专题16 数列（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题16 数列（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共49页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题16 数 列（客观题）
一、单选题
1．在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则
A．15 B．16
C．17 D．18
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上期中考试（理）
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式对变形可解得结果．
【解析】由得，
将代入得，
因为，所以，得．故选B
【名师点睛】掌握等差数列的通项公式和前项和公式是解题关键．
2．设等差数列的前n项和为，且，则
A．9 B．6
C．3 D．0
【试题来源】山西省2021届高三上学期八校联考（文）
【答案】A
【分析】由题可得，再由等差数列的性质即可求出．
【解析】因为，所以，
从而．故选A．
3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若．且，则解下6个环所需的最少移动次数为

A．13 B．16
C．31 D．64
【试题来源】海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考
【答案】C
【分析】根据已知的递推关系求，从而得到正确答案．
【解析】，，
，，，，
，所以解下6个环所需的最少移动次数为．故选C．
4．数列，满足，，则
A．-2 B．-1
C．2 D．
【试题来源】甘肃省天水市甘谷县2020-2021学年高三上学期第四次检测（文）
【答案】D
【分析】根据递推公式，确定数列的周期，进而可得出结果．
【解析】由，，
可得，，，，
则，因此，
由此可得数列是以3为周期的周期数列，
故．故选D．
5．在前n项和为的等差数列中，若，则
A．24 B．12
C．16 D．36
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】B
【分析】由等差数列的性质和已知条件可得，结合等差数列的求和公式即可求出．
【解析】因为，且，则，
有，则．故选B．
6．若数列为等差数列，且，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】C
【分析】求出公差和，再利用诱导公式求出结果即可．
【解析】，，
，故选C.
7．在1和2两数之间插入个数，使它们与1，2组成一个等差数列，则当时，该数列的所有项和为
A．15 B．16
C．17 D．18
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】D
【分析】根据等差数列的前项和公式，即可求解．
【解析】设在1和2两数之间插入个数，使它们与1，2组成一个等差数列，
可得，
所以数列的所有项和为．故选D．
8．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则
A． B．
C．1 D．2
【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试
【答案】C
【分析】根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解．
【解析】因为是公差为d的等差数列，且，
所以，解得，故选C.
9．在等差数列中，若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习
【答案】C
【分析】根据，利用“”法求解．
【解析】在等数列中，，所以，解得，
所以，故选C.
10．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．”题意是有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为
A．5 B．4
C．3 D．2
【试题来源】四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试（文）
【答案】C
【分析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值．
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以．设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以．所以，即，化简得，解得或(舍)，故选C.
11．等比数列的前项和为，若，，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【分析】求出、的值，进而可求得、的值，然后利用等比数列的求和公式可求得的值．
【解析】在等比数列中，，，则为递增数列，，
由已知条件可得，解得，，，
因此，．故选A．
12．已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且．设函数，记，则数列的前项和为
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，利用数列的和，求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．
【解析】因为，
由，得，
又也满足上式，所以，
则为常数，所以数列为等差数列；所以，
．
则数列的前项和为，
记，则，
所以，因此．故选D．
【名师点睛】求解本题的关键在于先由数列的前项和确定数列是等差数列，得出为定值，结合诱导公式，推出为定值，利用倒序相加法，即可求解．
13．已知数列是正项等比数列，且，又，，成等差数列，则的通项公式为
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考（文）
【答案】D
【分析】先由题意，设数列的公比为，由题中条件，列出等式求出首项和公比，即可得出结果．
【解析】由题意，设数列的公比为，
因为，所以，解得（负值舍去）；
又，，成等差数列，所以，即，
则，解得， ．故选D．
14．已知数列满足，设，为数列的前n项和．若对任意恒成立，则实数t的最小值为
A．1 B．2
C． D．
【试题来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考（理）
【答案】C
【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值．
【解析】时，，因为，
所以时，，
两式相减得到，故时不适合此式，
所以，当时，，
当时，，
所以；所以t的最小值；故选C．
【名师点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．
15．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考
【答案】D
【分析】根据题意求出数列的首项和公差，再求出，可得出是单调递增数列，即可判断．
【解析】设等差数列的公差为，，，
，解得，，
，，可得是单调递增数列，
所以在，，，中，最大的为．故选D．
16．已知正项等比数列中，，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省峨眉第二中学校2020-2021学年高三上学期11月月考（理）
【答案】D
【分析】根据，然后与，可得，再利用等比数列的性质计算，可得结果．
【解析】在正项等比数列中，，由，所以，又，所以，所以，故选D.
