数学北师大版第三章 圆综合与测试精品教学设计

这是一份数学北师大版第三章 圆综合与测试精品教学设计，共9页。教案主要包含了专题分析，针对训练1，针对训练2，针对训练3，针对训练4，针对训练5，针对训练6，针对训练7等内容，欢迎下载使用。




系统地归纳总结本章的知识内容.

通过系统地归纳总结本章的知识内容,学会整理归纳知识的方法,使其条理化、系统化.

通过对圆与各种图形位置关系的复习,认识事物之间是相互联系的,通过运动和变化,知道事物之间可以相互转化.

【重点】
1.垂径定理的应用,相等的弧、弦、圆心角与圆周角之间的关系应用.
2.掌握切线的性质及判定并能熟练应用其解决与圆有关的问题.
【难点】　应用圆的有关性质及推论与解直角三角形、相似三角形的知识相结合解决问题.

圆

一、圆及其相关概念
1.概念:圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径.
2.相关概念:弦、直径、圆弧(优弧、半圆、劣弧)、等圆、等弧.
二、圆的对称性
(1) 圆是轴对称图形.
①对称轴:直径所在的直线;
②垂径定理及其逆定理:
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
(2)圆是中心对称图形.
①对称中心:圆心.
②性质:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;
如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.
三、圆周角与圆心角的关系
(1)圆周角概念:顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
(3)圆周角定理推论:
①同弧或等弧所对的圆周角相等.
②直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)圆内接四边形.
①概念:顶点都在圆上的四边形是圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
②性质:圆内接四边形对角互补.
四、确定圆的条件
(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
(2)三角形的外接圆.
①三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.
②外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.它到三角形三个顶点的距离相等.
③位置:锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边中点;钝角三角形的外心在三角形的外部.
五、与圆有关的位置关系
(1)点和圆的位置关系:
点在圆外⇔d>r;点在圆上⇔d=r;点在圆内⇔d (2)直线和圆的位置关系:
相交⇔dr.
(3)切线的性质和判定.
①性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
②判定:过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
③ 内切圆和内心的概念:和三角形三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个,这个圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.它到三角形三边的距离相等.
④切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等.
六、圆内接正多边形
(1)概念:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
(2)作法:把一个圆n等分(n≥3),依次连接各分点.
七、弧长及扇形的面积
(1)弧长的计算公式:l=πR.
(2)扇形的面积公式:S扇形=πR2.
(3)弧长及扇形的面积S之间的关系:S扇形=lR.
专题一　圆及其相关概念
【专题分析】
圆是初中几何图形中的最后一部分知识,圆与其他几何图形,如三角形、四边形及正多边形都有联系,是初中数学考查的热点.涉及圆的概念的知识的理解要注意运用集合思想.此外,弦和弧的概念也是圆的基本概念,是概念知识考查的重点.
　下列说法正确的是 (　　)
A.弦是直径 B.弧是半圆
C.半圆是弧 D.过圆心的线段是直径
〔解析〕　A.弦是连接圆上任意两点的线段,只有经过圆心的弦才是直径,不是所有的弦都是直径,故本选项错误.B.弧是圆上任意两点间的部分,只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆,不是所有的弧都是半圆,故本选项错误.C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,所以半圆是弧是正确的.D.过圆心的弦才是直径,不是所有过圆心的线段都是直径,故本选项错误.故选C.
【针对训练1】　有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
〔解析〕　①圆确定的条件是确定圆心与半径,是假命题,故此说法错误.②直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确.③弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误.④半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.其中错误说法的是①③两个.故选B.

　如图所示,AB是☉O的直径,D,C在☉O上,AD∥OC,∠DAB=60°,连接AC,则∠DAC等于 (　　)
A.15° 　　　B.30°
C.45° 　　　D.60°
〔解析〕　∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∵AD∥OC,∴∠DAC=∠ACO,∴∠DAC=∠CAB,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=∠DAB=30°.故选B.

【针对训练2】　如图所示,☉O的弦AB、半径OC的延长线交于点D,BD=OA.若∠AOC=120°,则∠D的度数是　　　　. 
〔解析〕　连接OB,∵BD=OA,OB=OA,∴BD=AO=OB,∴△OBD,△OAB都是等腰三角形,设∠D的度数是x°,则∠BAO=∠ABO=x+x=2x,则在△AOB中,利用三角形的内角得是180度,可得120-x+2x+2x=180,解得x=20.故填20°.
专题二　圆的对称性
【专题分析】
圆的对称性是圆的基础知识中的重点内容,利用圆的中心对称性可以得到弧、弦、圆心角之间的关系,而利用轴对称性可以得到垂径定理,特别是垂径定理是中考考查的热点,题型单独考查和综合考查的都有,常与等腰三角形、直角三角形以及正多边形综合考查.
　在同圆或等圆中,下列说法错误的是 (　　)
A.相等弦所对的弧相等
B.相等弦所对的圆心角相等
C.相等圆心角所对的弧相等
D.相等圆心角所对的弦相等
〔解析〕　A.相等弦所对的弧不一定相等,故本选项错误;B.相等弦所对的圆心角相等,故本选项正确;C.相等圆心角所对的弧相等,故本选项正确;D.相等圆心角所对的弦相等,故本选项正确.故选A.

