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专题31 独立性检验（解答题）（新高考地区专用）（解析版）
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这是一份专题31 独立性检验（解答题）（新高考地区专用）（解析版），共24页。
专题31 独立性检验（解答题）
1．某学生对其亲属人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于的人，饮食以肉类为主.)
（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属人的饮食习惯；
（2）根据以上数据完成下列列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
岁以下
岁以上
合计
（3）能否有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.
【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】（1）位亲属中岁以上的人多以食蔬菜为主，岁以下的人多以食肉为主；（2）表格见解析；（3）有，分析见解析.
【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.
（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.
【解析】（1）位亲属中岁以上的人多以食蔬菜为主，岁以下的人多以食肉为主；
（2）补全列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
岁以下
岁以上
合计
（3），
有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
2．某校高三年级在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读．为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：
考试分数
频数
5
10
15
5
10
5
赞成人数
4
6
7
3
8
4
（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第（1）问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，补充下面列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
赞成
不赞成
合计
优秀
不优秀
合计
50
参考公式及关系：
0.150
0.100
0.050
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
，
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第五次月考
【答案】（1）125分；（2）答案见解析，没有.
【分析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；
（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论.
【解析】（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，
由表中数据可知，优秀分数线应定为125分.
（2）由（1）可知，测试成绩优秀的学生有人，其中“赞成的”有12人；
测试成绩不优秀的学生有人，其中“赞成的”有20人；
填写列联表如下：
赞成
不赞成
合计
优秀
12
3
15
不优秀
20
15
35
合计
32
18
50
计算
所以没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
3．为了解中学生是否近视与性别的相关性，某研究机构分别调查了甲、乙、丙三个地区的100名中学生是否近视的情况，得到三个列联表如表所示．
甲地区 乙地区 丙地区
近视
不近视
合计
近视
不近视
合计
近视
不近视
合计
男
21
29
50
男
25
25
50
男
23
27
50
女
19
31
50
女
15
35
50
女
17
33
50
合计
40
60
100
合计
40
60
100
合计
40
60
100
（1）分别估计甲、乙两地区的中学男生中男生近视的概率；
（2）根据列联表的数据，在这三个地区中，中学生是否近视与性别关联性最强与最弱的地区分别是哪个地区？
附：，其中．
【试题来源】安徽省阜阳市2020-2021学年高三上学期教学质量统测
【答案】（1）0.42；0.5；（2）在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，甲地区的中学生是否近视与性别关联性最弱.
【分析】（1）根据表中数据直接求频率即可估计概率；
（2）根据列联表分别求出三个地区的卡方值，比较即可得出.
【解析】（1）甲地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为，
乙地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为
（2），，，
因为，
所以，
故在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，甲地区的中学生是否近视与性别关联性最弱．
4．随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为，“非青年人”使用智能手机占比为；日均使用时长情况如下表：
时长
2小时以内
2～3小时
3小时以上
频率
0.4
0.3
0.3
将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”．已知“频繁使用人群”中有是“青年人”．
现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据．
（1）补全下列列联表；
青年人
非青年人
合计
频繁使用人群
非频繁使用人群
合计
（2）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？
附：，其中．
以参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）
【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为“日均使用智能于机时长与年龄有关”．
【分析】（1）根据已知条件可计算青年人数、非青年人数、出频繁使用人数，中青年人频繁使用人数，将列联表补充完整即可；
（2）利用公式计算的观测值与临界值比较即可求解.
【解析】（1）人中青年人有人，非青年人有人，
频繁使用人群有人，频繁使用人群中青年人有人，
列联表为
青年人
非青年人
合计
频繁使用人群
90
30
120
非频繁使用人群
30
50
80
合计
120
80
200
（2），
故有的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”．
5．某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度.其中对教学成效满意率为，课后跟踪辅导的满意率为，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人.
（1）完成下面列联表，并分析是否有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.