17．设数列的前项和为，且，若，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省八校2020-2021学年高三摸底考试（文）
【答案】D
【分析】由已知得，解之可得选项．
【解析】因为，，所以，解得，故选D．
18．已知数列，它的前n项和，则的值为
A．13 B．14
C．15 D．16
【试题来源】山西省运城市河津中学2021届高三上学期阶段性测评（文）
【答案】A
【解析】，故选A.
19．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何?”意思是“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为
A．7 B．8
C．9 D．10
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】D
【分析】设该女子第一天织布尺，根据题意，求得尺，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解．
【解析】设该女子第一天织布尺，则5天共织布，解得尺，在情境模拟下，设需要天织布总尺数达到165尺，则有整理得，解得．故选D．
20．已知等比数列的前项和为，设，那么数列的前15项和为
A．16 B．80
C．120 D．150
【试题来源】海南省海口市海南中学2021届高三上学期第四次月考
【答案】C
【分析】根据分和，利用“”法求得，进而求得，然后利用等差数列的前n项和公式求解．
【解析】因为若，则 ，不成立，
所以，则，解得，
所以，所以，
所以数列的前15项和为，故选C．
21．为正项等差数列的前项和，，则
A．3 B．
C．2 D．
【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】B
【分析】根据数列为正项等差数列，且，利用等差数列的性质求解．
【解析】因为数列为正项等差数列，且，
所以，解得，故选B.
22．等比数列中，，，则的前8项和为
A．90 B．
C． D．72
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】A
【分析】由题可得也成等比数列，即可求出，得出前8项和．
【解析】是等比数列，也成等比数列，
，，，
前8项和为．故选A．
23．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则
A．1 B．2
C．3 D．5
【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测
【答案】A
【分析】根据，递推得到数列，然后再得到数列是以6为周期的周期数列求解．
【解析】因为，
所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
此数列各项除以4的余数依次构成的数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，0，…
是以6为周期的周期数列，所以，故选A.
24．等差数列的首项为，公差不为，若、、成等比数列，则前项的和为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】B
【分析】利用已知条件求得等差数列的公差，然后利用等差数列的求和公式可得结果．
【解析】设等差数列的公差为，则，
由于、、成等比数列，则，即，可得，
，解得，因此，数列的前项和为．故选B．
25．已知一个等比数列的公比，且前5项和为，，则
A．2 B．24
C．8 D．4
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理）
【答案】C
【分析】由可求出公比，再利用求出首项，即可求出．
【解析】由得，化简得，
整理得，解得或（舍），得，
所以，所以，
．故选C．
26．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推． 在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想． 在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为
A．辛丑年 B．庚子年
C．己亥年 D．戊戌年
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）
【答案】B
【分析】由题意可得数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，以1980年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
【解析】由题意可得数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，
从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，以1980年的天干和地支分别为首项，
则余数0，则2080年天干为庚，余数为，则2080年地支为子，
所以2080年为庚子年．故选B.
