专题20 抛物线（客观题）（新高考地区专用）（解析版）

这是一份专题20 抛物线（客观题）（新高考地区专用）（解析版），共43页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。

专题20 抛物线（客观题）
一、单选题
1．设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点．若，则
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题
【答案】C
【分析】根据，利用抛物线的定义求得点P的坐标，然后利用两点间距离公式求解．
【解析】设，因为，由抛物线的定义得，解得，
所以，又，所以，故选C.
2．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为
A．0或 B．0
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理）
【答案】A
【分析】设，，的中点，根据点M，N在双曲线上，且P为中点，利用点差法得到，再由M，N关于直线对称，得到，则，又点在直线上，得到，联立求得点P，代入抛物线方程求解．
【解析】设，，的中点，
因为，所以；因为，所以；
因为M，N关于直线对称，所以，即；
因为点在直线上，所以；
由，可得，所以，即或，故选A．
【名师点睛】圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法．
3．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数m的值为
A．或3 B．
C．3 D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（文）
【答案】C
【分析】设，，的中点，，坐标代入双曲线方程由点差法得到，又M，N关于直线对称，可得，
又由点在直线上，可求得，代入抛物线方程可得答案．
【解析】设，，的中点，因为，
所以；因为，所以；
因为M，N关于直线对称，所以，即；
因为点在直线上，所以；
由可得，所以，即．故选C．
【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，点对称的问题，对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，这类问题的一般解法是利用对称性的特点，从中点和垂直两个方面考虑，设出坐标而不求坐标，与曲线弦的斜率和中点有关的问题都可以用此方法．
4．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学
【答案】B
【分析】先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程．
【解析】在抛物线上，故，即，抛物线方程为，
设过点与圆相切的直线的方程为，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线．

联立 ，得，
故，由得，故，
联立 ，得，
故，由得，故，
故，又由在抛物线上可知，
直线的斜率为 ，
故直线的方程为，即．故选B．
【名师点睛】求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程．
5．已知抛物线(为常数)过点，则抛物线的焦点到它的准线的距离是
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市红桥区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】B
【分析】根据点可求出，即可求出焦点到它的准线的距离．
【解析】抛物线过点，，
抛物线的方程为，则焦点为，准线为，
焦点到它的准线的距离为．故选B．
6．已知点A(1，0)，B(5，1)，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为
A．6 B．7
C．8 D．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）（文）
【答案】A
【分析】由题知点为该抛物线的焦点，进而根据抛物线的定义得，即最小值为
【解析】由题意可知，点为该抛物线的焦点，
分别过点作直线（也即抛物线的准线）的垂线交直线于点，如图，
则有，
当且仅当三点共线时等号成立，所以最小值为6．故选A．

【名师点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为，再根据图形得三点共线时取得最小值，考查化归转化思想与运算求解能力，是基础题．
7．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则
A． B．
C．5 D．
【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题
【答案】C
【分析】首先求抛物线的焦点坐标，由双曲线方程可知，求的值．
【解析】抛物线的焦点是，
双曲线中，，由题意可知，解得．故选C
8．已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，那么
A． B．5
C．10 D．20
【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文）
【答案】C
【分析】分别表示出抛物线的焦点与双曲线的左焦点，进而构建等式求解即可．
【解析】双曲线的左焦点坐标是，抛物线的焦点为所以，解得．故选C．
9．若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于
A．1 B．
C．2 D．3
【试题来源】河南省2021届高三上学期名校联盟模拟信息卷（理）
【答案】B
【分析】利用抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离建立等量关系，求出点横坐标，再求出的中点横坐标，则的中点到轴距离可求．
【解析】抛物线的准线方程为，，由抛物线的定义，得点到焦点的距离等于点到准线的距离，则，解得．所以的中点的横坐标为，所以的中点到轴距离等于．故选B．
10．已知曲线：与曲线：有公共的焦点F，P为与在第一象限的交点，若轴，则的离心率e等于
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【分析】根据抛物线的方程求出其焦点为，得到．设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的右焦点为求得双曲线的焦距为，中，利用勾股定理求得，再由双曲线的定义算出，利用双曲线的离心率的定义加以计算，求得结果．
【解析】抛物线的焦点为，
由轴，即，可求得，
设双曲线的另一个焦点为，
由抛物线的焦点为与双曲线的右焦点重合，
即，可得双曲线的焦距，
由为直角三角形，则，
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率为，故选A．
【名师点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，解题方法如下：
（1）根据抛物线的方程求得其焦点坐标；
（2）利用抛物线方程求得；
（3）利用抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合求得双曲线的焦距；
（4）在直角三角形中利用勾股定理求得；
（5）利用双曲线的定义求得的值；
（6）利用双曲线的离心率的定义求得结果．
11．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆过点，则的方程为
A．或 B．或
C．或 D．或
【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（理）
【答案】C
【分析】首先设出点的坐标，根据题意可知以线段为直径的圆与轴相切，利用焦半径公式和几何关系得到点的坐标，建立方程求．
【解析】设，，由条件可知，即，
并且线段的中点纵坐标是，所以以线段为直径的圆与轴相切，
切点坐标，所以，即，
代入抛物线方程，整理为，
解得或，即抛物线方程是或．故选C