对教学成效满意
对教学成效不满意
合计
对课后跟踪辅导满意
对课后跟踪辅导不满意
合计
（2）若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员的续签率为，只对其中一项不满意的学员续签率为，对两项都不满意的续签率为.从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数.
附：列联表参考公式：，.
临界值：
【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题
【答案】（1）列联表答案见解析，有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关；（2）平台续签人数为8人.
【分析】（1）完成列联表，利用公式计算的观测值结合表格做出判断；
（2）分别计算各种续签人数然后得到平台的续签率，根据二项分布得到平台续签人数.
【解析】（1）依题意有
对教学成效满意
对教学成效不满意
合计
对课后跟踪辅导满意
150
10
160
对课后跟踪辅导不满意
30
10
40
合计
180
20
200
算得的观测值为
故有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.
（2）在200人中对平台的双满意的续签人数为，仅一项满意的续签人数为，都不满意的续签人数为，所以该平台的续签率为依题意有，所以任选10人，该平台续签人数为8人.
6．已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：
综合评价成绩（单位：分）
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
4
3
1
（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
P
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
【试题来源】江苏省无锡市2021届高三下学期2月教学质量检测
【答案】（1）表格见解析，不能；（2）.
【分析】（1）由已知完成列联表，结合公式计算根据参考数据即可判断结果；（2）由分层抽样得在里面抽6个，里面抽4个，再用对立事件求解概率即可.
【解析】（1）
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成
28
4
32
不赞成
12
6
18
合计
40
10
50
做个皮尔逊卡方检验的话，有
故此不能推翻零假设，不能认定成绩和态度有关.
（2）这样分层抽样，会在里面抽6个，里面抽4个，
设为没有人在[60，70)内的事件，则概率即为
.
7．年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的名学生(男生与女生的人数之比为)对线上课程进行评价打分，若评分不低于分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的频率为.
（1）求的值，并估计名学生对线上课程评分的平均值;(每组数据用该组的区间中点值为代表)
（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
性别 态度
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
附：随机变量
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年上学期高三1月线上学习阶段性考试（理）
【答案】（1），80；（2）表格见解析，能有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
【分析】（1）先由题中条件，求出，的值，再由频率分布直方图，根据组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数；
（2）由题中先完善列联表，再由计算公式，求出，进而可判断出结果.
【解析】(1）由已知得，解得，
又，解得，
所以评分的平均值为
(2）由题意可得，列联表如下表:
性别 态度
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
因此，
能有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
8．针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：
人均可支配年收入(元)
电商扶贫年度总投入(万元)
(5000，10000]
(10000，15000]
(15000，20000]
(0，500]
5
3
2
(500，1000]
3
21
6
(1000，3000)
2
34
24
（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；
（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
人均可支配年收入≤10000元
人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万
电商扶贫年度总投入超过1000万
附：，其中.
0.050
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
【试题来源】云南西南名校2021届高三下学期联考（理）
【答案】（1）概率为，平均值的估计值为(元)；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
【分析】（1）利用频率估计概率，再利用平均数公式估计平均值；
（2）根据题干完成联表，再根据公式计算，对照参数得出结论.
【解析】（1）由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为.
本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为(元).
（2）列联表如下：
人均可支配年收入≤10000元
人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万
8
32
电商扶贫年度总投入超过1000万
2
58
因为，
所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
9．在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：
（1）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；
（2）根据所给的数据，完成下面的列联表：
是否佩戴头盔
年龄
是
否
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【试题来源】湖北省武汉市2021届高三下学期3月质量检测
【答案】（1）39；（2）列联表见解析；（3）没有把握.
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解..
（2）根据统计表完成列联表.
（3）根据列联表，利用公式求得的值，然后与临界值表对照下结论.
【解析】（1）该市电动自行车骑行人员平均年龄为
.
（2）
是否佩戴头盔
年龄
是
否
540
60
340
60
（3）.
故而没有的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.
10．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了份，暴雨前的投票也收集了份，所得统计结果如下表：
支持
不支持
总计
北京暴雨后
北京暴雨前
总计
已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为.
