北师大版九年级下册第三章 圆7 切线长定理精品教学设计

这是一份北师大版九年级下册第三章 圆7 切线长定理精品教学设计，共10页。教案主要包含了教师准备，学生准备，学生活动，师生活动，教师点评，教师引导，教师活动，基础巩固等内容，欢迎下载使用。

*7　切线长定理





1.了解切线长的概念,并经历探索切线长定理的过程.
2.会证明切线长定理,并能运用切线长定理进行相关的计算.

1.初步学会从数学的角度提出问题、理解问题,并能运用所学的知识和技能解决问题,发展应用意识.
2.在解题过程中,形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神.

了解数学的价值,对数学有好奇心与求知欲,在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

【重点】　了解切线长的概念,掌握切线长定理.
【难点】　切线长定理的证明及应用.

【教师准备】　多媒体课件和圆规.
【学生准备】　
1.复习三角形内切圆等相关知识.
2.直尺和圆规.


导入一:

在一个墙角放置了一个圆形的容器,俯视图如图所示,在俯视图中圆与两边的墙分别切于B,C两点.
【问题】　图中的线段AB和线段AC的长度有什么关系?为什么?
学生大胆猜测:AB=AC,但是不知道什么原因.
【引入】　从☉O 外的A点画出的两条切线AB和AC为什么相等?这就是本节课我们要探究的内容——切线长定理.
[设计意图]　通过让学生看到日常生活所熟悉的情境,极大地激发了学生的学习兴趣,并在鼓励其大胆猜想的同时引出了本节课所要探究的内容,使学生能做到有的放矢.
导入二:
如图所示,PA,PB是☉O的两条切线.有一天中午,一只小蜗牛放学回家,饥饿难耐,妈妈把小蜗牛喜欢吃的两份一样的美食分别放在了☉O上的A,B两点处,你帮小蜗牛选择一下,在相同的速度的条件下,沿路PA走还是沿路PB走能使它尽快吃到食物?

【学生活动】　学生积极发言,大胆猜测,教师要求学生说明各自结论的理由.
学生分析:大部分同学会认为两条路是一样的,即PA=PB.
【问题】　PA和PB是过圆外一点P画出的圆的两条切线,如果PA=PB,那么是否过圆外任意一点画出的圆的两条切线都相等呢?
[设计意图]　通过小蜗牛的故事,吸引了学生的注意力,让他们在游戏中初步感知本节课的探究任务,为下面切线长定理概念的探究打下了良好的基础.

　　[过渡语]　前面我们探究了圆的切线的性质定理,圆的切线还有哪些相关的性质呢?今天我们就来进行探索.
一、切线长概念
想一想:过圆外一点画圆的切线,你能画出几条?
【师生活动】　学生迅速抢答:过圆外一点可以作一条、两条,还有的学生认为可以作无数条圆的切线.教师要求学生动手操作,教师巡视发现问题.
【教师点评】　过圆外一点能画出两条圆的切线.
课件出示:

【议一议】　如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.
问题:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.
问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗?
【师生活动】　学生思考后得出PA=PB.教师要求学生说说理由.
代表发言:因为这个图形是轴对称图形,根据其性质“对应线段相等” 就可以得出PA=PB.
【教师点评】　图中的线段PA,PB是圆的切线,它们的长度就叫做切线长.
切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
[设计意图]　通过切线长概念的探究过程,不但了解了切线长的概念,而且通过对相等线段的判断,使学生初步感知了切线长定理的证明方法,为下面定理的证明打下良好的基础.
[知识拓展]　
切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
　　[过渡语]　上面我们了解了切线长的概念,那么过圆外一点所画的圆的两条切线的长度有什么关系呢?
二、切线长定理及其证明
【教师引导】　通过情境导入和上面对议一议第二个问题的探究,我们都得到了一个同样的结论切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
【想一想】　除了刚才我们利用轴对称的性质外,你还有其他的方法对切线长定理进行证明吗?
学生分析:根据“见切点连半径”的思路,可以构造出两个直角三角形,再根据切线的性质证明两个三角形全等就可以得出PA=PB.

【师生活动】　要求学生先独立解答,完成后同伴相互交流,代表板演展示.学生完成后,教师课件出示解答过程,供学生参考,规范他们的解题步骤.
　已知:如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.
求证:PA=PB.

