2021年中考数学考前小题抢分王：15勾股定理（含解析）

这是一份2021年中考数学考前小题抢分王：15勾股定理（含解析），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )
A．10 B．4eq \r(5) C．10和4eq \r(5) D．10或2eq \r(17)
2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积验证勾股定理，图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．90 B．100 C．110 D．121

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2eq \r(3)，则四边形MABN的面积是( )
A．6eq \r(3) B．12eq \r(3) C．18eq \r(3) D．24eq \r(3)

4．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值，则67.5°角的正切值是( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(2)＋1 C．2.5 D.eq \r(5)
5．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为( )
A.eq \f(25,8) cm B.eq \f(25,4) cm C.eq \f(25,2) cm D．8 cm
二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
6．如图所示：∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝______．

第6题图 第7题图
7．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题(共18分)
8．(18分)阅读下列材料并解答相关问题：
正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．
数学老师给小明同学出了一道题目：在图①正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△ABC，使AB＝AC＝eq \r(5)，BC＝eq \r(2)；

图① 图②
小明同学的做法是：由勾股定理，得AB＝AC＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，BC＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC.
(1)请你参考小明同学的做法，在图②正方形网格(每个小正方形边长为1)中画出格点△A′B′C′(A′点位置如图②所示)，使A′B′＝A′C′＝5，B′C′＝eq \r(10)(直接画出图形，不写过程)；
(2)观察△ABC与△A′B′C′的形状，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
参考答案
1. C 解析：根据题意复原直角三角形可能有以下两种情况：
根据题目条件知，点M、N分别是三角形斜边的中点，由相似三角形的性质可以得到如图所示的各线段的长度，从而由勾股定理得到三角形的斜边是10或4eq \r(5).
2. C 解析：延长AC交LM于点P，延长AB交KL于点O.
易证△ABC≌△PCG≌△QFB，
所以BQ＝AC＝4，PC＝AB＝3，
所以MJ＝3＋4＋3＝10，
JK＝4＋3＋4＝11，所以矩形KLMJ的面积为10×11＝110，故选C.
3. C 解析：连接CD，交MN于点E，
∴MN⊥CD，且CE＝DE，又MN∥AB，∴MN是Rt△ABC的中位线．
在Rt△CMN中，MN＝6，NC＝2eq \r(3)，则MN＝eq \r(CM2＋CN2)＝eq \r(36＋12)＝4eq \r(3)，
∴AB＝2MN＝8eq \r(3)，DE＝CE＝eq \f(CM×CN,MN)＝eq \f(6×2\r(3),4\r(3))＝3，
∴四边形MABN的面积＝eq \f(1,2)(MN＋AB)×DE＝18eq \r(3).
4. B 解析：设AB＝a，则BE＝a，在Rt△ABE中，∠BEA＝∠BAE＝45°，由勾股定理，得AE＝eq \r(AB2＋BE2)＝eq \r(a2＋a2)＝eq \r(2)a，易知AE＝FE，则∠EAF＝∠EFA＝22.5°，EF＝eq \r(2)a，则BF＝BE＋EF＝(eq \r(2)＋1)a，则∠BAF＝∠BAE＋∠EAF＝67.5°，则tan ∠BAF＝ tan67.5°＝eq \f(BF,AB)＝eq \r(2)＋1，故选B.
5. B 解析：设AF＝x cm，则D′F＝DF＝(8－x) cm，由折叠可知，AB＝AD′＝6 cm，在Rt△AD′F中，根据勾股定理，得AD′2＋D′F2＝AF2，
所以62＋(8－x)2＝x2，解得x＝eq \f(25,4)，故选择B.
6. eq \f(10,3) 解析：由题意知AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝eq \r(42＋32)＝5，
又△ABC∽△ADE，∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，∴AD＝eq \f(AB·AE,AC)＝eq \f(5×2,3)＝eq \f(10,3).
7. 4.5 解析：在Rt△ABE中，∠E＝90°，AE＝BE，AB＝3，
所以S△ABE＝eq \f(9,4).
因为AC2＋BC2＝AB2，所以S△ABC＋S△CBF＝eq \f(1,4)AC2＋eq \f(1,4)BC2
＝eq \f(1,4)AB2＝S△ABE＝eq \f(9,4)，所以阴影部分的面积为4.5.
8. 解：(1)如图．(6分)
(2)猜想：∠BAC＝∠B′A′C′.(8分)
证明：∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(\r(2),\r(10))＝eq \f(\r(5),5)，
∴eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(BC,B′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′.(18分)