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初中北师大版4 二次函数的应用优秀教案及反思
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这是一份初中北师大版4 二次函数的应用优秀教案及反思，共17页。教案主要包含了教师准备，学生准备，师生活动，教师设疑，学生活动，教师活动，教师点评，基础巩固等内容，欢迎下载使用。
4 二次函数的应用
1.经历求最大面积、计算最大利润等问题的探索过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学知识的应用价值.
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值,增强解决问题的能力.
1.从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,培养学生分析问题和解决问题的能力.
2.通过小组合作探索,获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.
1.体验函数知识的实际应用价值,感受数学与人类生活的密切联系.
2.在实践动手中,让学生产生对数学的兴趣,从而培养学生观察和推理的能力,体验主动探究的快乐.
【重点】 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题.
【难点】 经历求最大面积、计算最大利润等问题的探索过程,建立二次函数——最优化问题的数学模型,感受数学知识的应用价值.
第课时
1.经历探究矩形最大面积问题和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
1.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展学生解决问题的能力,学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题.
2.通过观察图象,理解顶点的特殊性,会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题,通过动手动脑,提高分析、解决问题的能力,并体会一般与特殊的关系,培养数形结合思想、函数思想.
1.在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识,逐步养成合作交流的习惯.
2.培养学生学以致用的习惯,体会数学在生活中广泛的应用价值,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心.
【重点】 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.
【难点】 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习二次函数的性质及最值和几何图形的面积公式.
导入一:
一养鸡专业户计划用长116 m的竹篱笆靠墙(如图所示)围成一个矩形鸡舍,怎样设计才能使围成的矩形鸡舍的面积最大?最大面积为多少?
学生分析解题思路:设BC=x m,则AB=CD=(116-x)m,矩形鸡舍的面积为S,根据矩形的面积公式就可以得出S与x之间的函数关系式,由二次函数的顶点式就可以求出结论.
【引入】 求矩形鸡舍的最大面积的实质就是求二次函数表达式的最值问题,本节课我们就来探究形如最大面积的问题.
[设计意图] 通过对养鸡场的设计,既揭示了本节课的主题,又让学生体会了成功的喜悦,大大激发了学生的学习兴趣.
导入二:
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多?
课件出示:(生活中常见的广告牌)
请同学们思考下面的问题:
现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌?
【问题】 显然在周长一定的情况下,面积越大,利润就越多,老总越满意,如何能让广告牌的面积最大呢?
[设计意图] 通过实际情境设置悬念,引入新课,让学生充分感受到最值的概念,让学生亲身实践探究,培养学生思维的缜密性,渗透函数思想.
一、探究几何图形的最大面积问题
[过渡语] 在日常生活中,我们经常遇到与面积有关的设计问题,今天我们探究在什么情况下面积最大,最大面积又是多少的问题.
给出课本的【引例】和【议一议】两个问题,探究最大面积的求解方法.
【引例】 如图所示,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
思路一
教师引导学生思考下面的问题:
1.△EBC和△EAF有什么关系?
2.如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
3.如何表示矩形ABCD的面积?
4.若矩形的面积为y m2,如何确定矩形ABCD面积的最大值?
【师生活动】 老师引导学生逐题解决,学生独立思考,然后与同伴交流,最后在小组交流中统一思路,代表展示:
解:(1)∵AB=x,∴CD=AB=x.
∵BC∥AD,∴△EBC∽△EAF.
∴=.
又AB=x,∴BE=40-x,
∴=,∴BC=(40-x).
∴AD=BC=(40-x)=30-x.
(2)由矩形面积公式,得y=AB·AD=x·(40-x),
即y=-x2+30x=-(x-20)2+300.
所以当x=20时,y的值最大,最大值是300.
即当AB边长为20 m时,矩形ABCD的面积最大,是300 m2.
思路二
【教师设疑】 如果设AD边的长为x m,那么问题会怎样呢?与同伴交流.
【学生活动】 小组讨论后,统一想法:要求面积需求AB边的长,而AB=DC,所以需要求DC的长度,而DC是△FDC中的一边,所以可以利用三角形相似来求.
解:(1)∵DC∥AB,∴△FDC∽△FAE,
∴=.
∵AD=x,FD=30-x,∴=.
∴DC=(30-x),∴AB=DC=(30-x).
(2)y=AB·AD=(30-x)·x=-x2+40x=-(x-15)2+300.
当x=15时,y最大=300.
即当AD的长为15 m时,矩形的面积最大,最大面积是300 m2.
[设计意图] 从矩形的面积公式入手,利用相似三角形的性质表示出另外一条边,才能列出函数表达式,这一过程先由学生独立思考后,分组合作探究、交流,帮助个别存在困难的同学解决.此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法.
[过渡语] 如果我们将上面的问题进行变式,你能求出它的最大面积吗?
课件出示:
【议一议】 在上面的问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?你是怎样知道的?
