专题25 椭圆（解答题）（新高考地区专用）（原卷版）

专题25   椭 圆（解答题）

1．已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且．

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： 的左焦点为F1(－2，0)，且点P(0，2)在椭圆C1上．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝8x相切，求直线l的方程

3．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、．设是椭圆上一点，满足⊥轴，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积．

4．椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值．

5．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求的方程；

（2）点在上，且，证明：直线过定点．

6．已知椭圆的离心率为，且过点，右顶点为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作两条直线分别交椭圆于点，满足直线，的斜率之和为，求点到直线距离的最大值．

7．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，．过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

8．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．

9．已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点且斜率为k的直线与椭圆C交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点D，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．

10．已知椭圆：（）过点，，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴交于点（，不重合），轴，垂足为，求证：．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

12．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且与圆交于两点，求的取值范围．

13．已知椭圆：（）的离心率为，右顶点、上顶点分别为、，原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，为椭圆上两不同点，线段的中点为．

①当的坐标为时，求直线的直线方程

②当三角形面积等于时，求的取值范围．

14．已知椭圆的离心率，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点和点，过点的动直线交椭圆于两点（在左侧），试讨论与的大小关系，并说明理由．

15．已知椭圆的右焦点为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值．

16．已知椭圆．

（1）求椭圆的离心率和长轴长；

（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点． 是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由．

17．已知椭圆过点，且的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围．

18．已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上．

19．椭圆C：的左、右焦点分别为F1、，过向圆：引切线F1T（T为切点），切线F1T的长为，且椭圆的离心率为，

（1）求椭圆C的方程；

（2）设为圆上的动点，O为坐标原点，过F2作OM的平行线，交椭圆C于G，H两点，求MGH的面积的最大值．

20．已知椭圆：()的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．

21．如图，点是椭圆：()的一个顶点，的长轴是圆：的直径．，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）当的面积取得最大值时，求直线的方程．

22．已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形的面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线，的交点为T，求证：点T横坐标为定值．

23．已知椭圆的长轴长是焦距的倍，且过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P是圆心在原点O，半径为的圆O上的一个动点，过点P作椭圆的两条切线，且分别交其圆O于点E､F，求动弦长的取值范围．

24．椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，当轴时，．

（1）求的方程；

（2）若直线与轴交于点，直线，垂足为(不与重合)，求证：直线平分线段．

25．椭圆过点，其上､下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若，求证：直线过定点．

26．椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点O为坐标原点，求面积S的取值范围．

27．已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率为的直线经过点，且直线与椭圆交于点（不在轴上），若点在轴的负半轴上，是等边三角形，求的值．

28．已知点为椭圆上一点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点作直线，，与椭圆分别交于点，．

（1）求椭圆的标准方程与离心率；

（2）若直线，的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值．

29．已知椭圆C：（）的两个顶点分别为点，，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作的垂线交于点E．证明：与的面积之比为定值．

30．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．

①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证：k1k2＋k3k4为定值；

②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．

31．如图，已知椭圆，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆上，点D在第一象限．CB的延长线交椭圆于点E，直线AE与椭圆､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆于点H，DA的延长线交FH于点M．

（1）设直线AE､CG的斜率分别为､，求证：为定值；

（2）求直线FH的斜率k的最小值；

（3）证明：动点M在一个定曲线上运动．

32．已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，为等腰三角形，当轴时，的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线不与坐标轴垂直，线段的中垂线与轴交于点，若直线的斜率为，求直线的方程．

33．已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：．

34．已知椭圆的离心率为，且经过点．

（1）求椭圆的方程及其长轴长；

（2），分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴下方，直线交轴于点，若的面积比的面积大，求点的坐标．

35．已知圆：()，O为平面直角坐标系的原点，点，M是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点P

（1）求点P的轨迹E的方程．

（2）已知点A为轨迹E上异于顶点的任意一点，连接并延长交轨迹E与于点B，点N是点B在x轴上的投影，连接并延长交轨迹E于点C，若，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

36．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8．

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

37．已知椭圆经过点和．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，且坐标原点到直线的距离为．求证：以为直径的圆经过点．

38．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线，分别与椭圆C交于A，B，C，D四点，且，的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M，N分别是，的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

39．已知中心在坐标原点的椭圆，其焦点分别为，，点为椭圆上一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与轴交于点，由点引另一直线交椭圆于两点．是否存在实数，使得直线的斜率成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

40．已知在平面直角坐标系中，圆：的圆心为，过点任作直线交圆于点，过点作与平行的直线交于点．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设动点的轨迹与轴正半轴交于点，过点且斜率为的两直线交动点的轨迹于两点（异于点），若，证明：直线过定点．