证明:连接OA,OB,PO.
∵PA,PB是☉O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△OPA和Rt△OPB中,
∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OPA≌Rt△OPB.
∴PA=PB.
符号语言描述:
若线段PA,PB是☉O的切线,则PA=PB.
[设计意图]　通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得.
[知识拓展]　切线长定理推论1:圆心和圆外一点的连线,平分从这点出发的两条切线的夹角.
三、圆外切四边形边的性质
[过渡语]　上节课我们研究了三角形的内切圆的性质,那么四边形的内切圆又有什么样的性质呢?课件出示:
【想一想】　如图所示,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系?与同伴进行交流.

【教师活动】　为帮助学生更好地解决问题,教师出示下面的图形,帮助学生进行分析.

【学生活动】　学生仔细观察,找出图中相等的线段后,与同伴交流,统一答案.
代表发言:∵四边形ABCD为圆外切四边形,根据切线长定理可得:AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH.
【问题】　但是原图中并没有E,F,G,H四个点,显然题目的原意并不是要得出上面的四组线段相等,你还能得出线段之间的相等关系吗?
【师生活动】　学生分组讨论,教师巡视并参与到学生的讨论当中去,对感觉有难度的学生及时进行点拨、指正.每组的代表把得到的结论写在黑板上,统一学生的答案,教师找学生说明理由.
证明:∵AH=AE,BE=BF,CF=CG,DG=DH,
∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=(AH+DH)+(BF+CF)= AD+BC,
即AB+CD=AD+BC.
【教师点评】　切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等.
[设计意图]　通过探究,使学生对切线长定理有了更深刻的理解,同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力.
　　[过渡语]　本节课我们理解并掌握了切线长定理,相信你一定能利用这个知识解决下面的问题.
课件出示:

　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,求☉O的半径.
思路一
〔解析〕　由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据 “见切点连半径”作出辅助线,可以得出四边形OECF是正方形.然后利用切线长定理可以列出以☉O半径为未知数的方程,解方程得出半径.
解:连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF,设OD=r.
在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,
∴AB===26.
∵☉O分别与AB,BC,CA相切于点D,E,F,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.
又∵∠C=90°,
∴四边形OECF为正方形.
∴CE=CF=r.
∴BE=24-r,AF=10-r.
∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r.
而AB=26,∴34-2r=26.
∴r=4,
即☉O的半径为4.
思路二
〔解析〕　由AC,BC的值利用勾股定理可以求出AB的长度.根据 “见切点连半径”作出辅助线,利用“△ABC的面积=△ABO的面积+△BCO的面积+△ACO的面积”, 列出以☉O半径为未知数的方程.

解:设OD=r,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,
在Rt△ABC中,AC=10,BC=24,
∴AB===26.
∵S△ABC =S△ABO+S△BCO+S△ACO,
∴×10×24=×26×r+×24×r+×10×r,
解得r=4.
即☉O的半径为4.
[设计意图]　本节课的例题设计紧扣这堂课的知识点,通过对例题的解答,既巩固了本节课的重点,又培养了学生灵活应用切线长定理的能力.

1.切线长概念.
2.切线长定理.
3.切线长定理的两个推论.

1.如图所示,PA切☉O于A,PB切☉O于B,OP交☉O于C,下列结论中错误的是 (　　)
A.∠1=∠2 B.PA=PB
C.AB⊥OP D.PA2=PC·PO
解析:由切线长定理可判断出A,B选项均正确.易知△ABP是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的特点,可求出AB⊥OP,故C正确.故选D.

2.如图所示,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作☉O与MC相切于点D,则CD的长为 (　　)
　　A. B. C.2 D.3

解析:在Rt△BCM中,tan 60°==,∴BC==2,∵AB为☉O的直径,且AB⊥BC,∴BC为圆O的切线,又CD也为☉O的切线,∴CD=BC=2.故选C.
3.如图所示,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为　　　　. 
解析:∵AB,AC,BC都是☉O的切线,∴AD=AE,BD=BF,CE=CF,∵AB=4,AC=5,AD=1,∴AE=1,BD=BF=3,CE=CF=4,∴BC=BF+CF=3+4=7.故填7.

4.如图所示,PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C,☉O的半径为6 cm,OP的长为10 cm,则△PDE的周长是　　　　. 