【师生活动】 通过观察,想一想此图形和上面图形的区别,判断是否也可以利用相似解决.经过讨论交流,一部分学生得出:可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决.对于感觉有难度的学生,老师给予提示:可以过点G作GN⊥EF于点N,交AD于点M.
【学生活动】 学生先尝试独立解答,仍感觉有困难的学生可以求助同学或老师.
【教师活动】 学生解答后,老师课件出示解题过程,供学生订正,规范学生的解题步骤.
解:如图所示,过点G作GN⊥EF于点N,交AD于点M.
在Rt△GEF中,由勾股定理,得EF===50.
再由等积法求斜边上的高,得GE·GF=EF·GN,
即×30×40=×50×GN,∴GN=24.
设矩形的一边AD=x m,由△GAD∽△GEF,得=,即=,
∴GM=x,∴AB=MN=GN-GM=24-x,
S矩形ABCD=AD·AB=x=-x2+24x.
当x=-=-=25时,y最大值==300.
【教师点评】 虽然这两个内接矩形情形不同,但得到最大面积都是300 m2.
[设计意图] 既加深了旧知的复习应用,又在比较中总结表示线段的多种方法,让学生体会到类比解题,在同中找异.
[知识拓展] 求二次函数最大(小)值的方法:(1)利用顶点坐标公式,求最大(小)值;(2)利用配方法化为顶点式,求最大(小)值;(3)利用图象,找顶点,求最大(小)值.
[过渡语] 通过上面的探究,我们已经掌握了求最大面积的方法,你能运用这个知识解决我们生活中的有关面积的问题吗?
二、探究窗户透光最大面积问题
(教材例1)某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01 m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01 m2)
〔解析〕 求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,矩形的面积为2xy,即2x·,半圆的面积为πx2,所以窗户的面积为S=πx2+2x·,求出函数最大值即可.
解:∵7x+4y+πx=15,
∴y=.
∵0
S=πx2+2xy=πx2+2x·=-x2+x=-+.
∴当x=≈1.07时,S最大=≈4.02.
因此当x约为1.07 m时,窗户通过的光线最多,此时,窗户的面积约为4.02 m2.
【教师点评】 确定自变量x的取值范围时,往往需要解不等式组.
[设计意图] “乘胜追击”,在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中,让学生继续沿着这条探究路线走下去,既能巩固前面的探究方法,又能让学生再次感受“数学来源于生活”.
[知识拓展] 利用二次函数知识解决生活中最大(小)值问题的方法:(1)找出题目中的等量关系.(2)把实际问题转化为数学问题.
1.利用相似三角形的性质表示矩形的另一边,是列矩形面积与一边长的函数关系式的关键.
2.几何图形最大面积问题,实质上是二次函数的最值问题.
3.解决此类问题,理解问题,分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系是难点,用数学的方式表示它们间的关系是关键,化归为二次函数并运用公式求解是易错点.
1.已知二次函数y=3x2-12x+13,则函数值y的最小值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
解析:∵二次函数y=3x2-12x+13可化为y=3(x-2)2+1,∴当x=2时,二次函数y=3x2-12x+13有最小值,为1.故选C.
2.用长为8 m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为 ( )
A. m2 B. m2 C. m2 D.4 m2
解析:设矩形的一边长为x m,则另一边长为(4-x)m,矩形的面积S=x(4-x)=-(x-2)2+4,因为a=-1<0,所以当x=2时,S有最大值,最大值为4.故选D.
3.周长为16 cm的矩形的最大面积为 cm2.
解析:设矩形的一边长为x cm,所以另一边长为(8-x)cm,其面积为S=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴周长为16 cm的矩形的最大面积为16 cm2.故填16.
4.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是 m, m.
解析:由题意,得2x+3y=120,所以y=40-x,鸡舍的总面积S=2x=-(x-30)2+1200,所以当x=30时,鸡舍的总面积最大,此时y=20.
答案:30 20
5.一块三角形废料如图所示,∠C=90°,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大?最大面积是多少?
解:∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB==10.
∵四边形CDEF是矩形,
∴EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,
∴=.
设AE=x,则BE=10-x,
∴=,∴EF=(10-x),
同理可得DE=x.
矩形CDEF的面积S=DE·EF=x·(10-x)=-(x-5)2+12(0
即当AE为5时,所剪出的矩形CDEF面积最大,最大面积为12.
第1课时
1.求二次函数最大(小)值的方法:(1)利用顶点坐标公式,求最大(小)值;(2)利用配方法化为顶点式,求最大(小)值;(3)利用图象,找顶点,求最大(小)值.
2.利用二次函数知识解决生活中最大(小)值问题的方法:(1)找出题目中的等量关系.(2)把实际问题转化为数学问题.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第47页随堂练习.
2.教材第47页习题2.8第1,2,3题.
【选做题】
教材第48页习题2.8第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图所示,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是 ( )
A.4 m B.3 m
C.2 m D.1 m
2.(六盘水中考)如图所示,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 ( )
A.60 m2 B.63 m2
C.64 m2 D.66 m2
3.(温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为 m2.