【名师点睛】本题的关键点是由题意得出数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，1980年为庚申年，计算余数0，则2080年天干为庚，余数为，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年．
27．在等差数列中，，则
A．5 B．8
C．11 D．14
【试题来源】山西省运城市河津中学2021届高三上学期阶段性测评（理）
【答案】C
【分析】由等差数列的性质，可求得，然后利用成等差数列直接写出结果．
【解析】，所以．因为为等差数列，．故选C．
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，考查等差数列的性质．本题用到的性质：
（1）是等差数列，是等差数列，且均为正整数，则仍然是等差数列；（2）．
28．已知数列为等差数列，首项为2，公差为3，数列为等比数列，首项为2，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是
A．8 B．9
C．10 D．11
【试题来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试（A）
【答案】A
【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列的前项和，验证得答案．
【解析】由题意得，，，
… …
… ，
当时，；
当时，，的最大值为．故选A．
29．已知数列满足，且，则当取得最大值时，
A． B．
C． D．
【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第四次质量检测（理）
【答案】B
【分析】先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案．
【解析】因为，
所以，所以数列是等差数列，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以
因为，，且，
所以当时，取最大值2．故选B．
【名师点睛】判定一个数列为等差数列的常见方法是（1） 定义法：（是常数），则数列是等差数列（2） 等差中项法：（），则数列是等差数列；（3） 通项公式：(为常数)， 则数列是等差数列；（4） 前n项和公式：(为常数) ， 则数列是等差数列．
30．若，则、、、中值为的共有
A．个 B．个
C．个 D．个
【试题来源】山西省运城市2021届高三（上）期中（理）
【答案】B
【分析】计算出，，并推导出，可得出，，据此可求得结果．
【解析】由于，，，
，，，
所以，，
所以，，
，所以，，则，，
因此，、、、中值为的共有个．故选B．
【名师点睛】本题考查数列求和，解题的关键利用诱导公式推导出，得出数列的周期性，利用数列的周期性来解题．
31．已知正项等比数列的首项为，且．记为数列的前n项的积，若中仅有最大，则实数m的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期第三次月考（理）
【答案】B
【分析】由等比数列的通项公式可求出公比，结合最大可得，从而可求出实数m的取值范围．
【解析】设等比数列的公比为q，有，解得或(舍去)，
由中仅有最大，有，有，可得．故选B．
【名师点睛】本题的关键是由中仅有最大得．
32．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）
【答案】C
【分析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．
【解析】由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，
因为，所以实数k的取值范围是．故选C．
【名师点睛】最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知灵活选择合适的方法求解．
33．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】D
【分析】利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”是公比为的等比数列，进而结合题意可知数列是公比为的等比数列，由此可得，即可得解．
【解析】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，
所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，
若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，
即正项数列是公比为的等比数列，
因为，因此，．故选D．
【名师点睛】本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为的等比数列，解题要将这种定义应用到数列中，推导出数列为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解．
34．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分．清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】D
【分析】设十二个节气其日影长依次成等差数列，首先利用已知条件求出的通项公式，计算即可求解．
【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列，
由题意可得，即，解得，
因为，所以，解得
所以的公差，
所以，
所以谷雨日影长为，故选D
【名师点睛】本题解题的关键是读懂题意利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式求出其通项公式，问题即可迎刃而解．
35．设为数列的前项和，，则数列的前项和为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】B
【分析】由求得，在时，由得的递推式，按的奇偶分类讨论求得．然后由已知式计算，再计算的前7项和．
【解析】因为，所以时，，即，，
由已知，
时，(*)，
(*)式中为偶数时，，，此时为奇数，
所以为奇数时，(*)式中为奇数时，，，即，此时为偶数，所以为偶数时，，
所以，由，得
为奇数时，，为偶数时，，
所以数列的前7项和为．故选B．
【名师点睛】本题考查求数列的前项和．解题关键是确定通项公式，为此利用时，得递推关系，然后按的奇偶分类计算求解．最后确定数列中的各项，求出前7项和．
36．已知数列的前项和为，且满足，则
A． B．
C． D．
【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】D
【分析】首先通过列举数列的项，得到数列是周期数列，利用周期判断选项．
【解析】，，，，……
所以数列是以3为周期的周期数列，前三项和，
，，所以，
，，所以．故选D
【名师点睛】本题的关键是根据递推公式，列举数列中的项，判断数列是周期数列．
37．已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】由，可得，即，所以从而可得，得出答案．
【解析】若存在，由，则可得或，
由可得，由可得
所以中恒有，由，可得
所以，即，所以

，所以，
即，所以，则，所以，故选C.
