

      ∴ ∠1____∠4 , ∠ 2_____∠3,

      ∴AB_____CD  ,  AD_____BC,

      ∴四边形ABCD是________________.                 

要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对边分别_________的四边形是平行四边形.

          几何语言描述：在四边形ABCD中, ∵AB=CD,AD=BC,

∴四边形ABCD是_________________.

典例精析

例1如图, 在Rt△MON中, ∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．

例2如图, 在△ABC中, 分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边

△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．

针对训练

如图, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求证：四边形ABCD是平行四边形.

探究点2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

猜一猜  对于两组对角分别相等的四边形的形状你的猜想是什么?

证一证

已知：四边形ABCD中, ∠A=∠C, ∠B=∠D,

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：∵∠A+∠C+∠B+∠D=_______°,

又∵∠A=∠C, ∠B=∠D,

∴___∠A+___∠B=_______°,

即∠A+∠B=______°,

∴ AD_____BC.同理得 AB_____CD,

∴四边形ABCD是________________.

要点归纳：平行四边形的判定定理：两组对角分别________的四边形是平行四边形.

          几何语言描述：在四边形ABCD中, ∵∠A=______, ∠B=______,

∴四边形ABCD是_______________.

典例精析

例3 如图, 在四边形ABCD中, AB∥DC, ∠B＝55°, ∠1＝85°, ∠2＝40°.

(1)求∠D的度数；

(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．

针对训练

1.判断下列四边形是否为平行四边形：

2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值为        （      ）

A.  1:2:3:4       B.  1:4:2:3        C.  1:2:2:1         D.  3:2:3:2

探究点3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

猜一猜  如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠, 用小钉固定在一起, 用橡皮筋连接木条的顶点, 做成一个四边形ABCD.转动两根木条, 四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？

证一证 

已知：四边形ABCD中, OA=OC, OB=OD.

求证：四边 形ABCD是平行四边形.

证明：在△AOB和△COD中,

        OA=OC,

        ∠AOB=∠COD,  ∴△AOB______△COD(________).

        OB=OD,

          ∴ ∠BAO_____∠OCD , ∠ ABO_____∠CDO,

          ∴AB_____CD  ,  AD_____BC,

          ∴四边形ABCD是________________.                 

要点归纳：平行四边形的判定定理：对角线互相________的四边形是平行四边形.

          几何语言描述：在四边形ABCD中, ∵AO_____CO,DO_____BO,

∴四边形ABCD是______________.

典例精析

例4(教材P46例3变式题)如图, AC是平行四边形ABCD的一条对角线, BM⊥AC于M, DN⊥AC于N, 四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由.

例5昨天李明同学在生物实验室做实验时, 不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片,只剩下如图所示部分,他想回家去割一块赔给学校, 带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全, 于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图纸去就行了, 可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(A,B,C为三顶点,即找出第四个顶点D)？(请用多种方法)

针对训练

1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是                   （      ）

A.两组对边分别相等           B.两条对角线互相平分

C.两条对角线相等             D.两组对边分别平行

2.   如图, 在四边形ABCD中, AC与BD交于点O.如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,BO=_____cm时, 四边形ABCD是平行四边形.

二、课堂小结

1.判断对错:

(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形.                               (       )(2)有两条边相等, 并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形      (       )

(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形                               （      ） (4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形                    (       )

(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形                  (       ）2.如图, 四边形ABCD的对角线交于点O, 下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）

A．OA=OC, OB=OD         B．AB=CD, AO=CO

C．AB=CD, AD=BC         D．∠BAD=∠BCD, AB∥CD

3. 如图, 在四边形ABCD中,

(1)如果AB∥CD, AD∥BC, 那么四边形ABCD是 __________.

(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b为正数),那么四边形ABCD是__________.

(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么当BC=_______cm,CD=_____cm时,四边形ABCD为平行四边形.