（1）求列联表中的数据､､､的值；
（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？
（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？
【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】（1），，，；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有把握.
【分析】（1）先求出的值，再求的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.
【解析】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件，
由已知得，所以，，，；
（2）由（1）知北京暴雨后支持为，不支持率为，
北京暴雨前支持率为，不支持率为，
条形统计图如图：
由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；
（3），
故至少有把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.
【名师点睛】独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设与没有关系；
（3）根据列联表中的数据计算的值；（4）根据计算得到的随机变量的观测值作出判断.
11．某学习研究机构调研数学学习成绩对物理学习成绩的影响，随机抽取了100名学生的数学成绩和物理成绩(单位：分).
物理
数学
合计
24
18
6
48
8
12
16
36
2
6
8
16
合计
34
36
30
100
（1）随机抽取一名同学，试估计其“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率；
（2）完成下面的2×2列联表.
物理
数学
合计
合计
（3）根据（2）中的数据，判断是否有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.6354
10.828
附
【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试
【答案】（1）；（2）见解析；（3）有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
【分析】（1）先求得“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生”的人数，再由古典概率公式可求得所求的概率；
（2）由已知的数据可得出2×2列联表；
（3）由（2）中的数据，计算，可得结论.
【解析】（1）数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生有：人，所以 “数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率为；
（2）2×2列联表如下表所示：
物理
数学
合计
合计
（3）由（2）中的数据，得，
所以有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
【名师点睛】本题考查求古典概率，独立性检验的问题，关键在于对数据处理，准确地运用相应的公式，并且理解其数据的实际意义．
12．某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），其中评分不低于80分视为强力有效，否则视为效力一般．得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将选取的100名试验者的性别与疫苗是否强力有效进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并能否判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关?
强力有效
效力一般
合计
男性
50
女性
10
合计
100
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2020-202学年高三上学期（2018级）第二次联考
【答案】（1），平均数为；（2）2×2列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关.
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于即可求的值，再利用小矩形底边中点横坐标乘以对应的小矩形面积之和即可得平均数；（2）由已知条件即可补充列联表；再利用卡方分布的计算公式求与临界值比较即可判断.
【解析】（1）由，解得
平均得分为
（2）由己知可得强力有效人数有人，
则列联表为
强力有效
效力一般
合计
男性
20
30
50
女性
10
40
50
合计
30
70
100
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为疫苗强效力与性别有关.
13．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.
年级名次
是否近视
近视
40
30
不近视
10
20
（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在名和名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在名的概率.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
，其中.
【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试
【答案】（1）4.74；（2）能；（3）.
【分析】（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果；
（2）利用题中所给的列联表，求得的值，与表中所给的临界值比较，得到结论；
（3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可.
【解析】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为人，
第五组的频数为人，所以前四组的频数和为人，
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人，
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有（或）
解得，所以中位数是4.74；
（2）因为，
所以，所以，
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；
（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在名和
名的分别有2人和4人，
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个，
至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个，
所以至少有1人的年级名次在名的概率为.
【名师点睛】该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下：
（1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果；
（2）利用公式求得的值，结合临界值得到结果；
（3）利用古典概型概率公式求得概率.
14．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区位居民的日行步数，得到如下表格：
日行步数（单位：千步）
人数
（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过千步为标准进行分层抽样，从上述位居民中抽取人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关；
日行步数千步
日行步数千步
总计
岁以上
岁以下（含岁）
总计
（2）以这位居民日行步数超过千步的频率，代替该地区位居民日行步数超过千的概率，每位居民日行步数是否超过千相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了位居民，其中日行步数超过千的最有可能（即概率最大）是多少位居民?
附：
，其中.
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关；（2）最有可能是位居民.
【分析】（1）计算得知，抽取的人中，不超过千步的有人，超过千步的有人，可完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）计算出每位居民步数超过千的概率为，设步数超过千的最有可能是位居民，根据已知条件列出关于的不等式组，解出的取值范围即可得解.