38．已知函数，给出三个条件：①；②；③．从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（文）（3－2）试题
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义对3个条件一一判断即可．
【解析】已知函数，定义域为．
若选①，则，，不是常数，则不是等比数列；
若选②，则，，不是常数，则不是等比数列；
若选③，则，，是常数，
则是以为首项，以3为公比的等比数列，则．故选D．
【名师点睛】判断数列是不是等比数列的常用方法：定义法，等比中项法，通项公式法等．
39．已知公差不为0的等差数列的前n项和，，是和的等比中项，则
A．有最大值9 B．有最大值25
C．没有最小值 D．有最小值-24
【试题来源】福建省漳州市2018届高三毕业班第二次调研（文）（可编辑PDF版）
【答案】D
【分析】根据条件列出方程组求出首项与公差，由求和公式与通项公式得出，求最值
【解析】设公差为d，则有，解得，．
则，可令，可得，
则，当，，；当，，，可得在到递增；当，，，，，，，可得在递增，则有最小值，而无最大值，故选.
【名师点睛】利用差数列的通项公式和求和公式可得，通过令换元可转化为，考查函数的单调性，注意，求函数最值，属于中档题．
40．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】D
【分析】依题意，由对都有成立，即，利用数列的单调性，建立不等量关系，进一步利用，，求出实数的取值范围．
【解析】由已知，
对都有成立，即，即，
又数列是首项为，公差为1的等差数列，
且数列是单调递增数列，当时，，
所以，，即，解得．
即实数的取值范围是，故选D.
【名师点睛】本题考查等差数列通项公式及数列单调性的应用，解题的关键是要利用数列的单调性结合已知条件得到，，建立关于的不等式，考查学生的转化思想与逻辑思维能力及运算能力，属于中档题．
二、多选题
1．定义表示大于x的最小整数，例如，则下列命题中正确的是
A．函数的值域是
B．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
C．若数列是等比数列，则数列也是等比数列
D．若，则方程有2018个根
【试题来源】湖南省怀化市新博览2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】AD
【分析】A． 分x为整数和 x不为整数，根据 的定义判断；B．取整数数列和非整数数列判断；C． 取特殊数列判断；D．根据，，利用列举法判断．
【解析】A． 当x为整数时，，则函数，当x不为整数时， ，所以的值域是，故正确；
B．当数列是整数构成的等差数列，数列也是等差数列，当数列不是整数构成的等差数列，如数列：0．6，0．8，1．0，1．2，1．4，则数列：1，1，1，2，2不是等差数列，故错误；
C． 如数列：0．2，0．4，0．8，1．6，3．2，6．4，则数列：1，1，1，2，4，7不是等比数列，故错误；
D．因为，方程，所以x可取0．9，1．9，2．9，…，2017．9共有2018个根，故正确；故选AD.
2．在数列中，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断错误的是
A．不可能为 B．“等差比数列”中的项不可能为
C．等差数列一定是“等差比数列” D．等比数列一定是“等差比数列”
【试题来源】山东省威海市威海文登区2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】BCD
【分析】根据“等差比数列”的定义逐个选项进行判断正误即可．
【解析】当时，根据“等差比数列”的定义，有，即有，这与分母不为0矛盾，
，故选项正确；
当时，为常数，数列为“等差比数列”，且，故选项错误；
又当数列为非零常数列时，数列既是等差数列又是等比数列，但，此时数列不是“等差比数列”，故选项、错误，故选．
3．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考
【答案】AC
【解析】由，，成等差数列，得．设的公比为，则，解得或（舍去），所以，解得．
所以数列的通项公式为，，故选AC．
4．记为等差数列的前项和．已知，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中
【答案】AC
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，得，求出首项和公差，然后求出通项公式和前项和即可．
【解析】设首项为，公差为，由，，可得，
解得，，所以，
所以．故选AC．
5．已知数列的前项和为，下列说法正确的是
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测
【答案】BC
【分析】由求，根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C，利用作差法及等比数列求和公式，可判断D．
【解析】若，当时，，不满足，故A错误．
若，则，满足，所以是等比数列，故B正确．若是等差数列，则，故C正确．
，故D错误．故选BC.