【名师点睛】本题的关键是知道以线段为直径的圆与轴相切，这样利用中点的坐标可以求点的坐标，和此几何关系类似的有以抛物线焦点弦长为直径的圆与抛物线的准线相切．
12．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上两点，，且，则的斜率不可能是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省开封市2021届高三第一次模拟考试（理）
【答案】D
【分析】先由题中条件，根据抛物线的焦半径公式，求出的横坐标，进而确定的坐标，由斜率公式，即可求出结果．
【解析】因为为抛物线的焦点，所以，
又，即为等腰三角形，所以，又点在抛物线上，
所以，则，即，
所以由抛物线的焦半径公式可得，
又，所以，即，所以，
则，即，所以；
当，时，的斜率为；
当，时，的斜率为；
当，时，的斜率为；
当，时，的斜率为；
故ABC都能取到，D不能取到．故选D．
【名师点睛】求解本题的关键在于利用题中条件，确定点横坐标，结合以及焦半径公式，确定点横坐标，得出两点坐标，即可求解．
13．已知曲线：，则以下判断错误的是
A．或时，曲线一定表示双曲线
B．时，曲线一定表示椭圆
C．当时，曲线表示等轴双曲线
D．曲线不能表示抛物线
【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理）
【答案】B
【分析】理解辨析双曲线、等轴双曲线、椭圆等定义逐一判断即可．
【解析】对：，当，即或时，曲线表示双曲线，
当时，：表示等轴双曲线，因为无论取何值，曲线方程均只含，项与常数项，因此A，C，D正确；
当时，：表示圆，B错误．故选B．
14．若抛物线上一点M到该抛物线焦点F的距离为6，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设O为坐标原点，则四边形OFMN的面积为
A．12 B．
C．16 D．
【试题来源】云贵川桂四省2020-2021学年高三上学期12月联合考试（文）
【答案】B
【分析】延长交准线于点，由，则，则可得，从而可求得答案．
【解析】如图，抛物线的准线方程为，焦点，
延长交准线于点，由，则
因此，所以点的纵坐标为4，则由，
即，，由条件可得四边形OFMN为梯形，
故四边形OFMN的面积为．故选B

15．已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省普宁市七校联合体2021届高三上学期（11月）第二次联考
【答案】D
【分析】设，由题意有且直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，即可求，进而得到抛物线准线方程．
【解析】由抛物线方程知焦点为，即，
所以设，线段的中点的横坐标为2，所以，
联立直线、抛物线方程得，有，
所以综上有：，故抛物线准线方程为，故选D
【名师点睛】应用中点公式有，由直线与抛物线关系得到，联立求p．
16．已知抛物线的焦点为，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测（理）
【答案】C
【分析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形是正三角形，结合已知条件求出，结合在上的射影是是中点，然后求解抛物线方程．
【解析】由题意如图，过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限），
可知，，，垂足为，直线交轴于点，准线与轴的交点为，所以，则三角形是正三角形，因为是的中点，，所以是的中点，所以，，
，所以，则，
由三角形是正三角形可知在上的射影是是中点，
所以，则，可得，所以抛物线方程为．故选．