解析:连接OA.∵PA,PB,DE分别切☉O于A,B,C点,∴BD=CD,CE=AE,PA=PB,OA⊥AP.在直角三角形OAP中,根据勾股定理,得AP=8,∴△PDE的周长为2AP=16.故填16 cm.

5.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B,连接PO与☉O相交于C,连接AC,BC,求证AC=BC.
证明:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB,∠APC=∠BPC.
又∵PC=PC,∴△APC≌△BPC.∴AC=BC.

7　切线长定理
1.切线长概念:
过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.

一、教材作业
【必做题】
1.教材第95页随堂练习.
2.教材第96页习题3.9第1,2,3题.
【选做题】
教材第96页习题3.9第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4

2.如图所示,圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15 cm,那么等腰梯形ABCD的周长等于 (　　)
A.15 cm B.20 cm C.30 cm D.60 cm

3.如图所示,P为☉O的直径BA延长线上的一点,PC与☉O相切,切点为C,点D是☉上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:①PD与☉O相切;②四边形PCBD是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为　　　　个. 

4.如图所示,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是　　　　. 

【能力提升】
5.(内江中考)如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E,则AD为 (　　)
A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1

6.(宜宾中考)如图所示,已知AB为☉O的直径,AB=2,AD和BE是☉O的两条切线,A,B为切点,过圆上一点C作☉O的切线CF,分别交AD,BE于点M,N,连接AC,CB,若∠ABC=30°,则AM=　　　　. 

7.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,分别交PA,PB于点D,C.若PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,求△PCD的周长.

8.如图所示,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.☉O分别内切Rt△ABC的三边AB,BC,CA于D,E,F,半径r=2.求△ABC的周长.

【拓展探究】
9.(聊城中考)如图所示,AB,AC分别是半圆O的直径和弦,OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P.连接PC并延长,与AB的延长线交于点F.
(1)求证PC是半圆O的切线;
(2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段BF的长.

【答案与解析】
1.B(解析:∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形.∴AB=PA=2.故选B.)
2.D(解析:根据梯形的中位线等于两底和的一半,得梯形的两底和等于梯形的中位线的2倍,即30 cm.根据圆外切四边形的两组对边和相等,得梯形的两腰的和等于两底和,即30 cm.则梯形的周长等于30+30=60(cm).故选D.)
3.4 (解析:①连接OC,OD,利用切线的性质得出∠PCO=90°,进而得出△PCO≌△PDO(SSS),即可得出∠PCO=∠PDO=90°,得出答案正确;②利用①所求得出:∠CPB=∠BPD,进而求出△CPB≌△DPB(SAS),即可得出答案正确;③利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA),进而得出CO=PO=AB,即可得出答案正确;④利用四边形PCBD是菱形,∠CPO=30°,且DP=DB,则∠DPB=∠DBP=30°,即可得出答案正确.)
4.2(解析:如图所示,设切点分别为D,E,F,连接OD,OE,∵☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,∵∠ACB=90°,∴四边形ODCE是正方形,设OD=r,则CD=CE=r,∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r,∴5+3-r=4+r,r=2,则☉O的半径是2.)

5.B (解析:连接OD,OE,设AD=x,∵半圆分别与AC,BC相切,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵∠C=90°,∴四边形ODCE是矩形,∴OD=CE,OE=CD,∴CD=CE=OE=OD=4-x,BE=6-(4-x)=x+2,∵∠AOD+∠A=90°,∠AOD+∠BOE=90°,∴∠A=∠BOE,∴△AOD∽△OBE,∴=, ∴=,解得x=1.6.故选B.)
6.(解析:连接OM,OC,∵OB=OC,且∠ABC=30°,∴∠BCO=∠ABC=30°,∵∠AOC为△BOC的外角,∴∠AOC=2∠ABC=60°,∵MA,MC分别为☉O的切线,∴MA=MC,且∠MAO=∠MCO=90°,在Rt△AOM和Rt△COM中,MA=MC,OM=OM,∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL),∴∠AOM=∠COM= ∠AOC=30°,在Rt△AOM中,OA=AB=1,∠AOM=30°,∴tan 30°=,即=,∴AM=.)
7.解:∵PA,PB的长是关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0的两个根,∴PA+PB=m,PA·
PB=m-1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,∴PA=PB=,即·=m-1,即m2-4m+4=0,解得m=2,∴PA=PB=1,∵PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,∴AD=ED,BC=EC,∴△PCD的周长为PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2.
8.解:根据切线长定理,得BD=BE,CE=CF,AD=AF.如图所示,连接OE,OF,则OE⊥BC,OF⊥AC,∴四边形OECF是矩形,又∵OE=OF,∴矩形OECF是正方形,∴CE=CF=r=2.又∵BC=5,∴BE=BD=3.设AF=AD=x,根据勾股定理,得(x+2)2+25=(x+3)2,解得x=10.则AC=12,AB=13.即△ABC的周长是5+12+13=30.