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是
A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟
【答案】AC
【分析】由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误．
【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，
又，
所以，，即，，
，，
所以甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：
甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．故选AC．
7．已知为等比数列，下面结论中错误的是
A． B．
C．若，则 D．若，则
【试题来源】2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学2020-2021学年高三上学期12月考前热身练
【答案】ACD
【解析】设等比数列的公比为，则，
当，时，，故不正确；
，当且仅当时取等号，故正确；
若，则，，，或，故不正确；
若，则，，其正负由的符号确定，故不正确故选ACD．
8．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是
A．若，则是等差数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测
【答案】ACD
【分析】当时，化简得，得到，求得，进而求得，得到A正确，B不正确；当时，得到，求得，求得，可判定C正确，D正确．
【解析】因为数列的前项和为，且满足，
当时，可得，
即，所以，
可得，即，因为，所以，
则，可得，
故A正确，B不正确．
当时，由已知得，
即，所以，所以，
所以，所以，所以，故C正确，D正确．故选ACD．
【名师点睛】利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
（1）对于递推关系转化为（常数）或（常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
（2）对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
（3）对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；
（4）对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式．
9．等差数列的前项和为，若，公差，则
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末
【答案】BC
【分析】根据等差数列二次函数的性质可判断A和B选项，然后根据题意判断出，得，判断的正负，即可可判断C和D选项．
【解析】等差数列的前项和，又，，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小．故选BC．
【名师点睛】关于等差数列前项和的最值问题，一般有两种求解方法：
（1）利用的公式判断得是关于的二次函数，计算对称轴，即可求出最值；
（2）利用的正负判断，当时，则在处取最大值，当时，则在处取最小值．
10．南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中是集合，且，中所有的数从小到大排列的数列，，，，，…下列结论正确的是

A．第四行的数是17，18，20，24 B．
C． D．
【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】ABD
【分析】采用逐一验证的方法，利用来表示每一项，寻找规律，可得结果
【解析】对于A：用来表示每一项，则
第一行：，
第二行：，
第三行：，
第四行：，故A正确；
对于B：表示第n项第n列，则，故B正确；
对于C：表示第n项第1项，则，故C错误；
对于D：第14行第9项，所以，故D正确，故选ABD．
【名师点睛】对于新定义的问题，关键在于理解其定义，并能向熟悉的，相近的知识转化，考查知识的转化能力．
三、填空题
1．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，当时，n的最大值为__________．
【试题来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】20．
【分析】根据，是与的等比中项求出和，再根据等差数列的求和公式求出，解不等式即可得解．
【解析】因为是与的等比中项，所以，
所以，化简得，
因为，所以，
因为，所以，即，
将代入得，解得，所以，
所以，
由得，即，解得，
所以正整数的最大值为．
故答案为20
【名师点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键．
2．已知数列是等差数列，，，，则的最大值是__________．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题
【答案】
【分析】由等差数列得通项公式可的设，，则不等式组等价为，
，利用线性规划知识求最值即可．
【解析】设等差数列的公差为，由题设知，，
设，，则不等式组等价为，
对应的可行域为如图所示的三角形及其内部，由，

由可得，
作沿着可行域的方向平移，当直线过点时，取得最大值．
由 解得，
所以 ，
故答案为
【名师点睛】本题解题的关键是设，，将转化为，进而转化为利用线性规划求最值．
3．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和__________．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】
【分析】先由求出，则可得，分n为奇数和偶数，利用裂项相消法即可求出．
【解析】，
当时，，
当时，，满足，
，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
．
故答案为
【名师点睛】本题考查利用裂项相消法求数列前n项和，解题的关键是化简得出．
4．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前项和为__________．
【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）
【答案】
【分析】根据求解出的通项公式，然后根据条件将的通项公式变形为，根据裂项相消求和法求解出的前项和．
【解析】因为，当时，，
当时，，符合的情况，
所以，所以，
记的前项和为，所以，
所以，
故答案为．
【名师点睛】利用与的关系求解数列通项公式的思路：
（1）根据，先求解出时的通项公式；
（2）根据条件验证是否满足的情况；
（3）若满足，则的通项公式不需要分段书写；若不满足，则的通项公式需要分段书写．
5．数列的前项和为，，数列满足，则数列的前10项和为__________．
【试题来源】四川省成都市2020-2021学年高三上学期第一次诊断性检测（文）
【答案】65
【分析】由的递推式可得，结合已知条件有，即可求数列的前10项和．
【解析】由知，则，得，
所以，而，
所以，故数列的前10项和为，
故答案为65．
【名师点睛】递推式的应用求条件等式中因式的表达式，进而求数列的通项，最后求前10项和．
6．我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢，则齐去长安__________里．
【试题来源】山西省运城市2021届高三（上）期中（理）
【答案】1125
【分析】由题设可知良马、弩马的速度都成等差数列，分别求得首项和公差，求出二马行走的总路程，由此能求出结果
【解析】由题设可知良马、弩马的速度都成等差数列，
良马的首项，公差，弩马的首项，公差，
良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢，
则二马行走的总路程为．
（里）．故答案为1125．
7．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠__________日可相逢．
【试题来源】浙江省杭州高级中学钱江校区2020-2021学年高三上学期12月月考
【答案】6
【分析】根据题意，大老鼠和小老鼠打洞构成两个等比数列，然后利用等比数列的前n项和公式求解．
【解析】大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则，即，
即 ，令 ，在上是增函数，
又，所以相遇时是第6天，故答案为6.