【名师点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．
17．抛物线的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省株洲市茶陵县第三中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】A
【解析】抛物线的焦点坐标在轴负半轴，所以为故选A
18．抛物线的焦点到准线的距离为
A． B．
C． D．1
【试题来源】安徽省六安市城南中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】B
【分析】由可得抛物线标椎方程为，由焦点和准线方程即可得解．
【解析】由可得抛物线标准方程为，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离为，故选B．
19．抛物线的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省黔东南州2021届高三上学期第二次月考（文）
【答案】B
【分析】先将抛物线化为标准方程，即可求出焦点坐标．
【解析】，抛物线的标准方程为，即，
抛物线的焦点坐标为．故选B．
20．已知抛物线：，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于，两点，若（点为坐标原点），则
A．4 B．8
C．10 D．16
【试题来源】河南省周口市商丘市大联考2020-2021学年高三阶段性测试（三）（理）
【答案】B
【分析】设，根据题意列方程组可解得结果．
【解析】设，由题意得，解得．故选B．
21．已知点到抛物线（）的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】C
【分析】利用抛物线方程及定义进行求解．
【解析】由抛物线（）得（），故抛物线的焦点在轴正半轴，又到抛物线准线的距离为5，即，解得，
故抛物线方程为，焦点为，故选C．
22．抛物线的准线方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省鹤岗一中2021届高三（上）期中（理）
【答案】D
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
【解析】由抛物线的方程可变为，故，
其准线方程为，故选D．
23．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为6，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）
【答案】B
【分析】由抛物线的性质知已知两距离的差为，由此可得结论．
【解析】由题意，．故选B．
24．抛物线的准线方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市海淀区2021届高三年级第一学期期末练习
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解．
【解析】由抛物线方程可知，故准线方程为．故选B．
25．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省商洛市考试高三上学期期末教学质量检测（理）
【答案】B
【分析】过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，可得出，结合图形可知，当直线与抛物线相切时，最大，则最小，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用，求出方程组的解，即可得出点的坐标．
【解析】如下图所示：

过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，
抛物线的准线为，则点，
由题意可知，轴，则，，
由图形可知，当直线与抛物线相切时，最大，则最小，
设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，消去得，，，解得，则，解得，此时，，因此，点的坐标为．故选B．
【名师点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题．
26．抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省咸阳市2020届高三下学期4月高考模拟（理）
【答案】A
【分析】分别求出抛物线和双曲线的焦点坐标，得出过两焦点的直线方程，根据直线垂直的条件可得选项．
【解析】抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为，两焦点的连线的方程为，
又双曲线的渐近线方程为，所以 ，解得，故选A．
27．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省郑州市名校联考2020-2021学年高三第一次调研考试（理）
【答案】B
【分析】化简抛物线的标准方程，求得准线方程，结合抛物线的定义，即可求解．
【解析】由抛物线的方程，可得标准方程为，
则焦点坐标为，准线方程为，
设，则由抛物线的定义可得，解得．故选B．
28．抛物线的准线方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省潜江市文昌中学2019-2020学年高三上学期期末
【答案】C
【分析】由于抛物线的准线方程为，求解即可．
【解析】由于抛物线的准线方程为，
抛物线，即的准线方程为，故选C．
29．已知点到抛物线的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省西安地区2019-2020学年高三上学期第一次八校联考（理）
【答案】C
【解析】可变形为，则焦点坐标为，由抛物线第一定义，点到抛物线的准线的距离为5，即，即，解得，则抛物线焦点坐标为，故选C.

30．抛物线 的焦点坐标为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】B
【分析】将抛物线方程化简为标准形式，然后直接得到焦点坐标．
【解析】因为抛物线方程为即，
所以，所以焦点坐标为，故选B．
【名师点睛】本题考查根据抛物线方程求解焦点坐标，难度较易．形如的抛物线的焦点坐标为，形如的抛物线的焦点坐标为．
31．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则以线段为直径的圆一定
A．经过原点 B．经过点
C．与直线相切 D．与直线相切
【试题来源】北京市2021届高三入学定位考试
【答案】C
【分析】通过抛物线的焦半径公式可知，可得点到直线的距离为．
【解析】设，，利用焦半径公式可得，
又，所以到直线距离为，
所以以线段为直径的圆一定直线相切．故选C．
32．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为
A．3 B．4
C． D．
【试题来源】辽宁省抚顺市二中、旅顺中学2019-2020年高三上学期期末考试
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，将的取值转化为求点到直线的距离即可求得答案．
【解析】因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以过焦点作直线的垂线，则到直线的距离为的最小值，如图所示：