9.(1)证明:如图,连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,又在Rt△PAD和Rt△PCD中,PD=PD,∴PA=PC,在△OAP和△OCP中,OA=OC,PA=PC,OP=OP,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP,∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.　(2)解:∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=30°,∴∠COF=60°,∵PC是半圆O的切线,AB=10,∴OC⊥PF,OC=OB=AB=5,∴OF===10.∴BF=OF-OB=5.




本课依然采用自主探究与小组合作结合的学习方式,对课程内容提出问题后先让学生独立完成,然后在小组内交流并整理所获得的信息内容,最后在课堂上展示组内成果,从而调动学生学习的积极性.在探究过程中要积极引导学生进行操作、观察、归纳、推理等活动,鼓励学生动手、动脑和动口,使学生经历知识的探索过程,并让他们在学习活动中体会到成功的喜悦,从而使教学目标落实到位.

讲解例题时,增加了一种解题思路,所以只注意了优等生的课堂反映情况,对后进生的关注不够,造成了有的学生掌握得不好.

在教学中不要只强调结论,要特别关注学生的动手操作过程,关注他们互相交流的过程,看学生是否能积极地投入到数学活动中去,要多加鼓励,提高他们学习数学的兴趣.


随堂练习(教材第95页)

解:如图所示,连接OA,OB.因为PA为☉O的切线,所以OA⊥PA,即∠OAP=90°.因为OA=3,PO=6,所以PA==3.同理可得PB=3.
习题3.9(教材第96页)
1.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,DE切☉O于C,∴PA=PB=5 cm,DA=DC,EC=EB,∴△PDE的周长=PD+PE+DC+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB=10 cm.
2.解:设AF=x,∵△ABC的内切圆☉O与三边分别相切于D,E,F三点,AB=9,BC=14,CA=13,∴AE=AF=x,BF=BD=AB-AF=9-x,CE=CD=AC-AE=13-x,∵BD+CD=BC,∴9-x+13-x=14,解得x=4,∴AF=4,BD=5,CE=9.
3.解:∵PA与PB分别切☉O于A,B两点,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∵∠P=40°,∴∠PAB=∠PBA=70°.∵AD=BE,BD=AF,∴△FAD≌△DBE. ∴∠ADF=∠BED.∵∠BED+∠BDE=180°-70°=110°,∴∠ADF+∠BDE=110°. ∴∠EDF=180°-(∠ADF+∠BDE )=70°.
4.解:存在内切圆.连接AC,作∠ABC的平分线,交AC于点O,点O即为四边形ABCD的内切圆的圆心.过点O分别作BC,AB的垂线,垂足分别为E,F.可得四边形OEBF为正方形,OE即为☉O的半径.由△OEC∽△ABC得=,即=,解得OE=,即内切圆的半径为.


1.让学生通过动手操作逐步感知切线长的概念、定理、定理的证明、定理的应用的过程,再次体会探究新知的一般过程.
2.由于本节课的知识点比较少,所以通过自主探究和合作交流学生基本上可以掌握本节课的重点内容.
3.对于圆的外切四边形的性质的探究则可以利用切线长定理进行类比延伸.
4.切线长定理的辅助线作法——“见切点连半径”,也要求学生要重点掌握.

　　　如图所示,若△ABC的三边长分别为AB=
9,BC=5,CA=6,△ABC的内切圆☉O分别切AB,BC,AC于D,E,F,求AF的长.

〔解析〕　由切线长定理可知AF=AD,CF=CE,BE=BD,设AF=x,然后表示出BD,CF的长,即可表示出BE,CE的长,根据BE+CE=5,可求出AF的长.
解:设AF=x,根据切线长定理得AD=x,BD=BE=9-x,CE=CF=6-x,
则有9-x+6-x=5,解得x=5,
即AF的长为5.
[解题策略]　此题主要是运用了切线长定理,用已知数和未知数表示所有的切线长,再进一步列方程求解.