8．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》．现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2020项和为__________．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（四）
【答案】1347
【分析】根据新数列定义，写出新数列前几项，观察发现为周期数列，根据周期性求数列的前2020项和．
【解析】由题意可得，
所以数列，所以数列是一个周期为3的周期数列，
而2020除以3商673余1，所以数列的前2020项和为．
9．设等差数列的前项和为，若，则__________．
【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测
【答案】16
【分析】根据条件由，结合条件可得，由得，从而得出答案．
【解析】因为等差数列，由，又，
所以，即．又所以，
则，故答案为16.
10．已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是__________．
【试题来源】四川省乐山市2020-2021学年高三上学期第一次调查研究考试（文）
【答案】20
【分析】根据数列是等差数列，求首项和公差，再代入通项公式求．
【解析】设等差数列的公差为，首项为，则，解得，，
则．故答案为20.
11．已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列，，则__________．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】31
【分析】首先由条件可知，再根据数列是等比数列，求公比，最后根据公式求．
【解析】由条件可知，即，
即，是正项数列，，即，
又，．故答案为.
12．数列中，，若，则__________．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】3
【分析】利用已知递推关系得出数列是等比数列，从而求得其通项公式后，结合等比数列前项和公式可得．
【解析】因为，所以，
所以，是等比数列，公比为2．所以．
因为，所以．
13．记为等比数列的前项和．设，，则__________．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）
【答案】
【分析】根据等比数列的通项公式、求和公式直接计算即可．
【解析】， ，，
，故答案为.
14．已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则__________．
【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考
【答案】
【分析】利用等差数列的性质得到即可．
【解析】，故答案为.
15．已知数列的前项和为，，且对任意的，都有，则__________．
【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（文）（3－2）试题
【答案】5
【分析】根据已知的递推公式，结合对数的运算性质进行求解即可．
【解析】因为，所以，所以．故答案为5.
16．记为等差数列的前n项和，若，则的最大值为__________．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（文）
【答案】361
【分析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，再代入求和公式，并利用一元二次函数求最值即可求解．
【解析】由，得，因为，，当时，有最大值361．
17．记为等差数列的前n项和，若，且，则__________．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理）
【答案】
【分析】根据数列是等差数列，利用等差数列的前n项和公式化简为，再结合求解．
【解析】因为数列是等差数列，
所以，
因为，所以，所以．故答案为4.