所以，故选B.
33．已知抛物线的准线与椭圆相交的弦长为，则
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）
【答案】C
【分析】根据椭圆的对称性可得，从而求出，再利用抛物线的性质可知．
【解析】抛物线的准线方程为，设其与椭圆相交于，两点，，
不妨设，根据对称知，
代入椭圆方程解得或（舍去），，故选C．
34．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上．若，则点M到y轴的距离为
A． B．
C． D．1
【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题
【答案】D
【分析】由可得，设，，由，可得．
【解析】由可得，设，，
由，可得，
所以且，所以，解得，所以，
所以点M到y轴的距离为1．故选D．
35．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则
A． B．
C． D．的坐标为（0，1）
【试题来源】河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试（文）
【答案】C
【分析】根据抛物线方程，结合抛物线的定义逐项判断．
【解析】因为，所以，因为，所以，，
．故选C．
36．若以抛物线上的点为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的准线相切，则的值为
A．2 B．
C． D．
【试题来源】河南省实验中学2020-2021学年高三上学期模拟试卷（文）
【答案】B
【分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求出，然后求解，即可得到结果．
【解析】以抛物线上的点为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的准线相切，可得，所以，所以抛物线的方程为，点在抛物线上，所以．故选B
37．已知和直线，抛物线上动点到的距离为，则的最小值是
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】C
【解析】抛物线准线为，设到其距离为，则，
所以，故选C．
【方法点晴】本题是一个关于抛物线的概念、抛物线的焦点、准线等方面的综合应用问题，属于中档题．解决本题的基本思路是“化曲为直”的思想，由于抛物线上任意一点到准线的距离等于其到焦点的距离，因此可将本题的求的最小值的问题，转化为求点到准线与到焦点的距离和的最小值问题，再利用平面上两点之间线段最短的原理即可求得所需结论．
38．已知点是抛物线上的动点，则的最小值为
A．3 B．4
C．5 D．6
【试题来源】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】B
【分析】由题意：表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，利用抛物线的定义将到F的距离转到到准线的距离即可求解．
【解析】由题意知= 表示A（3，1）和F（1，0）与在抛物线上的动点P的距离之和，又F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P到F（1，0）的距离等于到x=-1的距离，只需要过A作x=-1的垂线交抛物线于P，交准线于M，则AM=4即为所求．故选B．
39．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市彭州市2021届高三（理）
【答案】C
【分析】本题首先可根据题意得出点，然后设切线方程为、切点为，通过联立抛物线与切线方程解得，最后对、两种情况分别进行讨论，通过即可得出结果．
【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选C．
【名师点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题．
40．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到抛物线的焦点的距离的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省商丘、周口、驻马店市联考2020-2021年度高三开学考试（一）（文）
【答案】B
【分析】设圆M的圆心为，可知圆的圆心在圆上，则其圆心到抛物线的焦点的距离的最大值为圆的圆心到焦点的距离加上半径，即可求出．
【解析】设圆M的圆心为，则，所以圆的圆心在圆上．因为抛物线的焦点为，
所以圆心到抛物线焦点的距离的最大值为．
故选B．
二、多选题
1．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，．下列结论正确的是
A． B．
C． D．△的面积为
【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末
【答案】BCD
【分析】选项A由抛物线的定义可得可判断；选项B将点坐标代入抛物线方程可判断；当时，直线的方程为，可求出，从而可得，由，同理可得时的情况，从而可判断C，D．
【解析】选项A． 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确．选项B． 所以，，抛物线方程为
将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确
选项C． 当时，则，则直线的方程为
则 ，得，解得或
所以，则，同理当时，可得，所以C正确．
选项D．由上可知当时，，
同理当时，，所以D正确．故选BCD.

