初中数学北师大版九年级下册第三章 圆2 圆的对称性精品教案设计

1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.

2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.

3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.

2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.

1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.

2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.

【重点】　理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.

【难点】　应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.

【教师准备】　多媒体课件和教学圆规.

【学生准备】　

1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.

2.圆规和自制圆形纸片.

导入一:

同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.

课件出示:

【引入】　因为有圆,万物才显得富有生机, 我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?

[设计意图]　从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心.

导入二:

我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.

[设计意图]　通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.

　　[过渡语]　我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?

一、圆的对称性

课件出示:

如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

思路一

猜想

【学生活动】　学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.

教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?

【教师点评】　圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.

思路二

折纸

【学生活动】　学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.

学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.

师出示折叠示意图:

【学生活动】　学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.

【教师点评】　圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.

　　[过渡语]　通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形.

课件继续出示:

【想一想】　一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?

【学生活动】　学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.

【师生小结】　一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.

【教师点评】　一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.

圆是中心对称图形,对称中心为圆心.

[设计意图]　问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性.

二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理

　　[过渡语]　通过上面的探究,我们得到了圆的旋转不变性,下面我们继续实验,看看圆还有哪些性质定理.

课件出示:

【做一做】　在等圆☉O 和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠、并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.

【活动方式】　分小组进行实验操作,小组之间交流.

【师生活动】　教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书.

思路一

旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,从而可以得到OA=OB=O'A'=O'B',∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A',AB=A'B',=,是通过证明△AOB≌△A'O'B'得到的.

思路二

由两圆旋转可知:点A与点A'重合,点B与点B'重合, 所以=,AB=A'B'(叠合法).

【学生小结】　在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

【问题】　你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?

【学生活动】　学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:

证明:∵半径OA与O'A'重合,∠AOB=∠A'O'B',

∴半径OB与O'B'重合.

∵点A与点A'重合,点B与点B'重合,

∴与重合,弦AB与弦A'B'重合.

∴=,AB=A'B'.

【议一议】　上面的结论,在同圆中成立吗?

【学生活动】　学生思考、猜想后得出肯定的结论.

【教师点评】　圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

　　[过渡语]　 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,会得出什么样的结论?

课件出示:

【想一想】

(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?

(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?

【学生活动】　学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法.

【教师活动】　要求学生说明得出的结论的理由.(证明△AOB≌△A'O'B'或叠合法)

【师生总结】　在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

【教师强调】　注意事项:

(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系.

[设计意图]　“学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的逆定理.

　　[过渡语]　通过上面的探究过程,我们掌握了圆心角、弧、弦之间的关系,你能运用这些知识解决下面的问题吗?

课件出示:

　如图所示,AB,DE是☉O 的直径,C是☉O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系?为什么?

〔解析〕　通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是☉O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧相等,因为=,又=,继而可得=.

解:BE=CE.理由是:

∵∠AOD=∠BOE,

∴=.

又∵=,

∴=.

∴BE=CE.

【议一议】　在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.

【学生活动】　学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等.

[设计意图]　本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓展知识面,培养他们的概括、推理能力.

1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形.

2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.

1.下列命题中,正确的是 (　　)

A.圆只有一条对称轴

B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条

C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴

D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴

解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线.故选D.

2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为 (　　)

A.45° B.90° C.135° D.270°

解析:如图所示,∵圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,∴∠AOB∶大角∠AOB=1∶3,∴大角∠AOB=360°×=270°.故选D.

3.如图所示,已知AB是☉O的直径,==,∠BOC=40°,那么∠AOE等于 (　　)

A.40° B.60° C.80° D.120°

解析:∵==,∠BOC=40°,∴∠BOE=3∠BOC=120°,∴∠AOE=180°-∠BOE=60°.故选B.

(第4题图)

4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°,交AD于点E,则∠DEF=　　　　. 

解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°,即∠BOF=120°,得∠COF=180°-∠BOF=60°,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠COF=60°.故填60°.

2　圆的对称性

1.圆的对称性.