4.如图, 五边形ABCDE是正五边形, 连接BD、CE, 交于点P． 求证：四边形ABPE是平行四边形．

5. 如图, 已知E, F, G, H分别是平行四边形ABCD的边AB, BC, CD, DA上的点, 且AE=CG, BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．

7.   学校买了四棵树, 准备栽在花园里, 已经栽了三棵（如图）, 现在学校希望这四棵树能

组成一个平行四边形, 你觉得第四棵树应该栽在哪里？

第十八章  平行四边形

18.1.2  平行四边形的判定

第2课时  平行四边形的判定（2）

学习目标：1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.

2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.

重点：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.

难点：平行四边形的性质与判定的综合运用.

一、知识回顾

1.上节课我们学习了判定一个四边形为平行四边形的方法有哪几种？

二、要点探究

探究点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

想一想  我们知道, 两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边, 它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？对于这个问题, 有以下两种猜想：

猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形；

猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.这两种猜想对吗？如果不对, 你能举出反例吗？

活动   如图, 将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD, 连接AD, BC, 由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？

猜一猜 经历了上面的活动, 你现在能猜出, 一组对边满足什么条件的四边形是平行四边形吗？

一组对边平__________________的四边形是平行四边形.

证一证

如图, 在四边形ABCD中, AB=CD且AB∥CD,

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明：连接AC.

      ∵AB∥CD,  ∴∠1=∠2.

      在△ABC和△CDA中,

        AB=CD,

        ∠1=∠2,  ∴△ABC_____△CDA(________).

        AC=CA,

      ∴ BC=DA.

      又∵AB= CD,

      ∴四边形ABCD是________________.   

要点归纳：平行四边形的判定定理：一组对边________________的四边形是平行四边形.

          几何语言描述：在四边形ABCD中, ∵AB∥CD,AB=CD,

∴四边形ABCD是平行四边形.

典例精析

例1如图, 点A, B, C, D在同一条直线上, 点E, F分别在直线AD的两侧, AE=DF, ∠A=∠D, AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．

变式题 如图, 点C是AB的中点, AD=CE, CD=BE．

（1）求证：△ACD≌△CBE；

（2）求证：四边形CBED是平行四边形.

针对训练

1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD, AB=CD, BC∥AD, BC=AD, 从中任选两个, 不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是                        （　　）

A．AB∥CD, AB=CD

B．AB∥CD, BC∥AD

C．AB∥CD, BC=AD

D．AB=CD, BC=AD

2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形, 求证：四边形ABCD 是平行四边形.

探究点2：平行四边形的性质与判定的综合运用

典例精析

例2 如图, △ABC中, BD平分∠ABC, DF∥BC, EF∥AC, 试问BF与CE相等吗？为什么？

例3 如图, 将▱ABCD沿过点A的直线l折叠, 使点D落到AB边上的点D′处, 折痕l交CD边于点E, 连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.

方法总结:此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=

∠D′EA, 再结合平行四边形的判定及性质进行解题.

针对训练

1.四边形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, 给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件, 能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(　　)

A．3种　　B．4种　　C．5种　　D．6种

2.如图, 在▱ABCD中, E, F分别是AB, CD的中点, 连接DE, EF, BF, 写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形.

二、课堂小结

1.在▱ABCD中, E、F分别在BC、AD上, 若想要使四边形AFCE为平行四边形, 需添加一个条件, 这个条件不可以是                             （    ）                        A．AF=CE                         B．AE=CF  

C．∠BAE=∠FCD                   D．∠BEA=∠FCE

2.已知四边形ABCD中, AB∥CD, AB=CD, 周长为40cm, 两邻边的比是3：2, 则较大边的长度是（　 ）

A．8cm                      B．10cm

C．12cm                      D．14cm

3.如图, 在平行四边形ABCD中, EF∥AD, HN∥AB, 则图中的平行四边形的个数共有____个.

4.如图, 点E, C在线段BF上, BE=CF, ∠B=∠DEF, ∠ACB=∠F, 求证：四边形ABED为平行四边形．

5. 如图, △ABC中, AB=AC=10, D是BC边上的任意一点, 分别作DF∥AB交AC于F, DE∥AC交AB于E, 求DE+DF的值．

能力提升