【名师点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，过焦点的弦的性质，解答本题的关键是由抛物线的定义可得，解得的值，由求解面积，属于中档题．
2．已知抛物线的焦点为F，过F与y轴垂直的直线交抛物线于点M，N，则下列说法正确的有
A．点F坐标为 B．抛物线的准线方程为
C．线段MN长为4 D．直线与抛物线相切
【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期未
【答案】BC
【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确；令，可得求得，可判定C正确；联立方程组，根据，可判定D不正确．
【解析】由抛物线，可得，即，且焦点在轴上，所以焦点为，
准线方程为，所以A不正确，B正确；
令，可得，解得，所以，所以C正确；
联立方程组，整理得，可得，
所以直线与抛物线没有公共点，所以D不正确．故选BC．
【名师点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：
在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解．
3．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是
A．抛物线的准线方程为 B．
C．的面积为 D．
【试题来源】广东省江门市2021届高三上学期调研测试
【答案】AD
【分析】根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．
【解析】点在抛物线上，，
，焦点为，准线为，对，
因为，故，故直线为，
联立或，，，
，，，错，
，对，
的面积为．故错，故选．

4．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则
A． B．
C． D．的坐标为
【试题来源】黑龙江省鹤岗一中2021届高三（上）期中（理）
【答案】AC
【分析】先求出焦点的坐标，再利用抛物线的焦半径公式以及点在抛物线上即可求出，即可判断．
【解析】由题可知，由，，所以，
，故选A C．
5．已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是
A．双曲线的离心率为 B．抛物线的准线方程是
C．双曲线的渐近线方程为 D．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期12月阶段性检测（6）
【答案】BC
【分析】由题意可知，可写出双曲线的方程，进而可知其离心率、渐近线方程，由抛物线的方程知准线方程，结合其定义有，即知正确的选项．
【解析】由双曲线：的实轴长为2，可得，
又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，
则，可知双曲线：，
所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是，
双曲线的渐近线方程为，所以A不正确；B、C正确，
联立方程组 ，解得，
所以，所以D不正确．故选BC．
三、填空题
1．在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点．若直线的倾斜角为，则△的面积为_________．
【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】
【分析】将所求三角形的面积分解为以OF为底边的两个三角形OFA和OFB的面积和，然后联立直线与抛物线的方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，求得A，B的纵坐标，进而求解．
【解析】过抛物线的焦点，直线的方程：，即，
代入抛物线的方程并整理得，解得，
这就是A，B两点的纵坐标．的面积为，
故答案为．

【名师点睛】本题考查直线与抛物线的交点，三角形的面积计算问题，关键是将所求三角形的面积分解为以易求长度的线段OF为公共底边的两个三角形的面积的和．
2．抛物线的准线方程为_________．
【试题来源】上海市浦东新区2021届高三上学期一模
【答案】
【解析】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．故答案为．
3．已知抛物线：（），以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于，两点，若（点为坐标原点），则_________．
【试题来源】河南省周口市商丘市大联考2020-2021学年第一学期高中毕业班阶段性测试（三）（文）
【答案】8
【分析】在中，利用余弦定理求得，进而得到，然后由，求得点A的坐标，代入抛物线方程求解．
【解析】如图所示：

在中，，，，
由余弦定理得，所以，
所以，代入方程，解得．故答案为8
4．若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且被直线截得的弦长为2，则该圆的标准方程是_________．
【试题来源】天津市红桥区2020-2021学年高三上学期期末
【答案】
【分析】根据抛物线的焦点，可求得圆心坐标，根据弦长为2，结合弦长公式，可求得，代入方程，即可得答案．
【解析】因为的焦点为（0，1），所以所求圆的圆心为（0，1），设该圆半径为r，
则圆心（0，1）到直线的距离，
所以弦长，解得，
故该圆的标准方程为，故答案为
5．平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是上的点，若的外接圆与的准线相切，则圆的面积为_________．
【试题来源】福建省莆田第十五中学2019届高三上学期期中考试（理）
【答案】
【分析】由圆的对称性画出图形，结合抛物线的性质求出半径，最后求出圆的面积．
【解析】由圆的对称性可知，圆的圆心在线段的垂直平分线上，如下图所示
其中为线段的中点，为准线与圆的切点，连接，为准线与轴的交点
由题意可知，，圆的半径
则圆的面积