4.一司机发现前面有一不明物体,于是采取紧急刹车,汽车刹车后行驶距离s(m)与行驶时间t(s)之间的函数关系式为s=20t-5t2,则这个物体至少在 m以外,司机刹车后才不会撞到物体.
【能力提升】
5.如图所示,在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H(不与A,B,C,D各点重合),使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是 ( )
A.1350 B.1300
C.1250 D.1200
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过 s,四边形APQC的面积最小.
7.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体.其中,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)
8.(成都中考)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m.
(1)若花园的面积为192 m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
【拓展探究】
9.(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:
请根据上面的信息,解决问题:
(1)设AB=x m(x>0),试用含x的代数式表示BC的长(包括门);
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
【答案与解析】
1.A(解析:∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴喷水的最大高度为4 m.故选A.)
2.C(解析:设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,y最大=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.)
3.75(解析:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为27+3-3x=30-3x(m),则总面积为x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75(m2),故饲养室的最大面积为75 m2.故填75.)
4.20(解析:s=20t-5t2=-5(t-2)2+20,所以s的最大值为20.故填20.)
5.C(解析:设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面积是S.由题意,得BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,则S△AHE=S△CGF=x2,S△DGH=S△BEF=(60-x)(40-x),所以四边形EFGH的面积为S=60×40-x2-(60-x)(40-x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250(0
7.解:已知抽屉底面宽为x cm,则底面长为180÷2-x=(90-x)cm.∵90-x≥x,∴0
9.解:(1)设AB=x m,可得BC=69+3-2x=72-2x(m). (2)小英的说法正确.理由如下:矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,∵72-2x>0,∴x<36,∴0
对学生来说,在实际背景中解决最优化问题,不是很容易的一件事.主要是实际应用问题的叙述往往比较长,使人感到问题很难,其次,分析其中各个量之间的关系也不是-件轻松的事情.为了解决好这类问题,首先要求学生不要有畏难情绪,坚信自己可以学会解决应用问题;二是要读懂问题,明确要解决的问题是什么;三是要分析问题中各个量之间的关系,把问题转化为数学知识.这样就把握了重点,突破了难点.
教学中没有充分挖掘出学生的建模潜力,没有充分发挥学生的主观能动性.
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.
随堂练习(教材第47页)
解:如果设AD=x,那么AB=40-x,可得y=-x2+40x=-(x-15)2+300.当x=15时,y最大=300.
习题2.8(教材第47页)
1.解:设AD的长为x m,则AB的长为 m(0
3.解:(1)如图(1)所示,设货运卡车在隧道内的位置为矩形MNPQ,则MQ=NP=RL=2 m,MN=PQ=4 m,当x=1时,y=-x2+4=-×12+4=,+2>4,所以货运卡车能通过隧道. (2)如图(2)所示,货运卡车在隧道内的位置为矩形MNPQ,则MQ=NP=RL=2 m,MN=PQ=4 m,当x=2时,y=-x2+4=-×22+4=3,3+2>4,所以货运卡车能通过隧道.
4.提示:(1)设函数表达式为y=ax2,则B(10,y1),D(5,y2),根据题意,得y2-y1=3.所以52a-102a=3,解得a=-. (2)=7(h),0.25×7=1.75<3,所以该船按原来速度行驶,可以安全通过此桥.
1.求解实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题,利用二次函数求最值问题实际就是把实际问题抽象为数学问题,即二次函数问题;求最值的关键是把一般式转化为顶点式,这是学习时要重点把握的两点.
2.要熟练运用用二次函数知识解决实际问题的基本思路和方法.首先设出一个量,然后用相似三角形的性质表示另一个量,再用数学的方式表示它们之间的关系,得到二次函数表达式(顶点式),最后要检验结果的合理性.
求最值时,忽略自变量的取值范围
如图所示,一座拱形桥的桥拱是抛物线,抛物线在平面直角坐标系中的表达式可以用y=-x2+x+2表示,当-1≤x≤0时,桥拱离水面的最大高度是 ( )
A.3.125 B.4
C.2 D.0
【错解】 A
【错解分析】 忽略了自变量的取值范围为-1≤x≤0,误认为顶点的纵坐标3.125就是其最大
高度.
【正解】 C
【正解分析】 由图象可知,当x<1.5时,y随x的增大而增大,∵-1≤x≤0,∴当x=0时,函数有最大值,为2.
王明的爷爷用一段长30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
〔解析〕 设菜园宽为x m,则长为(30-2x)m,由面积公式写出S与x的函数关系式,然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积及取得最大面积时矩形的长和宽.
解:设矩形的宽为x m,面积为S m2,
根据题意得S=x(30-2x)=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5,
所以当x=7.5时,S有最大值,最大值为112.5.
30-2x=30-15=15.
故当矩形的长为15 m,宽为7.5 m时,矩形菜园的面积最大,最大面积为112.5 m2.
[解题策略] 本题主要考查二次函数的应用,关键在于找出等量关系列出方程求解,另外应注意配方法求最大值在实际问题中的应用.
