北师大版九年级下册1 二次函数一等奖教案

第二章  二次函数

2  二次函数的图像与性质

课时5 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质

1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.

2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.

3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.

把数学问题与实际问题相联系的过程.

1.一位同学在练习中用描点法画函数y＝(x－2)2＋1的图象时，画出如图2－2－64所示的图象，你能帮他分析一下原因吗？

师生活动：出示问题情境，让学生自主思考．

2.请同学们画出二次函数y＝(x－2)2＋1的图象的草图.

师生活动：学生独立完成，教师对学生作业进行展示评价，强调先确定顶点，再按图象对称性进行取值.

(1)你能直接画出二次函数y＝x2－2x＋4的图象吗？若不能，应该如何思考？

(2)你能把二次函数y＝x2－2x＋4化成y＝a(x－h)2＋k的形式吗？

(3)请画出二次函数y＝(x－1)2＋3的图象的草图．思考：y＝(x－1)2＋3与y＝x2－2x＋4这两个函数有什么关系？

【探究1】 师：你知道吗(多媒体出示引入问题)，当火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示．

图2－2－65

问题：经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？

本题转化为数学问题，即求在二次函数h＝－5t2＋150t＋10中，当t为何值时，h最大？最大值是多少？如何解决最大值问题？

用配方法．先化成顶点式，再确定最值，利用二次函数顶点式y＝a(x－h)2＋k(a<0)，当x＝h时，y有最大值，最大值是k.

请同学们试着完成此题．(教师巡视学生解决问题的过程，对学习有困难的学生给予帮助)

解：h＝－5t2＋150t＋10

＝－5(t2－30t－2)

＝－5(t2－30t＋152－152－2)

＝－5(t－15)2＋1135，

∴当t＝15时，h有最大值，最大值是1135.

∴经过15 s，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135 m.

小结：解决二次函数的最值问题时，可以用配方法先将一般式化成顶点式，再确定其最值．

【探究2】 求二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴和顶点坐标公式．

请将二次函数y＝ax2＋bx＋c利用配方法化成顶点式，再写出它的图象的对称轴和顶点坐标．

解：把y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得

y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x＋)(提取二次项系数)

＝a(配方：括号内加上再减去一次项系数一半的平方)

＝a＋.(整理)

∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是直线x＝－，

顶点坐标为(－，).

总结：①提取二次项系数；

②括号内加上再减去一次项系数一半的平方；③整理.

对称轴对应的数字与顶点式括号内的常数互为相反数．利用一分钟时间记忆对称轴和顶点坐标公式.

【探究3】 联系生活(二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的应用)．

图2－2－66所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y＝x2＋x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．

(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少？

(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？

(3)你是怎样计算的？与同伴进行交流．         图2－2－66

分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x－h)2＋k的形式，即顶点式．

在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢？请互相交流．

分析：因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是所有的对应点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即y不变，x换为－x代入计算即可．

例1　求二次函数y＝2x2－8x＋7图象的对称轴和顶点坐标．

例2　已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求抛物线的顶点坐标．

例3　用6 m长的铝合金做一个形状如图2－2－67所示的矩形窗框，当做成长、宽各为多少时，才能使做出的窗框透光面积最大？

                    图2－2－67

例4 如图2－2－68，一小球从斜坡点O处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画.          

图2－2－68

(1)求小球到达的最高点的坐标；

(2)小球的落点是A，求点A的坐标.

例5　有心理学家研究发现，学生对某概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(min)之间满足函数关系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题：

(1)x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？

(2)经过多长时间，学生的接受能力最强？

总结：①提取二次项系数；

②括号内加上再减去一次项系数一半的平方；③整理.

对称轴对应的数字与顶点式括号内的常数互为相反数．利用一分钟时间记忆对称轴和顶点坐标公式.

1．课本P41随堂练习

2．课本P41习题2.5中T2、T3、T4.