故答案为
6．抛物线上一点到焦点的距离是7，则点到准线的距离是_________．
【试题来源】江西省贵溪市实验中学高中部2021届高三上学期三校生第三次月考
【答案】7
【分析】根据抛物线定义即可知点到准线的距离．
【解析】由抛物线定义知抛物线上的点到焦点与点到准线的距离相等，所以 点到准线的距离为7，故答案为7．
7．已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，若点到的准线的距离为3，则的值为_________．
【试题来源】广东省广州市2021届高三上学期阶段训练
【答案】
【分析】由题意得，可得抛物线的方程和直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，运用根与系数关系和中点坐标公式可得的中点的坐标和弦长，可得圆的半径，在中，由锐角三角函数的定义可得所求值
【解析】抛物线：的焦点为，准线方程为，
由题意得，则抛物线方程为，
则直线的方程为，由，得，
设的横坐标分别为，则，
所以的中点的坐标为，，
则圆的半径为4，在中，，故答案为
【名师点睛】此题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是联立直线方程和抛物线的方程，运用根与系数关系和中点坐标公式进行转化，考查方程思想和计算能力，属于中档题
8．已知抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为，则_________．
【试题来源】江苏省南通市海安县2020-2021学年高三上学期期中调研考试
【答案】3
【解析】由抛物线定义可得， ，解得，故答案为3
9．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的横坐标为_________．
【试题来源】上海市黄浦区格致中学2021届高三上学期期中
【答案】3
【分析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，列关系即得结果．
【解析】易见，抛物线的准线方程为，设，则到准线的距离为，等于到焦点的距离为4，即，故，即点的横坐标为3．
故答案为3．
10．已知抛物线C：的焦点为，准线为，点是抛物线上第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，直线的斜率为，则_________．
【试题来源】湖南省永州市八县2020-2021学年高三上学期12月联考
【答案】8
【分析】由直线的斜率为可知倾斜角为，由抛物线定义进而可得为等边三角形，根据几何关系即可得到答案．
【解析】因为直线的斜率为，所以，
由抛物线定义：，所以为等边三角形，
设交轴于点，则．故答案为8．
11．已知抛物线：的准线方程为，焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且满足，则_________．
【试题来源】湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考
【答案】
【分析】由求出，可得抛物线方程为，利用抛物线的定义可求出，再利用余弦定理可得答案．
【解析】由题可知抛物线：，准线方程，
则，有，所以，所以抛物线方程为：，
因为，作准线，交于点，由抛物线的定义得，
所以，设，则，
所以，在三角形中，，，，由余弦定理可得，
解得，故答案为

【名师点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决．
12．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的纵坐标的值为_________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2021届高三上学期12月月考
【答案】3
【分析】根据抛物线方程求出焦点、准线方程，利用抛物线定义求解．
【解析】由可得，
所以该抛物线的焦点为，准线方程为，
设，由抛物线的定义可得，所以．故答案为3
13．已知抛物线经过点，且焦点为，则直线的斜率为_________．
【试题来源】贵州省思南中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】
【分析】已知点的坐标代入抛物线方程求得值后可得焦点坐标，从而可得直线斜率．
【解析】由题意，解得，所以焦点为，
所以．故答案为．
14．已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为_________．
【试题来源】北京市昌平区2020届高三第二次统一练习（二模）
【答案】
【分析】利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶点O的距离．
【解析】点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，
设M（x，x+1），可得（x+1）2＝4x，解得x＝1，所以M（1，2），
点M到其顶点O的距离为．故答案为．
15．设是抛物线上的一个动点，是焦点，若，则的最小值为_________．
【试题来源】陕西省西安市第六十六中学2019-2020学年高三上学期期末（文）
【答案】5
【分析】求出抛物线的准线方程，把到焦点距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线性质得最小值．
【解析】如图，过作与准线垂直，垂足为，则，
所以，易知当三点共线时，最小，最小值为．所以的最小值为5．故答案为5．

