初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品测试题

2021年人教版八年级下册17.1《勾股定理》同步培优卷

一．选择题

1．如图所示，点B，D在数轴上，OB＝3，OD＝BC＝1，∠OBC＝90°，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（　　）

A． B．+1 C．﹣1 D．不能确定

2．如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（　　）

A．7 B．10 C．20 D．25

3．如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（　　）

A． B． C． D．

4．如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A．13cm2 B．26cm2 C．48cm2 D．52cm2

6．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（　　）

A．25 B．14 C．7 D．7或25

7．如图，甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边最长的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．一样长

8．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，两直角边长及斜边上的高分别为a，b，h，则下列关系式成立的是（　　）

A． B． 

C．h2＝ab D．h2＝a2+b2

二．填空题

9．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，﹣3），那么点P到原点O的距离OP的长度为　   　．

10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝　   　．

11．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝　   　．

12．已知点A（3，3），B（0，t），C（7，0），且AB＝AC，则t＝　   　．

13．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，若△ACD为以AC为腰的等腰三角形，则DC的长为　   　．

14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）．在运动过程中，当t为　   　时，△BCP为等腰三角形．

三．解答题

15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．

（1）求CD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

16．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD∥AC，交∠ACB的平分线CD于点D，CD交BC于点E．

（1）求证：BC＝BD；

（2）若AC＝3，AB＝6，求CD的长．

17．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

18．三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，若AC＝2，求CD的长．

19．如图，△ABC中，AC＝21，BC＝13，点D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．

（1）求证：BD⊥AC；

（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．

20．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．

（1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝　   　；

（2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．

答案

一．选择题

1．解：由题意可得：BD＝4，BC＝1

则CD＝＝，

A点对应的实数为：﹣1，

选：C．

2．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，

由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，

∵S1＝9，S2＝16，

∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．

选：D．

3．解：∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项A不符合题意；

∵＝＝，可能是“格点线”的长度，选项B不符合题意；

∵＝3，可能是“格点线”的长度，选项C不符合题意；

∵＝，不可能是“格点线”的长度，选项D符合题意；

选：D．

4．解：∵PM⊥OB于点M，OM＝4，OP＝5，

∴PM＝3，

当PN⊥OA时，PN的值最小，

∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，

∴PM＝PN，

∵PM＝3，

∴PN的最小值为3．

选：B．

5．解：∵∠C＝90°，

∴a2+b2＝c2＝144，

∴（a+b）2﹣2ab＝144，

∴196﹣2ab＝144，

∴ab＝26，

∴S△ABC＝ab＝13cm2．

选：A．

6．解：分两种情况：

①当3和4为两条直角边长时，

由勾股定理得：第三边长的平方＝斜边长的平方＝32+42＝25；

②当4为斜边长时，

第三边长的平方＝42﹣32＝7；

综上所述：第三边长的平方是7或25．

选：D．

7．解：由勾股定理可知甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边的平方分别为：

甲：（2018+2019）2+20202；

乙：（2018+2020）2+20192；

丙：（2019+2020）2+20182．

∵（2018+2019）2+20202﹣[（2018+2020）2+20192]

＝40372+20202﹣40382﹣20192

＝（40372﹣40382）+（20202﹣20192）

＝（4037+4038）（4037﹣4038）+（2020+2019）（2020﹣2019）

＝﹣8075+4039

＝﹣4036＜0，

∴甲的斜边的小于乙的斜边；

∵（2018+2020）2+20192﹣[（2019+2020）2+20182]