18．若数列满足：，，则__________．
【试题来源】河北省张家口市2021届高三上学期期末教学质量监测
【答案】．
【分析】根据写出，相减以后可得，可以判断出数列是等差数列，然后判断出首项和公差，即可得．
【解析】．两式相减，得．
．故是首项为，公差为的等差数列的第项，
故．故答案为．
【名师点睛】要注意等差数列的概念中的“从第项起”与“同一个常数”的重要性，巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；如果是常数，则是等差数列，如果是常数，则数列中的奇数项或者偶数项为等差数列，所以需要注意等差数列定义的推广应用．
19．记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和_________．
【试题来源】上海市青浦区2021届高三上学期一模
【答案】；
【分析】可直接利用列举法，分别确定出在，，，2，3，，中每个区间内含有项的个数，然后相加即可．
【解析】对于区间，，，，可知
（1）当，2时，区间内不含项，故，共2项；
（2）当，4，5，时，区间内含有一项，故，共6项；
（3）当，10，11，时，区间内含有，两项，故，共18项；
（4）当，28，29，，80时，区间内含有，，三项，故，共54项；
（5）当，82，83，，100时，区间内含有3，，，四项，故，共20项．
故．
故答案为284．
【名师点睛】解答本题的关键是正确理解为数列在区间中的项的个数这一属性，然后利用列举法求解．
20．设为数列的前项和，，，且，则______．
【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）
【答案】
【分析】根据题意可得，所以数列中：奇数项放在一起成等比数列，偶数项放在一起成等比数列，然后用分组求和、等比数列求和公式计算即可．
【解析】因为即
所以数列中：奇数项放在一起成等比数列，偶数项放在一起成等比数列，
所以成等比数列，成等比数列，
又，，
所以
．
【名师点睛】根据递推关系求通项公式的三个常见方法：
（1）对于递推关系式可转化为的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式；
（2）对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项的积时，采用累乘法求数列的通项公式．
（3）对于递推关系式形如的数列，采用构造法求数列的通项．
四、双空题
1．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…；如此对开至规格．现有纸各一张．若纸的幅宽为，则纸的面积为__________，这张纸的面积之和等于__________．
【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】
【分析】由题设条件逐一得出纸张的长和宽，进而得出的面积，再由纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，由求和公式得出这张纸的面积之和．
【解析】根据题意，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，的长、宽分别为，所以的面积为，纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，所以这张纸的面积之和等于，故答案为；.
2．记为等比数列的前项和．设，，则公比__________，__________．
【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文）
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，由题设可得关于的方程组，解方程组后可得公比的值及．
【解析】因为，故，故
设等比数列的公比为，则即
又，故，解得，故．
故．
故答案为，．
【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
3．设等比数列的公比为，前项和为．若，则__________，__________．
【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试
【答案】4 21
【分析】首先根据得到，再计算即可．
【解析】因为，所以．．故答案为；
4．数列的前项和为，且，，．则__________；__________．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题
【答案】6
【分析】由已知当时，，结合已知条件知，验证时不满足，得到数列的通项公式为，进而求得，再利用等比数列求和公式可求得．
【解析】由知，当时，
两式作差得，即，即；
又，，不符合上式，故数列去掉第一项是公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为
所以当时，

故答案为6，
【名师点睛】本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式，当时，，一定要验证当时是否满足；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题．
5．设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差__________﹔数列的前100项和__________．
【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】1
【分析】利用等差、等比数列的性质列出关于的方程，解之可得，然后得出通项公式，用裂项相消法求和．
【解析】因为，，成等比数列，所以，即，又，解得．所以，，
所以．故答案为1；．
【名师点睛】本题考查求等差数列的基本量运算，等比数列的性质，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：
设数列是等差数列，是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；
（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；
（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；
（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
6．设等差数列的前项和为．若，，则__________，的最小值为__________．
【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2021届高三上学期第二次月考
【答案】0
【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据，，利用“”求解．
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
因为，，所以解得
所以，．
因为，所以当或时，取得最小值，最小值为．
7．已知数列，满足：，，，则数列_________；记为数列的前项和，_________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中
【答案】 97
【解析】依题：，两式相减即得，即，所以为以1为公差的等差数列．又，所以，
因为，
，
所以．故答案为；97．
【名师点睛】本题考查了等差数列的证明，求数列通项，以及式处理，分组求和与等差数列求和，关键在于由递推式作差得出，数列是等差数列，属于较难题．
8．九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪(1906–1967)也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环(如图)．现假设有个圆环，用表示按某种规则解下个圆环所需的最小移动次数．已知数列满足下列条件：，，，记的前项和为，则：（1）__________；（2）__________．

【试题来源】湖南省湖湘名校教育联合体2021届高三入学考试
【答案】 ．
【分析】分为偶数和为奇数两种情况，由题中条件，利用叠加法，由等比数列的求和公式，求出数列的通项，即可求出；再由分组求和的方法，即可求出．
【解析】（1）当为偶数时，
；当为奇数时，
，所以；
（2）

．
故答案为；．
【名师点睛】求解本题的关键在于根据题中条件，讨论为奇数和为偶数两种情况，利用叠加法（累加法）求出数列的通项即可；在求数列的和时，可利用分组求和的方法求解．