【针对训练3】　如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为 (　　)
A.25° B.30° C.50° D.65°
〔解析〕　连接CD,∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠ABC=90°-25°=65°,∵BC=CD,∴∠CDB=∠ABC=65°,∴∠BCD=180°-∠CDB-∠CBD=180°-65°-65°=50°,∴的度数为50°.故选C.

　如图所示,在☉O中,点C是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求☉O半径的长.
〔解析〕　连接OA,根据垂径定理求出AD=6,∠ADO=90°,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.
解:连接AO, ∵点C是弧AB的中点,半径OC与AB相交于点D,∴OC⊥AB,
∵AB=12,∴AD=BD=6,
设☉O的半径为R,∵CD=2,∴OD=R-2,
在Rt△AOD中,由勾股定理得AO2=OD2+AD2,
即R2=(R-2)2+62,∴R=10.
答:☉O的半径长为10.

【针对训练4】　如图所示,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=24,点M在☉O上,MD经过圆心O,连接MB.
(1)若BE=8,求☉O的半径;
(2)若∠DMB=∠D,求线段OE的长.
〔解析〕　(1)根据垂径定理求出DE的长,设出半径,根据勾股定理,列出方程求出半径.(2)根据OM=OB,证出∠M=∠B,根据∠M=∠D求出∠D的度数,根据锐角三角函数求出OE的长.
解:(1)设☉O的半径为x,则OE=x-8,
∵CD=24,∴由垂径定理得DE=12,
在Rt△ODE中,OD2=DE2+OE2,即x2=(x-8)2+122,解得x=13.
(2)∵OM=OB,
∴∠M=∠B,∴∠DOE=2∠M,
又∠M=∠D,∴∠D=30°,
在Rt△OED中,∵DE=12,∠D=30°,
∴OE=4.
专题三　圆周角和圆心角的关系
【专题分析】
圆周角和圆心角的关系是圆的内容中有关角度的基础知识,是解决角度之间关系的重要依据.圆周角和圆心角是中考的重要考点,题型多样,选择、填空、解答题均有出现,常与直角三角形、四边形等知识综合考查.

　如图所示,AB为☉O的直径,CD为弦,AB⊥CD,如果∠DOC=140°,那么∠A的度数为 (　　)
A.70° 　　B.35°
C.30° 　　D.20°
〔解析〕　∵直径AB⊥CD,∴B是的中点,∴∠A=∠BOC=∠DOC=35°.故选B.

【针对训练5】　如图所示,已知A,B,C是☉O上的三个点,∠ACB=110°,则∠AOB=　　　　. 
〔解析〕　如图所示,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD,根据圆内接四边形的性质可知∠ACB+∠ADB=180°,又∠ACB=110°,∴∠ADB=70°,∴∠AOB=2∠ADB=140°.故填140°.

　(泰州中考)如图所示,☉O的内接四边形ABCD中,∠A=115°,则∠BOD等于　　　　. 
〔解析〕　∵∠A=115°,∴∠C=180°-∠A=65°,∴∠BOD=2∠C=130°.故填130°.

【针对训练6】　如图所示,圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,则∠ACD度数是　　　　. 
〔解析〕　如图所示,连接BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,∴∠ABD=60°,∴∠ACD=∠ABD=60°.故填60°.
专题四　确定圆的条件
【专题分析】
确定圆的条件是圆的尺规作图中的重点内容,而三角形外接圆的知识,特别是利用三角形外接圆的知识解决实际问题是考试的重点.
　下列命题正确的有 (　　)
①过两点可以作无数个圆;②经过三点一定可以作圆;③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆;④任意一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
〔解析〕　①过两点可以作无数个圆,正确;②经过三点一定可以作圆,错误;③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆,正确;④任意一个圆有且只有一个内接三角形,错误.正确的有2个,故选B.