(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.

(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心.

2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.

(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.

(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

一、教材作业

【必做题】

1.教材第72页随堂练习第1,2,3题.

2.教材第72页习题3.2第1,2题.

【选做题】

教材第73页习题3.2第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,在☉O中,∠B=37°,则劣弧AB 的度数为 (　　)

A.106° B.126° C.74° D.53°

2.如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B等于 (　　)

A.150° B.75° C.60° D.15°

3.如图所示,=,若AB=3,则CD=　　　　. 

4.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD=　　　　. 

【能力提升】

5.如图所示,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4 cm,则☉O的周长为 (　　)

A.5π cm B.6π cm C.9π cm D.8π cm

6.(菏泽中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为　　　　. 

7.如图所示,=, D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?

【拓展探究】

8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且=.若∠AOD=110°,求的度数.

【答案与解析】

1.A(解析:连接OA,∵OA=OB,∠B=37°,∴∠A=∠B=37°,∠O=180°-2∠B=106°.)

2.B(解析:在☉O中,∵=,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B==75°.故选B.)

3.3 (解析:∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.)

4.125°(解析:连接OD,∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∠ACO=70°,∵D是弧BC的中点,∴∠COD=70°,∴∠OCD=55°,∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.)

5.D (解析:如图所示,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,BC=CD=DA=4 cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4 cm,∴☉O的周长=2×4π=8π(cm).故选D.)

6.70°(解析:∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠B=55°,连接CD,∵CB=CD,∴∠BDC=55°,∴∠BCD=70°.∴的度数为70°.)

7.解:CD=CE.理由如下:如图所示,连接OC,∵D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE,又∵=,∴∠DOC=∠EOC,又OC=OC,∴△CDO≌△CEO,∴CD=CE.

8.解:如图所示,连接OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOB=70°.又∵=,∴∠COD=∠DOB=70°,∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°,∴的度数为40°.

本节课首先利用课件出示生活中的圆形图片,利用圆的对称美引入新课,极大地活跃了课堂气氛,激发了学生学习的积极性.然后在课堂上可以先给学生留有充足的动手实验和思考的时间,在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示,使探究的结论更加直观形象.同时,通过学生自己动手体验知识的形成过程,使学生获得成功的体验,使他们的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.

本节课学生操作和自主学习的时间较多,所以教学时间不太容易把握,造成不能顺利完成课堂教学任务.

合理安排时间,对于有些学生感觉有难度的知识点,可以通过小组交流讨论,这样既可以增强交流的意识,又节约了时间.

随堂练习(教材第72页)

1.解:如碗口、圆桌、方向盘等.

2.解:如图所示.答案不唯一.

3.解:四边形OACB是菱形.理由如下:如图所示,∵C是的中点,∴=.又∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形.∴OA=OB=AC=BC.∴四边形OACB是菱形.

习题3.2(教材第72页)

1.解:△ABC与△DCB全等.理由如下:∵AB=DC,BC=CB,∴=,∴AC=DB.∴在△ABC与△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS).

2.解:(1)OE=OF.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠OEB=∠OFD, ∠EOB=∠FOD,OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF.　(2)AB=CD,=,∠AOB=∠COD.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵在Rt△BEO和Rt△DFO中,OB=OD,OE=OF,∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,同理,AE=CF,∴AB=CD,∴=,∠AOB=∠COD.

3.解:=.理由如下:连接OC,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠A,∠ACO=∠COD.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BOD=∠COD,∴=.

1.本节课的重点是通过实验探究出圆的对称性,并利用对称性总结归纳出圆心角、弧、弦之间的相等关系,所以动手操作是学生探究学习的重点.

2.让学生在课前预习的同时准备好本节课所需要的学具;在探究的过程中,要亲身体验实验过程,切记眼高手低,要在与同伴一起的操作过程中深刻理解圆的对称性,并对所探究出的结论进行及时总结,得出一般性的结论.

3.要注意类比、转化、数形结合思想在探究过程中的运用.