第课时
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.
1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.
2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.
【重点】
1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.
【难点】 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.
导入一:
【引入】 如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.
[设计意图] 开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.
导入二:
请同学们思考下面的问题:
某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?
学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.
即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.
∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.
【引入】 显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?
[设计意图] 让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.
[过渡语] 数学来源于生活,生活中处处有数学,下面我们继续运用二次函数解决实际问题——最大利润问题.
一、利用二次函数解决最大利润问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.
请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?
思路一
教师引导学生思考下面的问题:
1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.
2.此题的等量关系是什么?
3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:
(1)销售量可以表示为 ;
(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为 ;
(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为 .
4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?
【师生活动】 教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.
解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.
由题意得y=(x-10)
=(70000-5000x)(x-10)
=-5000(x-12)2+20000.
∴当x=12时,y最大=20000.
∴厂家批发价是12元时可以获利最多.
思路二
【思考】 此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?
【师生活动】 学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.
解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.
则y=(13-10-x)
=(5000+5000x)(3-x)
=-5000(x-1)2+20000,
∴当x=1时,y最大=20000.
13-1=12.
∴厂家批发价是12元时可以获利最多.
【教师点评】 在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
[设计意图] 让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的难度.
[过渡语] 通过上面的探究,相信你已经掌握了利用二次函数解决最大利润问题的方法,试试能不能解决下面的问题.
课件出示:
(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?
〔解析〕 此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.
解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,
则y=(160+10x)(120-6x),
即y=-60(x-2)2+19440.
∵x≥0,且120-6x>0,
∴0≤x<20.
当x=2时,y最大=19440,
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),
因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.
[设计意图] 让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.
二、利用二次函数图象解决实际问题
课件出示:
【议一议】 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.
问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.
要求:同伴合作,画出图象.
师课件出示函数图象,供学生参考.
问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?
看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.
学生积极思考,合作交流.
请代表展示他们的讨论成果:
结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.
结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.
能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?
学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.
[设计意图] 让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.
用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.
1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为 ( )
A.3144元 B.3100元
C.144元 D.2956元
解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.
2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高 ( )
A.4元或6元 B.4元
C.6元 D.8元
解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.
3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为 .
解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.
4.(沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.
解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w有最大值,为25.故填25.
5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,
由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.
∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.
∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.
(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,
由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,
∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.
∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.
第2课时
用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第49页随堂练习.
2.教材第50页习题2.9第1,2题.
【选做题】
教材第50页习题2.9第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是 ( )
A.当x=2时,利润有最大值48元
B.当x=-2时,利润有最大值48元
C.当x=2时,利润有最小值48元
D.当x=-2时,利润有最小值48元
2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价 ( )
A.5元 B.10元
C.12元 D.15元
3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是 元.
4.(营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
【能力提升】
5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为 ( )
A.30万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低 ( )
A.0.2元或0.3元 B.0.4元
C.0.3元 D.0.2元
7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?
8.(汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价/(元/件)…
100
110
120
130
月销量/件…
200
180
160
140
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润;
②月销量.
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?
【拓展探究】
9.(舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足下列关系式:y=
(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)
(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?
【答案与解析】
1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)
2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大=3600.)
3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)
4.22(解析:设定价为x元,根据题意得平均每天的销售利润y=(x-15)·[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870,∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.∵a=-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x=22时,y最大值=98.故填22.)
5.D(解析:设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,根据题意得出:W=y1+y2=-x2+10x+2(15-x)=-x2+8x+30=-(x-4)2+46,∴最大利润为46万元.)
6.C(解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.根据题意,得(3-2-x)-24=200.解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)
7.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由所给函数图象可知解得故y与x的函数关系式为y=-x+180. (2)∵y=-x+180,∴W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000=-(x-140)2+1600.∵a=-1<0,∴当x=140时,W最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.
8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x-60)元.②设月销量w与x的关系式为w=kx+b,由题意得解得∴w=-2x+400.∴月销量为(-2x+400)件. (2)由题意得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
9.解:(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n+120=420,解得n=10.答:第10天生产的粽子数量为420只. (2)由图象得当0≤x≤9时,p=4.1;当9≤x≤15时,设p=kx+b,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p=0.1x+3.2.①当0≤x≤5时,w=(6-4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w最大=513(元);②当5
本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.
对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.
今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.
随堂练习(教材第49页)
解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y最大=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大利润为4500元.
习题2.9(教材第50页)
1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y最大值=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.
2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润最大,最大利润为360元.
3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92 cm.
利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.
某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
时间x/天
1≤x<50
50≤x≤90
售价/(元/件)
x+40
90
每天销量/件
200-2x
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
〔解析〕 (1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.
解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.
当50≤x≤90时,
y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.
综上所述,y=
(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,
当x=45时,y最大=-2×452+180×45+2000=6050.
当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,
当x=50时,y最大=6000.
综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.
(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.
4 二次函数的应用
1.经历求最大面积、计算最大利润等问题的探索过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学知识的应用价值.