【解析】（1）人中，步数不超过千步的有人，超过千步有人，
按分层抽样，抽取的人数中不超过千步的有人，超过千步的有人，列联表如下：
日行步数千步
日行步数千步
总计
岁以上
岁以下（含岁）
总计
故没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关.
（2）每位居民步数超过千的概率为，
设步数超过千的最有可能是位居民，
，，，，即最有可能是位居民.
【名师点睛】解本题第二问概率最大的问题时，利用二项分布求随机变量在第的概率最大时，可根据列不等式组求解.
15．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图，如图．
（1）求出频率分布直方图中的值和这200人的平均年龄；
（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关?
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（理）
【答案】（1），41.5；（2）；（3）没有.
【解析】（1）由题意得，所以，
200人的平均年龄为．
（2）由题意得利用分层抽样的方法从第一组抽取2人，从第二组抽取3人，
记从第一组抽取的2人为，，从第二组抽取的3人为，，
则从这5人中随机抽取2人的基本事件有，即10种，
其中两人恰好属于不同组别的基本事件有种，即6种，
故所求的概率．
（3）由题意可得列联表为
购买力强人群
购买力弱人群
合计
青少年组
100
20
120
中老年组
60
20
80
合计
160
40
200
故的观测值，
故没有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关．
专题31 独立性检验（解答题）
1．某学生对其亲属人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于的人，饮食以肉类为主.)
（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属人的饮食习惯；
（2）根据以上数据完成下列列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
岁以下
岁以上
合计
（3）能否有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析.
【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】（1）位亲属中岁以上的人多以食蔬菜为主，岁以下的人多以食肉为主；（2）表格见解析；（3）有，分析见解析.
【分析】（1）根据茎叶图，分析题中数据即可得出结果.
（2）根据茎叶图，补充完善列联表，计算观测值即可求解.
【解析】（1）位亲属中岁以上的人多以食蔬菜为主，岁以下的人多以食肉为主；
（2）补全列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
岁以下
岁以上
合计
（3），
有的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
2．某校高三年级在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读．为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：
考试分数
频数
5
10
15
5
10
5
赞成人数
4
6
7
3
8
4
（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第（1）问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，补充下面列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
赞成
不赞成
合计
优秀
不优秀
合计
50
参考公式及关系：
0.150
0.100
0.050
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
，
【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第五次月考
【答案】（1）125分；（2）答案见解析，没有.
【分析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；
（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论.
【解析】（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为，
由表中数据可知，优秀分数线应定为125分.
（2）由（1）可知，测试成绩优秀的学生有人，其中“赞成的”有12人；
测试成绩不优秀的学生有人，其中“赞成的”有20人；
填写列联表如下：
赞成
不赞成
合计
优秀
12
3
15
不优秀
20
15
35
合计
32
18
50
计算
所以没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．
3．为了解中学生是否近视与性别的相关性，某研究机构分别调查了甲、乙、丙三个地区的100名中学生是否近视的情况，得到三个列联表如表所示．
甲地区 乙地区 丙地区
近视
不近视
合计
近视
不近视
合计
近视
不近视
合计
男
21
29
50
男
25
25
50
男
23
27
50
女
19
31
50
女
15
35
50
女
17
33
50
合计
40
60
100
合计
40
60
100
合计
40
60
100
（1）分别估计甲、乙两地区的中学男生中男生近视的概率；
（2）根据列联表的数据，在这三个地区中，中学生是否近视与性别关联性最强与最弱的地区分别是哪个地区？
附：，其中．
【试题来源】安徽省阜阳市2020-2021学年高三上学期教学质量统测
【答案】（1）0.42；0.5；（2）在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，甲地区的中学生是否近视与性别关联性最弱.
【分析】（1）根据表中数据直接求频率即可估计概率；
（2）根据列联表分别求出三个地区的卡方值，比较即可得出.