【针对训练7】　如图所示,AB=OA=OB=OC,则∠ACB的大小是 (　　)
A.40°　　　B.30°
C.20°　　　D.35°
〔解析〕　由题意知A,B,C三点在以O为圆心的圆上,∵AB=OA=OB=OC,∴∠AOB=60°,∴∠ACB=∠AOB=30°.故选B.
专题五　与圆的位置关系
【专题分析】
与圆的位置关系包括点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,直线与圆的位置关系是圆的主要知识点,切线的性质与判定深受命题人的青睐,是各地市中考的热门考点,常与三角形全等、平行、直角三角形等知识综合考查,题型灵活多变.
　☉O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,则直线l与☉O的位置关系是 (　　)
A.相交 B.内含 C.相切 D.相离
〔解析〕　∵☉O的半径为7 cm,圆心O到直线l的距离为8 cm,7<8,∴直线l与☉O相离.故选D.
【针对训练8】　已知☉O的半径为R,点O到直线m的距离为d,R,d是方程x2-4x+a=0的两根,当直线m与☉O相切时,a=　　　　. 
〔解析〕　∵直线和圆相切,∴d=R,∴Δ=16-4a=0,∴a=4.故填4.

　(扬州中考)如图所示,已知☉O的直径AB=12 cm,AC是☉O的弦,过点C作☉O的切线交BA的延长线于点P,连接BC.
(1)求证∠PCA=∠B;
(2)已知∠P=40°,点Q在优弧ABC上从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合),当△ABQ与△ABC的面积相等时,求动点Q所经过的弧长.
证明:(1)如图所示,连接OC,
∵PC是☉O的切线,
∴∠PCO=90°,∴∠1+∠PCA=90°,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∴∠2+∠B=90°,
∵OC=OA,∴∠1=∠2,∴∠PCA=∠B.
解:(2)∵∠P=40°,∴∠AOC=50°,
∵AB=12,∴AO=6,
当∠AOQ=∠AOC=50°时,△ABQ与△ABC的面积相等,
∴点Q所经过的弧长==;
当∠BOQ=∠AOC=50°,即∠AOQ=130°时,△ABQ与△ABC的面积相等,
∴点Q所经过的弧长==;
当点Q运动到点B上方,且∠BOQ=50°时,△ABQ与△ABC的面积相等,∴点Q所经过的弧长==π.
综上,当△ABQ与△ABC的面积相等时,动点Q所经过的弧长为或或.
【针对训练9】　(东营中考)如图所示,已知在△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证AC·AD=AB·AE;
(2)如果BD是☉O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.

证明:(1)如图所示,连接DE,∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABC,
∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,∴=,
∴AC·AD=AB·AE.
解:(2)连接OD,∵BD是☉O的切线,
∴OD⊥BD,
在Rt△OBD中,OE=BE=OD,
∴OB=2OD,∴∠OBD=30°,
同理∠BAC=30°,
∴在Rt△ABC中,AC=2BC=2×2=4.
专题六　弧长及扇形面积
【专题分析】
弧长及扇形面积是有关圆的计算的基本知识点,是各地中考的必考点,题型灵活多变,弧长及扇形面积以选择、填空题为主,而求阴影部分的面积则是解答题的主要考点,常与切线的性质综合考查.

　(黔南中考)如图所示,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的弧EF上.若∠BAD=120°,则的长度等于　　　　(结果保留π). 
〔解析〕　连接AC,∵菱形ABCD中,AB=BC,又∵AC=AB,∴AB=BC=AC,即△ABC是等边三角形.∴∠BAC=60°,∴的长是=.故填.

【针对训练10】　如图所示,在☉O中,∠C=30°,AB=2,则的长为 (　　)
A.π 　　B.
C. 　　D.
〔解析〕　∵∠C=30°,根据圆周角定理可知∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=OB=AB=2,∴的长为=.故选D.

　(钦州中考)如图所示,点B,C,D都在半径为6的☉O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连接CD,已知∠CDB=∠OBD=30°.
(1)求证AC是☉O的切线;
(2)求弦BD的长;
(3)求图中阴影部分的面积.
证明:(1)如图所示,连接OC交BD于点E,
∵∠CDB=30°,∴∠BOC=60°.
∵∠OBD=30°,∴∠OEB=90°.
∵AC∥BD,∴∠OCA=∠OEB=90°,
∴AC是☉O的切线.
解:(2)在Rt△OBE中,OB=6,∠OBD=30°,
∴OE=OB=3,∴BE=3,
∴BD=2BE=6.
(3)由(2)得OE=EC=3,由(1)得BE=ED,∠OEB=∠CED=90°,
∴△OBE≌△CDE(SAS),∴S△OBE=S△CDE,
∴S阴影=S扇形OBC==6π.

【针对训练11】　(昆明中考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为
直径的圆O经过点D.
　　(1)求证AC是圆O的切线;
(2)若∠A=60°,圆O的半径为2,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).
证明:(1)∵OD=OB,∴∠1=∠ODB,
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1,
而∠A=2∠1,∴∠DOC=∠A,
∵∠A+∠C=90°,∴∠DOC+∠C=90°,
∴OD⊥DC,∴AC是☉O的切线.
解:(2)∵∠A=60°,∴∠C=30°,∠DOC=60°,
在Rt△DOC中,OD=2,
∴CD=OD=2,
∴阴影部分的面积=S△COD-S扇形DOE=×2×2-=2-.