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值,增强解决问题的能力.
1.从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,培养学生分析问题和解决问题的能力.
2.通过小组合作探索,获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.
1.体验函数知识的实际应用价值,感受数学与人类生活的密切联系.
2.在实践动手中,让学生产生对数学的兴趣,从而培养学生观察和推理的能力,体验主动探究的快乐.
【重点】 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题.
【难点】 经历求最大面积、计算最大利润等问题的探索过程,建立二次函数——最优化问题的数学模型,感受数学知识的应用价值.
第课时
1.经历探究矩形最大面积问题和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
1.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展学生解决问题的能力,学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题.
2.通过观察图象,理解顶点的特殊性,会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题,通过动手动脑,提高分析、解决问题的能力,并体会一般与特殊的关系,培养数形结合思想、函数思想.
1.在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识,逐步养成合作交流的习惯.
2.培养学生学以致用的习惯,体会数学在生活中广泛的应用价值,激发学生学习数学的兴趣、增强自信心.
【重点】 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.
【难点】 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习二次函数的性质及最值和几何图形的面积公式.
导入一:
一养鸡专业户计划用长116 m的竹篱笆靠墙(如图所示)围成一个矩形鸡舍,怎样设计才能使围成的矩形鸡舍的面积最大?最大面积为多少?
学生分析解题思路:设BC=x m,则AB=CD=(116-x)m,矩形鸡舍的面积为S,根据矩形的面积公式就可以得出S与x之间的函数关系式,由二次函数的顶点式就可以求出结论.
【引入】 求矩形鸡舍的最大面积的实质就是求二次函数表达式的最值问题,本节课我们就来探究形如最大面积的问题.
[设计意图] 通过对养鸡场的设计,既揭示了本节课的主题,又让学生体会了成功的喜悦,大大激发了学生的学习兴趣.
导入二:
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多?
课件出示:(生活中常见的广告牌)
请同学们思考下面的问题:
现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌?
【问题】 显然在周长一定的情况下,面积越大,利润就越多,老总越满意,如何能让广告牌的面积最大呢?
[设计意图] 通过实际情境设置悬念,引入新课,让学生充分感受到最值的概念,让学生亲身实践探究,培养学生思维的缜密性,渗透函数思想.
一、探究几何图形的最大面积问题
[过渡语] 在日常生活中,我们经常遇到与面积有关的设计问题,今天我们探究在什么情况下面积最大,最大面积又是多少的问题.
给出课本的【引例】和【议一议】两个问题,探究最大面积的求解方法.
【引例】 如图所示,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
思路一
教师引导学生思考下面的问题:
1.△EBC和△EAF有什么关系?
2.如果设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
3.如何表示矩形ABCD的面积?
4.若矩形的面积为y m2,如何确定矩形ABCD面积的最大值?
【师生活动】 老师引导学生逐题解决,学生独立思考,然后与同伴交流,最后在小组交流中统一思路,代表展示:
解:(1)∵AB=x,∴CD=AB=x.
∵BC∥AD,∴△EBC∽△EAF.
∴=.
又AB=x,∴BE=40-x,
∴=,∴BC=(40-x).
∴AD=BC=(40-x)=30-x.
(2)由矩形面积公式,得y=AB·AD=x·(40-x),
即y=-x2+30x=-(x-20)2+300.
所以当x=20时,y的值最大,最大值是300.
即当AB边长为20 m时,矩形ABCD的面积最大,是300 m2.
思路二
【教师设疑】 如果设AD边的长为x m,那么问题会怎样呢?与同伴交流.
【学生活动】 小组讨论后,统一想法:要求面积需求AB边的长,而AB=DC,所以需要求DC的长度,而DC是△FDC中的一边,所以可以利用三角形相似来求.
解:(1)∵DC∥AB,∴△FDC∽△FAE,
∴=.
∵AD=x,FD=30-x,∴=.
∴DC=(30-x),∴AB=DC=(30-x).
(2)y=AB·AD=(30-x)·x=-x2+40x=-(x-15)2+300.
当x=15时,y最大=300.
即当AD的长为15 m时,矩形的面积最大,最大面积是300 m2.
[设计意图] 从矩形的面积公式入手,利用相似三角形的性质表示出另外一条边,才能列出函数表达式,这一过程先由学生独立思考后,分组合作探究、交流,帮助个别存在困难的同学解决.此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法.
[过渡语] 如果我们将上面的问题进行变式,你能求出它的最大面积吗?
课件出示:
【议一议】 在上面的问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?你是怎样知道的?
【师生活动】 通过观察,想一想此图形和上面图形的区别,判断是否也可以利用相似解决.经过讨论交流,一部分学生得出:可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决.对于感觉有难度的学生,老师给予提示:可以过点G作GN⊥EF于点N,交AD于点M.
【学生活动】 学生先尝试独立解答,仍感觉有困难的学生可以求助同学或老师.
【教师活动】 学生解答后,老师课件出示解题过程,供学生订正,规范学生的解题步骤.