【解析】（1）甲地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为，
乙地区的中学男生中男生近视的概率的估计值为
（2），，，
因为，
所以，
故在这三个地区中，乙地区的中学生是否近视与性别关联性最强，甲地区的中学生是否近视与性别关联性最弱．
4．随着互联网的飞速发展，我国智能手机用户不断增加，手机在人们日常生活中也占据着越来越重要的地位．某机构做了一项调查，对某市使用智能手机人群的年龄、日使用时长情况做了统计，将18~40岁的人群称为“青年人”（引用青年联合会对青年人的界定），其余人群称为“非青年人”．根据调查发现“青年人”使用智能手机占比为，“非青年人”使用智能手机占比为；日均使用时长情况如下表：
时长
2小时以内
2～3小时
3小时以上
频率
0.4
0.3
0.3
将日均使用时长在2小时以上称为“频繁使用人群”，使用时长在2小时以内称为“非频繁使用人群”．已知“频繁使用人群”中有是“青年人”．
现对该市“日均使用智能手机时长与年龄的关系”进行调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据上面提供的数据．
（1）补全下列列联表；
青年人
非青年人
合计
频繁使用人群
非频繁使用人群
合计
（2）根据列联表的独立性检验，判断有多大把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”？
附：，其中．
以参考数据：独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）
【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为“日均使用智能于机时长与年龄有关”．
【分析】（1）根据已知条件可计算青年人数、非青年人数、出频繁使用人数，中青年人频繁使用人数，将列联表补充完整即可；
（2）利用公式计算的观测值与临界值比较即可求解.
【解析】（1）人中青年人有人，非青年人有人，
频繁使用人群有人，频繁使用人群中青年人有人，
列联表为
青年人
非青年人
合计
频繁使用人群
90
30
120
非频繁使用人群
30
50
80
合计
120
80
200
（2），
故有的把握认为“日均使用智能手机时长与年龄有关”．
5．某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度.其中对教学成效满意率为，课后跟踪辅导的满意率为，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人.
（1）完成下面列联表，并分析是否有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.
对教学成效满意
对教学成效不满意
合计
对课后跟踪辅导满意
对课后跟踪辅导不满意
合计
（2）若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员的续签率为，只对其中一项不满意的学员续签率为，对两项都不满意的续签率为.从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数.
附：列联表参考公式：，.
临界值：
【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题
【答案】（1）列联表答案见解析，有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关；（2）平台续签人数为8人.
【分析】（1）完成列联表，利用公式计算的观测值结合表格做出判断；
（2）分别计算各种续签人数然后得到平台的续签率，根据二项分布得到平台续签人数.
【解析】（1）依题意有
对教学成效满意
对教学成效不满意
合计
对课后跟踪辅导满意
150
10
160
对课后跟踪辅导不满意
30
10
40
合计
180
20
200
算得的观测值为
故有把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.
（2）在200人中对平台的双满意的续签人数为，仅一项满意的续签人数为，都不满意的续签人数为，所以该平台的续签率为依题意有，所以任选10人，该平台续签人数为8人.
6．已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：
综合评价成绩（单位：分）
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
12
4
3
1
（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成
不赞成
合计
（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
P
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
【试题来源】江苏省无锡市2021届高三下学期2月教学质量检测
【答案】（1）表格见解析，不能；（2）.
【分析】（1）由已知完成列联表，结合公式计算根据参考数据即可判断结果；（2）由分层抽样得在里面抽6个，里面抽4个，再用对立事件求解概率即可.
【解析】（1）
综合评价成绩小于80分的人数
综合评价成绩不小于80分的人数
合计
赞成
28
4
32
不赞成
12
6
18
合计
40
10
50
做个皮尔逊卡方检验的话，有
故此不能推翻零假设，不能认定成绩和态度有关.
（2）这样分层抽样，会在里面抽6个，里面抽4个，
设为没有人在[60，70)内的事件，则概率即为
.
7．年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的名学生(男生与女生的人数之比为)对线上课程进行评价打分，若评分不低于分视为满意.其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的频率为.