＝40382+20192﹣40392﹣20182

＝（40382﹣40392）+（20192﹣20182）

＝（4038+4039）（4038﹣4039）+（2019+2018）（2019﹣2018）

＝﹣8077+4037

＝﹣4040

＜0，

∴乙的斜边的小于丙的斜边，

∴斜边最长的是丙．

选：C．

8．解：设斜边为c，根据勾股定理得出c＝，

∵ab＝ch，

∴ab＝•h，即a2b2＝a2h2+b2h2，

∴＝+，

即．

选：B．

二．填空题

9．解：∵点P的坐标为（1，﹣3），点O为坐标原点，

∴OP＝＝．

答：点P到原点O的距离OP的长度为．

答案为：．

10．解：在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，

在Rt△BCD中，BC＝＝，

在Rt△ABC中，BC＝＝，

∴＝，

解得，BD＝9，

答案为：9．

11．解：∵△ABH≌△BCG，

∴BG＝AH＝12，

∵四边形EFGH都是正方形，

在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．

∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，

答案为：4．

12．解：依题意，得＝．

解得t＝7或t＝﹣1．

答案是：7或﹣1．

13．解：①当AC＝CD时，

∵AC＝6，

∴CD＝6时，△ACD是以AC为腰的等腰三角形；

②当AC＝AD′时，过点C作CE⊥AB于点E，

∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝＝10，

∵•AC•BC＝•AB•CE，

∴EC＝

∴AE＝＝＝，

∴ED′＝AD′﹣AE＝6﹣＝，

∴CD′＝＝＝，

综上所述，CD的长为6或．

答案为：6或．

14．解：当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，可分三种情况：

①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图1，

∵PC＝PB，

∴∠B＝∠PCB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠PCB+∠ACP＝90°，∠B+∠A＝90°，

∴∠A＝∠ACP，

∴AP＝PC，

∴PB＝AB，即5﹣2t＝，

解得：t＝，

②PB＝BC，

即5﹣2t＝3，

解得：t＝1，

③PC＝BC，

如图3，过点C作CD⊥AB于点D，

∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，

∴AC＝＝＝4（cm）．

∵S△ABC＝×AB×CD，

∴CD＝＝，

∴BD＝＝，

∵PC＝BC，CD⊥AB，

∴BD＝BP，

∴＝×（5﹣2t），

解得：t＝，

∴当t＝1或或时，△BCP为等腰三角形．

答案为：1或或．

三．解答题

15．解：（1）延长BA、CD交于点H，如图所示：

∵∠B＝∠ADC＝90°，∠C＝60°，

∴∠ADH＝90°，∠H＝30°，

∴HA＝2AD＝4，CH＝2BC，

∴DH＝＝＝2，BH＝HA+AB＝4+5＝9，

∵BH＝＝＝BC＝9，

∴BC＝3，

∴CH＝2BC＝6，

∴CD＝CH﹣HD＝6﹣2＝4；

（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积＝×3×9﹣×2×2＝．

16．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝×90°＝45°，

∵BD∥AC，

∴∠D＝∠ACD＝45°，

∴∠D＝∠BCD，

∴BC＝BD；

（2）解：在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，

∴BD＝3，

∵∠BCD＝∠D＝45°，

∴∠CBD＝90°，

∴CD＝＝＝3．

17．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，

设BD＝x，则CD＝14﹣x，

由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，

∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，

解得：x＝9，

∴AD＝12，

∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84．

18．解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，

∴∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝4．

∴BC＝＝＝2，

∵AB∥CF，

∴∠BCM＝∠ABC＝30°，

∴BM＝BC＝，

∴CM＝＝3，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，

∴∠EDF＝45°，

∴MD＝BM＝，

∴CD＝CM﹣MD＝3﹣．

19．解：（1）∵AC＝21，AD＝16，

∴CD＝AC﹣AD＝5，

∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，

∴∠BDC＝90°，

∴BD⊥AC．

（2）当DE⊥AB时，DE最短，

∵AB＝＝20，

∵•AD•DB＝•AB•DE，

∴DE＝＝9.6，

∴线段DE使得最小值为9.6．

20．解：（1）∵DC＝BC＝6，

∴2t＝6，

解得：t＝＝3，

当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝3；

答案为：3；

（2）△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，

∴AB＝＝10，

∴△ABC的周长＝6+8+10＝24，

①当点D在CA上运动时，如图1，BC+CD＝AB+AD，

即6+2t＝，

解得：t＝3；

②当点D在AB上运动时，如图2，AC+AD＝BD+BC，

即2t＝，

解得：t＝6；

③当点D在BC上运动时，如图3，AB+BD＝CD+AC，

即2t﹣8＝，

解得：t＝10；

综上所述，t的值是3或6或10．