解:如图所示,过点G作GN⊥EF于点N,交AD于点M.
在Rt△GEF中,由勾股定理,得EF===50.
再由等积法求斜边上的高,得GE·GF=EF·GN,
即×30×40=×50×GN,∴GN=24.
设矩形的一边AD=x m,由△GAD∽△GEF,得=,即=,
∴GM=x,∴AB=MN=GN-GM=24-x,
S矩形ABCD=AD·AB=x=-x2+24x.
当x=-=-=25时,y最大值==300.
【教师点评】 虽然这两个内接矩形情形不同,但得到最大面积都是300 m2.
[设计意图] 既加深了旧知的复习应用,又在比较中总结表示线段的多种方法,让学生体会到类比解题,在同中找异.
[知识拓展] 求二次函数最大(小)值的方法:(1)利用顶点坐标公式,求最大(小)值;(2)利用配方法化为顶点式,求最大(小)值;(3)利用图象,找顶点,求最大(小)值.
[过渡语] 通过上面的探究,我们已经掌握了求最大面积的方法,你能运用这个知识解决我们生活中的有关面积的问题吗?
二、探究窗户透光最大面积问题
(教材例1)某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01 m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01 m2)
〔解析〕 求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,矩形的面积为2xy,即2x·,半圆的面积为πx2,所以窗户的面积为S=πx2+2x·,求出函数最大值即可.
解:∵7x+4y+πx=15,
∴y=.
∵0
S=πx2+2xy=πx2+2x·=-x2+x=-+.
∴当x=≈1.07时,S最大=≈4.02.
因此当x约为1.07 m时,窗户通过的光线最多,此时,窗户的面积约为4.02 m2.
【教师点评】 确定自变量x的取值范围时,往往需要解不等式组.
[设计意图] “乘胜追击”,在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中,让学生继续沿着这条探究路线走下去,既能巩固前面的探究方法,又能让学生再次感受“数学来源于生活”.
[知识拓展] 利用二次函数知识解决生活中最大(小)值问题的方法:(1)找出题目中的等量关系.(2)把实际问题转化为数学问题.
1.利用相似三角形的性质表示矩形的另一边,是列矩形面积与一边长的函数关系式的关键.
2.几何图形最大面积问题,实质上是二次函数的最值问题.
3.解决此类问题,理解问题,分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系是难点,用数学的方式表示它们间的关系是关键,化归为二次函数并运用公式求解是易错点.
1.已知二次函数y=3x2-12x+13,则函数值y的最小值是 ( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
解析:∵二次函数y=3x2-12x+13可化为y=3(x-2)2+1,∴当x=2时,二次函数y=3x2-12x+13有最小值,为1.故选C.
2.用长为8 m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为 ( )
A. m2 B. m2 C. m2 D.4 m2
解析:设矩形的一边长为x m,则另一边长为(4-x)m,矩形的面积S=x(4-x)=-(x-2)2+4,因为a=-1<0,所以当x=2时,S有最大值,最大值为4.故选D.
3.周长为16 cm的矩形的最大面积为 cm2.
解析:设矩形的一边长为x cm,所以另一边长为(8-x)cm,其面积为S=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴周长为16 cm的矩形的最大面积为16 cm2.故填16.
4.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是 m, m.
解析:由题意,得2x+3y=120,所以y=40-x,鸡舍的总面积S=2x=-(x-30)2+1200,所以当x=30时,鸡舍的总面积最大,此时y=20.
答案:30 20
5.一块三角形废料如图所示,∠C=90°,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大?最大面积是多少?
解:∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB==10.
∵四边形CDEF是矩形,
∴EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,
∴=.
设AE=x,则BE=10-x,
∴=,∴EF=(10-x),
同理可得DE=x.
矩形CDEF的面积S=DE·EF=x·(10-x)=-(x-5)2+12(0
即当AE为5时,所剪出的矩形CDEF面积最大,最大面积为12.
第1课时
1.求二次函数最大(小)值的方法:(1)利用顶点坐标公式,求最大(小)值;(2)利用配方法化为顶点式,求最大(小)值;(3)利用图象,找顶点,求最大(小)值.
2.利用二次函数知识解决生活中最大(小)值问题的方法:(1)找出题目中的等量关系.(2)把实际问题转化为数学问题.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第47页随堂练习.
2.教材第47页习题2.8第1,2,3题.
【选做题】
教材第48页习题2.8第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图所示,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是 ( )
A.4 m B.3 m
C.2 m D.1 m
2.(六盘水中考)如图所示,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 ( )
A.60 m2 B.63 m2
C.64 m2 D.66 m2
3.(温州中考)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为 m2.
4.一司机发现前面有一不明物体,于是采取紧急刹车,汽车刹车后行驶距离s(m)与行驶时间t(s)之间的函数关系式为s=20t-5t2,则这个物体至少在 m以外,司机刹车后才不会撞到物体.