（1）求的值，并估计名学生对线上课程评分的平均值;(每组数据用该组的区间中点值为代表)
（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
性别 态度
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
附：随机变量
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年上学期高三1月线上学习阶段性考试（理）
【答案】（1），80；（2）表格见解析，能有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
【分析】（1）先由题中条件，求出，的值，再由频率分布直方图，根据组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均数；
（2）由题中先完善列联表，再由计算公式，求出，进而可判断出结果.
【解析】(1）由已知得，解得，
又，解得，
所以评分的平均值为
(2）由题意可得，列联表如下表:
性别 态度
满意
不满意
合计
男生
女生
合计
因此，
能有的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
8．针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：
人均可支配年收入(元)
电商扶贫年度总投入(万元)
(5000，10000]
(10000，15000]
(15000，20000]
(0，500]
5
3
2
(500，1000]
3
21
6
(1000，3000)
2
34
24
（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；
（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
人均可支配年收入≤10000元
人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万
电商扶贫年度总投入超过1000万
附：，其中.
0.050
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
【试题来源】云南西南名校2021届高三下学期联考（理）
【答案】（1）概率为，平均值的估计值为(元)；（2）列联表答案见解析，有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
【分析】（1）利用频率估计概率，再利用平均数公式估计平均值；
（2）根据题干完成联表，再根据公式计算，对照参数得出结论.
【解析】（1）由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为.
本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为(元).
（2）列联表如下：
人均可支配年收入≤10000元
人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万
8
32
电商扶贫年度总投入超过1000万
2
58
因为，
所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.
9．在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：
（1）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；
（2）根据所给的数据，完成下面的列联表：
是否佩戴头盔
年龄
是
否
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【试题来源】湖北省武汉市2021届高三下学期3月质量检测
【答案】（1）39；（2）列联表见解析；（3）没有把握.
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解..
（2）根据统计表完成列联表.
（3）根据列联表，利用公式求得的值，然后与临界值表对照下结论.
【解析】（1）该市电动自行车骑行人员平均年龄为
.
（2）
是否佩戴头盔
年龄
是
否
540
60
340
60
（3）.
故而没有的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关.
10．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票.按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了份，暴雨前的投票也收集了份，所得统计结果如下表：
支持
不支持
总计
北京暴雨后
北京暴雨前
总计
已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为.
（1）求列联表中的数据､､､的值；
（2）绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？
（3）能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？
【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过
【答案】（1），，，；（2）条形统计图答案见解析，暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；（3）有把握.
【分析】（1）先求出的值，再求的值；（2）先求出暴雨前后的支持率和不支持率，画出条形统计图，再通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度.（3）利用独立性检验求解即可.
【解析】（1）设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件，
由已知得，所以，，，；
（2）由（1）知北京暴雨后支持为，不支持率为，
北京暴雨前支持率为，不支持率为，
条形统计图如图：
由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；
（3），
故至少有把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关.
【名师点睛】独立性检验的解题步骤：（1）2*2列联表；（2）提出假设：设与没有关系；
（3）根据列联表中的数据计算的值；（4）根据计算得到的随机变量的观测值作出判断.
11．某学习研究机构调研数学学习成绩对物理学习成绩的影响，随机抽取了100名学生的数学成绩和物理成绩(单位：分).
物理
数学
合计
24
18
6
48
8
12
16
36
2
6
8
16
合计
34
36
30
100
（1）随机抽取一名同学，试估计其“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率；
（2）完成下面的2×2列联表.
物理
数学
合计
合计
（3）根据（2）中的数据，判断是否有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.6354
10.828
附
【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试
【答案】（1）；（2）见解析；（3）有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
【分析】（1）先求得“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生”的人数，再由古典概率公式可求得所求的概率；
（2）由已知的数据可得出2×2列联表；
（3）由（2）中的数据，计算，可得结论.
【解析】（1）数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生有：人，所以 “数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率为；
（2）2×2列联表如下表所示：
物理
数学
合计
合计
（3）由（2）中的数据，得，
所以有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.