【名师点睛】本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．
四、双空题
1．已知抛物线的焦点为，过点作轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为_________；设直线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为_________．
【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，即可求出抛物线方程，从而求出、点的坐标，求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系即可得解；
【解析】依题意，根据抛物线的定义可得为抛物线的准线，所以，即，所以抛物线方程为，则，当时，，所以，所以直线的方程为，设直线与抛物线的另一个交点为，联立直线与抛物线方程，消去得，所以，所以
故答案为；
【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是________，的最小值是________．
【试题来源】北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测
【答案】
【分析】设，由题意可得，分，，三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及的最小值．
【解析】设，由题意可得，即，
当，即或时，无解；
当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是；
当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是；
综上，的最小值是．故答案为；．
【名师点睛】本题主要考查求抛物线的轨迹方程，考查抛物线的对称性，以及求抛物线上的点到定点的距离问题，属于常考题型．
3．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则_________，_________．
【试题来源】内蒙古赤峰二中2020届普通高等学校招生第三次统一模拟考试（理）
【答案】2 1
【分析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．联立方程，利用根与系数关系可得结果．
【解析】由题意知，从而，所以抛物线方程为．
当直线AB斜率不存在时：代入，解得，从而．
当直线AB斜率存在时：设的方程为，联立，整理，得
，设，，则
从而．
（方法二）利用二级结论：，即可得结果．
【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于基础题．
4．已知是曲线上一动点，，过作轴的垂线，垂足为，且与曲线的交点为，则的最小值为__________；若的横坐标大于3，且的面积与的面积之差为，则的坐标为__________．
【试题来源】湖北省十堰市2020届高三下学期6月调研考试（理）
【答案】5
【分析】求出抛物线的焦点坐标，设的横坐标为，用表示出，由基本不等式可求出最值，求出与的面积，然后作差，得到关于的函数解析式，利用导数求解单调性，即可求出．
【解析】曲线是抛物线在的部分，是此抛物线的焦点，
设的横坐标为，则，
当且仅当时取等号．
的面积为，
的面积为，
则．
设，，
则在上单调递减，又，
故方程的解为，从而的坐标为．故答案为5；

【名师点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，考查基本不等式的应用和导数的应用，考查转化思想及运算能力，属于中档题．
5．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，若点在抛物线上，且点到的距离为，在圆上，则______，的最小值为______．
【试题来源】甘肃省静宁县第一中学2020届高三第七次模拟考试（文）
【答案】2
【分析】由抛物线的定义直接可求出，由于，所以，则的最小值就是圆心到抛物线的焦点的距离减去半径的长．
【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，
所以，，准线 ，由抛物线的定义可知点到的距离，
所以，设圆的圆心为，则，圆的半径为1
，当且仅当共线时等号成立，
所以的最小值为，故答案为2；

6．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，若恰好为的中点，则_________；直线的斜率为_________．
【试题来源】2020届河北省衡水中学高三模拟（三）（理）
【答案】4 2
【分析】过点，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，根据梯形的中位线以及抛物线的定义可得4；设，，由，作差，根据中点公式和斜率公式可得直线的斜率．
【解析】过点，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，则；

根据梯形中位线定理，得．
根据抛物线的定义，得．
设，，由，，得，
则直线的斜率为．故答案为4；2．
7．已知点在抛物线上，该抛物线的焦点为F，过点A作直线的垂线，垂足为B，则__________，的平分线所在的直线方程为_________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期高考适应性考试
【答案】2
【分析】代入点坐标可求得，的平分线据直线即为直线的倾斜角的平分线所在直线，由此易得其斜率．
【解析】因为点在抛物线上，所以，所以，则，，
设直线的倾斜角为，则，解得（舍去），
因为，所以轴，所以的倾斜角的平分线所在直线即为的平分线所在的直线，所以其方程为，即．
故答案为2；．
【名师点睛】本题考查由抛物线上点的坐标求抛物线的焦参数，考查求直线方程．解题关键是确定的平分线所在的直线即为的倾斜角的平分线所在直线．
8．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则_________；所在直线的方程为_________．
【试题来源】2020届河北省石家庄市高考模拟（文）
【答案】
【解析】由题意知，代入得，即．由为的重心，则有，即，即，所以，因此有．故的中点坐标为，所在直线的斜率，故所在直线的方程为．故答案为-4；．