【能力提升】
5.如图所示,在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H(不与A,B,C,D各点重合),使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是 ( )
A.1350 B.1300
C.1250 D.1200
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过 s,四边形APQC的面积最小.
7.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体.其中,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)
8.(成都中考)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=x m.
(1)若花园的面积为192 m2,求x的值;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
【拓展探究】
9.(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69 m的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3 m的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:
请根据上面的信息,解决问题:
(1)设AB=x m(x>0),试用含x的代数式表示BC的长(包括门);
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
【答案与解析】
1.A(解析:∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴喷水的最大高度为4 m.故选A.)
2.C(解析:设BC=x m,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为y m2,根据题意得y=(16-x)x=-x2+16x=-(x-8)2+64,当x=8时,y最大=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.故选C.)
3.75(解析:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为27+3-3x=30-3x(m),则总面积为x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75(m2),故饲养室的最大面积为75 m2.故填75.)
4.20(解析:s=20t-5t2=-5(t-2)2+20,所以s的最大值为20.故填20.)
5.C(解析:设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面积是S.由题意,得BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,则S△AHE=S△CGF=x2,S△DGH=S△BEF=(60-x)(40-x),所以四边形EFGH的面积为S=60×40-x2-(60-x)(40-x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250(0
7.解:已知抽屉底面宽为x cm,则底面长为180÷2-x=(90-x)cm.∵90-x≥x,∴0
9.解:(1)设AB=x m,可得BC=69+3-2x=72-2x(m). (2)小英的说法正确.理由如下:矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,∵72-2x>0,∴x<36,∴0
对学生来说,在实际背景中解决最优化问题,不是很容易的一件事.主要是实际应用问题的叙述往往比较长,使人感到问题很难,其次,分析其中各个量之间的关系也不是-件轻松的事情.为了解决好这类问题,首先要求学生不要有畏难情绪,坚信自己可以学会解决应用问题;二是要读懂问题,明确要解决的问题是什么;三是要分析问题中各个量之间的关系,把问题转化为数学知识.这样就把握了重点,突破了难点.
教学中没有充分挖掘出学生的建模潜力,没有充分发挥学生的主观能动性.
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.
随堂练习(教材第47页)
解:如果设AD=x,那么AB=40-x,可得y=-x2+40x=-(x-15)2+300.当x=15时,y最大=300.
习题2.8(教材第47页)
1.解:设AD的长为x m,则AB的长为 m(0
3.解:(1)如图(1)所示,设货运卡车在隧道内的位置为矩形MNPQ,则MQ=NP=RL=2 m,MN=PQ=4 m,当x=1时,y=-x2+4=-×12+4=,+2>4,所以货运卡车能通过隧道. (2)如图(2)所示,货运卡车在隧道内的位置为矩形MNPQ,则MQ=NP=RL=2 m,MN=PQ=4 m,当x=2时,y=-x2+4=-×22+4=3,3+2>4,所以货运卡车能通过隧道.
4.提示:(1)设函数表达式为y=ax2,则B(10,y1),D(5,y2),根据题意,得y2-y1=3.所以52a-102a=3,解得a=-. (2)=7(h),0.25×7=1.75<3,所以该船按原来速度行驶,可以安全通过此桥.
1.求解实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题,利用二次函数求最值问题实际就是把实际问题抽象为数学问题,即二次函数问题;求最值的关键是把一般式转化为顶点式,这是学习时要重点把握的两点.
2.要熟练运用用二次函数知识解决实际问题的基本思路和方法.首先设出一个量,然后用相似三角形的性质表示另一个量,再用数学的方式表示它们之间的关系,得到二次函数表达式(顶点式),最后要检验结果的合理性.
求最值时,忽略自变量的取值范围
如图所示,一座拱形桥的桥拱是抛物线,抛物线在平面直角坐标系中的表达式可以用y=-x2+x+2表示,当-1≤x≤0时,桥拱离水面的最大高度是 ( )
A.3.125 B.4
C.2 D.0
【错解】 A
【错解分析】 忽略了自变量的取值范围为-1≤x≤0,误认为顶点的纵坐标3.125就是其最大
高度.
【正解】 C
【正解分析】 由图象可知,当x<1.5时,y随x的增大而增大,∵-1≤x≤0,∴当x=0时,函数有最大值,为2.
王明的爷爷用一段长30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
〔解析〕 设菜园宽为x m,则长为(30-2x)m,由面积公式写出S与x的函数关系式,然后利用二次函数的最值的知识可得出菜园的最大面积及取得最大面积时矩形的长和宽.
解:设矩形的宽为x m,面积为S m2,
根据题意得S=x(30-2x)=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5,
所以当x=7.5时,S有最大值,最大值为112.5.
30-2x=30-15=15.
故当矩形的长为15 m,宽为7.5 m时,矩形菜园的面积最大,最大面积为112.5 m2.
[解题策略] 本题主要考查二次函数的应用,关键在于找出等量关系列出方程求解,另外应注意配方法求最大值在实际问题中的应用.
第课时
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.
1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.
2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.
【重点】
1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.