【名师点睛】本题考查求古典概率，独立性检验的问题，关键在于对数据处理，准确地运用相应的公式，并且理解其数据的实际意义．
12．某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），其中评分不低于80分视为强力有效，否则视为效力一般．得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将选取的100名试验者的性别与疫苗是否强力有效进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并能否判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关?
强力有效
效力一般
合计
男性
50
女性
10
合计
100
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2020-202学年高三上学期（2018级）第二次联考
【答案】（1），平均数为；（2）2×2列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为疫苗的强效力与性别有关.
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于即可求的值，再利用小矩形底边中点横坐标乘以对应的小矩形面积之和即可得平均数；（2）由已知条件即可补充列联表；再利用卡方分布的计算公式求与临界值比较即可判断.
【解析】（1）由，解得
平均得分为
（2）由己知可得强力有效人数有人，
则列联表为
强力有效
效力一般
合计
男性
20
30
50
女性
10
40
50
合计
30
70
100
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为疫苗强效力与性别有关.
13．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.
年级名次
是否近视
近视
40
30
不近视
10
20
（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在名和名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在名的概率.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
，其中.
【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试
【答案】（1）4.74；（2）能；（3）.
【分析】（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果；
（2）利用题中所给的列联表，求得的值，与表中所给的临界值比较，得到结论；
（3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可.
【解析】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为人，
第五组的频数为人，所以前四组的频数和为人，
而前四组的频数依次成等比数列，
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人，
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有（或）
解得，所以中位数是4.74；
（2）因为，
所以，所以，
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；
（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在名和
名的分别有2人和4人，
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个，
至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个，
所以至少有1人的年级名次在名的概率为.
【名师点睛】该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下：
（1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果；
（2）利用公式求得的值，结合临界值得到结果；
（3）利用古典概型概率公式求得概率.
14．习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活.当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词.某地一研究团队统计了该地区位居民的日行步数，得到如下表格：
日行步数（单位：千步）
人数
（1）为研究日行步数与居民年龄的关系，以日行步数是否超过千步为标准进行分层抽样，从上述位居民中抽取人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关；
日行步数千步
日行步数千步
总计
岁以上
岁以下（含岁）
总计
（2）以这位居民日行步数超过千步的频率，代替该地区位居民日行步数超过千的概率，每位居民日行步数是否超过千相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了位居民，其中日行步数超过千的最有可能（即概率最大）是多少位居民?
附：
，其中.
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末
【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为日行步数与居民年龄超过岁有关；（2）最有可能是位居民.
【分析】（1）计算得知，抽取的人中，不超过千步的有人，超过千步的有人，可完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）计算出每位居民步数超过千的概率为，设步数超过千的最有可能是位居民，根据已知条件列出关于的不等式组，解出的取值范围即可得解.
【解析】（1）人中，步数不超过千步的有人，超过千步有人，
按分层抽样，抽取的人数中不超过千步的有人，超过千步的有人，列联表如下：
日行步数千步
日行步数千步
总计
岁以上
岁以下（含岁）
总计
故没有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关.
（2）每位居民步数超过千的概率为，
设步数超过千的最有可能是位居民，
，，，，即最有可能是位居民.
【名师点睛】解本题第二问概率最大的问题时，利用二项分布求随机变量在第的概率最大时，可根据列不等式组求解.
15．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到频率分布直方图，如图．
（1）求出频率分布直方图中的值和这200人的平均年龄；
（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关?
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，
【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（理）
【答案】（1），41.5；（2）；（3）没有.
【解析】（1）由题意得，所以，
200人的平均年龄为．
（2）由题意得利用分层抽样的方法从第一组抽取2人，从第二组抽取3人，
记从第一组抽取的2人为，，从第二组抽取的3人为，，
则从这5人中随机抽取2人的基本事件有，即10种，
其中两人恰好属于不同组别的基本事件有种，即6种，
故所求的概率．
（3）由题意可得列联表为
购买力强人群
购买力弱人群
合计
青少年组
100
20
120
中老年组
60
20
80
合计
160
40
200
故的观测值，
故没有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关．
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