2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.
【难点】 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.
导入一:
【引入】 如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.
[设计意图] 开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.
导入二:
请同学们思考下面的问题:
某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?
学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.
即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.
∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.
【引入】 显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?
[设计意图] 让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.
[过渡语] 数学来源于生活,生活中处处有数学,下面我们继续运用二次函数解决实际问题——最大利润问题.
一、利用二次函数解决最大利润问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.
请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?
思路一
教师引导学生思考下面的问题:
1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.
2.此题的等量关系是什么?
3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:
(1)销售量可以表示为 ;
(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为 ;
(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为 .
4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?
【师生活动】 教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.
解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.
由题意得y=(x-10)
=(70000-5000x)(x-10)
=-5000(x-12)2+20000.
∴当x=12时,y最大=20000.
∴厂家批发价是12元时可以获利最多.
思路二
【思考】 此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?
【师生活动】 学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.
解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.
则y=(13-10-x)
=(5000+5000x)(3-x)
=-5000(x-1)2+20000,
∴当x=1时,y最大=20000.
13-1=12.
∴厂家批发价是12元时可以获利最多.
【教师点评】 在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.
[设计意图] 让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的难度.
[过渡语] 通过上面的探究,相信你已经掌握了利用二次函数解决最大利润问题的方法,试试能不能解决下面的问题.
课件出示:
(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?
〔解析〕 此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.
解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,
则y=(160+10x)(120-6x),
即y=-60(x-2)2+19440.
∵x≥0,且120-6x>0,
∴0≤x<20.
当x=2时,y最大=19440,
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),
因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.
[设计意图] 让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.
二、利用二次函数图象解决实际问题
课件出示:
【议一议】 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.
问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.
要求:同伴合作,画出图象.
师课件出示函数图象,供学生参考.
问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?
看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.
学生积极思考,合作交流.
请代表展示他们的讨论成果:
结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.
结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.
能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?
学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.
[设计意图] 让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.
用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.
1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为 ( )
A.3144元 B.3100元
C.144元 D.2956元
解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.
2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高 ( )
A.4元或6元 B.4元
C.6元 D.8元
解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.
3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为 .
解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.
4.(沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为 元.
解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w有最大值,为25.故填25.
5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,
由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.
∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.
∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.
(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,
由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,
∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.
∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.
第2课时
用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第49页随堂练习.
2.教材第50页习题2.9第1,2题.
【选做题】
教材第50页习题2.9第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是 ( )
A.当x=2时,利润有最大值48元
B.当x=-2时,利润有最大值48元
C.当x=2时,利润有最小值48元
D.当x=-2时,利润有最小值48元
2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价 ( )
A.5元 B.10元
C.12元 D.15元
3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是 元.
4.(营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为 元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
【能力提升】
5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为 ( )
A.30万元 B.40万元
C.45万元 D.46万元
6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低 ( )
A.0.2元或0.3元 B.0.4元
C.0.3元 D.0.2元
7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?
8.(汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价/(元/件)…
100
110
120
130
月销量/件…
200
180
160
140
已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润;
②月销量.
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?
【拓展探究】
9.(舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足下列关系式:y=
(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?
(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)
(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?
【答案与解析】
1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)
2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大=3600.)
3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)
4.22(解析:设定价为x元,根据题意得平均每天的销售利润y=(x-15)·[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870,∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.∵a=-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x=22时,y最大值=98.故填22.)
5.D(解析:设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,根据题意得出:W=y1+y2=-x2+10x+2(15-x)=-x2+8x+30=-(x-4)2+46,∴最大利润为46万元.)
6.C(解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.根据题意,得(3-2-x)-24=200.解这个方程,得x1=0.2,x2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)
7.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由所给函数图象可知解得故y与x的函数关系式为y=-x+180. (2)∵y=-x+180,∴W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000=-(x-140)2+1600.∵a=-1<0,∴当x=140时,W最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.
8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x-60)元.②设月销量w与x的关系式为w=kx+b,由题意得解得∴w=-2x+400.∴月销量为(-2x+400)件. (2)由题意得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
9.解:(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n+120=420,解得n=10.答:第10天生产的粽子数量为420只. (2)由图象得当0≤x≤9时,p=4.1;当9≤x≤15时,设p=kx+b,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p=0.1x+3.2.①当0≤x≤5时,w=(6-4.1)×54x=102.6x,当x=5时,w最大=513(元);②当5
本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.
对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.
今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.
随堂练习(教材第49页)
解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y最大=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大利润为4500元.
习题2.9(教材第50页)
1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y最大值=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.
2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润最大,最大利润为360元.
3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92 cm.
利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.
某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
时间x/天
1≤x<50
50≤x≤90
售价/(元/件)
x+40
90
每天销量/件
200-2x
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
〔解析〕 (1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.
解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.
当50≤x≤90时,
y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.
综上所述,y=
(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,
当x=45时,y最大=-2×452+180×45+2000=6050.
当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,
当x=50时,y最大=6000.
综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.
(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.
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